2023年河北省承德市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河北省承德市中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省承德市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在同一平面内到直线的距离等于2的直线有(    )
A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条
2. 若用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值为(    )
A. 10 B. −9 C. −10 D. −11
3. 如图，AC、BD表示两栋楼房，则下列说法正确的是(    )
A. 两楼之间的距离是AD
B. 从点C看点D的仰角是∠ADC
C. 从点A看点D的仰角是∠DAB
D. 从点D看点A的俯角是∠ADB


4. 与(13−12)乘积得1的数是(    )
A. −2−3 B. C. −2×3 D. −2+3
5. 把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是(    )
A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘以2 D. 各边长都平方
6. 如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为−4，−2和3，点O为原点，则以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为(    )

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7. 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化(    )


A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
8. 如图，丫丫用一张正方形纸片折出了“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线(即，步骤如下，其中的依据是(    )

A. 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
B. 平行于同一直线的两条直线互相平行
C. 两直线平行，同旁内角互补
D. 同位角相等，两直线平行
9. 某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是(    )
A. 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B. 按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C. 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D. 按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
10. 随着国家教育数字化进程的不断推进，教育辅助工具越来越丰富，某学校利用九年级某班学生的期末考试成绩进行整理并绘制了如图所示的直方图.从左到右四组的百分比分别为4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，则下列说法不正确的是(    )

A. 该班级有50人参加了期末考试 B. 第五组所占的百分比为16%
C. 该班的平均分大约是79分 D. 该组数据的众数是20
11. 依据所标数据，下列不一定是矩形的是(    )
A. B.
C. D.
12. 如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为(    )
A. 1：2：3
B. 2：2：4
C. 1：2：4
D. 2：3：5
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,−3)，点在反比例函数y=−6x上，且PB⊥y轴，垂足为B.若△ABP的面积为S，则下列判断正确的是(    )
A. 当m=−1时，S=12
B. S与m成一次函数关系
C. 随着点P位置的变换，△POB与△ABP的面积也随之变化
D. S与m成反比例关系

14. 如图，4幅图中的∠C=45°，AC>AB，则下列叙述错误的是(    )

A. 图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线
B. 在图甲、图乙、图丙中，∠PBC=45°
C. 图甲中所作的三段弧的半径是相同的
D. 图丁中∠APB=90°
15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，则下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根；；其中正确的个数为(    )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 如图，在菱形ABCD中，AC、相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点(不与点A、O、C重合).其中AE=OF.过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着AE长度的变化，始终成立．
乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．
丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．
下列选项正确的是(    )

A. 甲、乙、丙都对 B. 甲、乙对，丙不对 C. 甲、丙对，乙不对 D. 甲不对，乙、丙对
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 若，且b是2π+2的整数部分，则a的值是______ ．
18. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△A′BE的A′B边交EC于点D，．
(1)则∠C= ______ ；
(2)若，则AE与A′E是否垂直？______ .(选填“是”或“否”)

19. 如图，矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=12 cm，动点P从点A出发沿A−B−C−D−A运动，速度是2 cm/秒；点Q从点C出发沿运动，速度是4 cm/秒，设它们的运动时间为t秒．
(1)当t=1时，连接PQ，PQ= ______ cm；
(2)若P、Q两点第一次相遇时，t= ______ 秒；第n次相遇时，t= ______ 秒.
三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
已知多项式为整数)
(1)试说明：多项式P能被5整除；
(2)若P对应的数在数轴上表示如图所示，求满足条件的所有整数x的和．


21. (本小题8.0分)
黑板上写着一个题目：在“□”内填入“+”“−”“×”“÷”四种运算符号．
(1)求运算结果为负数的概率；
(2)若老师随机抽取两个运算符号分别代入运算，求运算结果都为负数的概率．
22. (本小题9.0分)
发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：如，请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：设两个连续的正整数m和m+1的和可以表示成正整数n2，请论证“发现”中的结论正确；
应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中的结论的数字．
23. (本小题9.0分)
如图所示，已知直线l1：y=2x与直线l2：y=−x+b交于点A(m,n)，点A到y轴的距离为2，且在第一象限.直线l2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求直线l2的解析式；
(2)过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线，分别与直线l1、l2交于点M、点N．
①求线段MN的长度；
②将△AOB沿着直线y=kx(k≠0)折叠，当点A落在直线MN上时，直接写出k的值．

24. (本小题9.0分)
如图，⊙O的半径为3 cm，直线MN与⊙O交于A、B两点，圆心O到直线MN的距离为点P从点A开始以5°/秒的速度在圆周上按逆时针方向运动，运动时间为t．
(1)求弦AB的长度；
(2)当t=3.4秒时，点P到直线MN的距离；
(3)若，连接MP，当MP是⊙O的切线时，求点P走过的弧长.(参考数据：，，

25. (本小题10.0分)
如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线y=kx上．
(1)若k=1，且抛物线顶点纵坐标为3，求a、b的值；
(2)试推断：k与b的数量关系；
(3)横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色.那么，当k=6时，这组抛物线中有几条会改变颜色．

26. (本小题10.0分)
如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠BAC=90°，将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
(1)求证：△ABC≌△CAD；
(2)当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
(3)在旋转过程中，若CE=1，如图3所示，求CF的长；
(4)在旋转过程中，若CE=x，请直接写出BF的长(用含x的式子表示)．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条，
故选：B．
根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解．
本题考查了平行线间的距离相等，分类讨论是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：从左往右数第一个非“0”数字2前面有10个0，
，
∴n=−10．
故选：C．
从左往右数第一个非“0”数字前面有n个0就是，据此即可求解．
本题考查了用科学记数法表示0<|a|<1的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：A、两楼之间的距离是AB，原说法不正确，本选项不符合题意；
B、从点C看点D的仰角是∠DCE，原说法不正确，本选项不符合题意；
C、从点A看点D的仰角是∠DAB，本选项符合题意；
D、从点D看点A的俯角是∠DAB，原说法不正确，本选项不符合题意；
故选：C．
根据俯角、仰角的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形−俯角、仰角的定义，掌握俯角、仰角的定义是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：，
∴与的乘积是1的数为−6，
A、−2−3=−5，本选项不符合题意；
B、−2÷3=−23，本选项不符合题意；
C、−2×3=−6，本选项符合题意；
D、−2+3=1，本选项不符合题意；
故选：C．
根据题意知与的乘积是1的数为−6，据此可得答案．
本题主要考查有理数的乘法和除法，解题的关键是掌握倒数的定义和乘除互为逆运算．

5.【答案】C 
【解析】解：△ABC的边长分为AB、BC、AC，
则，，，
故选：C．
根据相似三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记知识点是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：依题意，OA=4，OC=3，BC=3−(−2)=5，
，
∴以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形．
故选：A．
根据数轴求得OA=4，OC=3，BC=5，根据勾股定理逆定理即可求解．
本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：依题意，拿走第二层的正方体后，即①和④，俯视图不会发生变化，
故选：D．
根据三视图的定义分析，可知当拿走第二层的正方体后，俯视图不会发生变化，据此即可求解．
本题考查了三视图的定义，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；
将正方形纸展开，再进行第二次折叠，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；

∵AB⊥m，CD⊥m，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∵∠3=∠1，
∴AB/​/CD(同位角相等，两直线平行)．
故选：D．
根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得∠3=∠1可得可得AB/​/CD．
此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，掌握平行线的判定定理是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：第五组所占百分比：1−4%−12%−40%−28%=16%，
，即总人数为50人，
∵数据中占比最多是40%，
∴众数为70，故D选项错误．
故选：D．
根据题意可求第五组所占百分比，从而可求总人数，占比最多是40%，所以可求众数，从而可以进行判断．
本题考查了从频数分布直方图中获取信息进行计算，众数的定义，掌握从频数分布直方图获取具体数据进行正确计算，并理解众数的定义是解题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、不能证明是矩形，故该选项符合题意；
C、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意．
故选：B．
根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解．
本题主要考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．

12.【答案】A 
【解析】解：如图，连接AD，CF交BE于点O，CF，AE交于点P，
∵正六边形，
∴△AOF≌△EOF≌△DOE≌△DOC≌BOC≌，
∵△AEF和△AEO是等腰三角形，FO分别是∠AFE和∠AOE的角分线，
∴FO⊥AE，三线合一)，
∴Rt△APF≌Rt△EPF≌Rt△EPO≌Rt△APO(HL)，
，
，

∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为1：2：3，
故选：A．
根据正多边形的性质，三角形中线的性质即可求解．
本题考查了正多边形，三角形中线的性质，熟记图形的性质并准确识图是解题的关键．

13.【答案】B 
【解析】解：A、∵点在反比例函数y=−6x上，
∴把m=−1代入y=−6x得：n=6，
∴P(−1,6)，B(0,6)，
∴△ABP的面积，原说法错误，不符合题意；
B、∵点在反比例函数y=−6x上，
，
∵m<0，
，
，，
∴△ABP的面积，
∴S与m成一次函数关系，正确，符合题意；
C、随着点P位置的变换，△ABP的面积也随之变化，但△POB的面积始终等于，原说法错误，不符合题意；
D、由B知S与m成一次函数关系，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
根据m=−1求出n的值，得出点P和B的坐标，再根据点A的坐标求出△ABP的面积即可判定A；求出S与m的关系式，即可判定B和D；根据△POB的面积为|k|2即可判断C．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算．

14.【答案】C 
【解析】解：A.图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线，故选项正确，不符合题意；
B.甲图是作∠PBC=∠C=45°，
乙图中是作线段BC的垂直平分线，则PB=PC，则∠PBC=∠C=45°，
丙图中是过点B作AC的垂线，则∠BPC=90°，则，
∴在图甲、图乙、图丙中，∠PBC=45°，故选项正确，不符合题意；
C.图甲中所作的三段弧的半径是不同的，故选项错误，符合题意；
D.由图可知AB是圆的直径，由直径所对的圆周角是直角可知∠APB=90°，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
根据图形逐项做出判断即可．
此题考查为了基本作图，垂直平分线的性质、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握基本作图和相关性质定理是解题的关键．

15.【答案】B 
【解析】解：①∵抛物线开口向上，则a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，
∴对称轴为直线x=1+32=2，则−b2a>0，
∴b<0，
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，
∴abc<0，
故①不正确；
②∵对称轴为直线x=2，开口向上，
∴x>2时，y随x的增大而增大，
故②不正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y=1有2个交点，
即方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根；
故③正确；
④∵对称轴为直线x=2，开口向上，
∴当x=2时，y取得最小值，为4a+2b+c，
；
即；
故④正确．
故选：B．
根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点，判断a>0，b<0，c>0，即可判断①，根据对称轴直线x=2，结合图象即可判断②，根据图象可得y=ax2+bx+c与y=1有2个交点，即可判断③，根据顶点坐标即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)是解题的关键．

16.【答案】C 
【解析】解：如图所示，连接HJ，GI，交于点M，

∵四边形ABCD是菱形，GH⊥AC，IJ⊥AC，
，
根据菱形是轴对称图形，AC是GH，IJ，BD的垂直平分线，
∴GE=EH，，MG=MH，，GJ=HI，
∵AE=OF，OA=OC，
，
如图所示，过点G作于点K，过点J作于点T，

则四边形，是矩形，
，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAO=∠DCO，
，，
，，
≌，△DKG≌，
，，，，
，
即，故甲正确，
，又AG=AH，
，
∴四边形是平行四边形，
，，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
即四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半，故丙正确；
同理可得四边形，是平行四边形，
∴GI/​/CD，，
∵当四边形GHIJ是正方形时，则，
∴AD⊥DC，
则四边形ABCD是正方形，
∵AC>BD，
∴四边形ABCD不是正方形，即四边形GHIJ不可能是正方形，故乙错误，
故选：C．
连接HJ，GI，交于点M，根据轴对称的性质得出GE=EH，，MG=MH，，GJ=HI，，过点G作于点K，过点J作于点T，证明≌△GEA，△DKG≌得出，即可判断甲，进而得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可判断丙，反证法证明四边形GHIJ不可能是正方形，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．

17.【答案】3 
【解析】解：∵b是2π+2的整数部分，
∴b=8，
，
即，
，
∴a−2=1，
解得a=3，
故答案为：3．
先求得b=8，代入求得，据此即可求解．
本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．

18.【答案】72.5°  是 
【解析】解：(1)由翻折得：∠A=∠A′=35°，
∵AB=AC，
．
故答案为：72.5°．
(2)由(1)得：，
，
由翻折得：，
，，
，
．
故答案为：是．
(1)可求∠A=∠A′=35°，由AB=AC，即可求解．
(2)可求∠ABD=20°，根据翻折和三角形外角可求得及∠AEB=135°，从而可以求解．
本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形中一个外角等于不相邻的两个内角和，掌握相关的性质及定理是解题的关键．

19.【答案】10 103  
【解析】解：(1)当t=1时，，，

，
故答案为：10；
(2)根据题意得，
当P、Q两点第一次相遇时，秒)，
从第一次相遇到第二次相遇需要的时间为：秒)，
∴当P、Q两点第二次相遇时，秒)，
从第二次相遇到第三次相遇需要的时间为：秒)，
∴当P、Q两点第三次相遇时，秒)，
从第三次相遇到第四次相遇需要的时间为：秒)，
∴当P、Q两点第四次相遇时，秒)，
以此类推，
∴第n次相遇时，秒．
故答案为：103；．
(1)先求得BP=6，BQ=8，再利用勾股定理即可求解；
(2)根据相遇时间=总路程÷速度和得出第一次相遇的时间，再分别求出第二、三、四次相遇的时间，得出规律，进而求出第n次相遇的时间．
本题考查了列代数式，勾股定理，掌握相遇问题的等量关系是解题的关键．

20.【答案】解：

=5x−5
=5(x−1)，
∵x为整数，
∴多项式P能被5整除．
(2)由题意得，
，即−3≤x≤9，
满足条件的所有整数有，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．
∴满足条件的所有整数的和为． 
【解析】(1)利用完全平方公式、单项式乘多项式去括号、合并同类项，即可证明；
(2)根据数轴可得，解不等式得到x的整数解，据此计算即可．
本题考查了整式的乘法，解不等式组，掌握相关的运算法则是解题的关键．

21.【答案】解：，，，，共有4种情形，运算结果为负数的有2种，
∴运算结果为负数的概率为24=12
(2)列表如下，

+
−
×
÷
+

+−


−
−+



×

×−


÷




根据(1)可知，只有×与÷时，结果为负数，
由表格可知有12种等可能结果，其中×与÷有2种，
∴运算结果都为负数的概率为212=16． 
【解析】(1)根据有理数的加、减、乘、除分别计算，然后根据概率公式即可求解；
(2)根据列表法求得所有可能，进而求得概率即可求解．
本题考查了有理数的加、减、乘、除运算，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．

22.【答案】解：验证：52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：
由“发现”得：，
，
，
∴以n、m、m+1为边长的三角形是直角三角形；
∴“发现”中的结论正确；
应用：
，
，412=1681，
∴92+402=412，
∴以9、40、41为边长的三角形是直角三角形． 
【解析】验证：可得52+122=132，即可求解；
探究：可得，可以得证；
应用：由，即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理在知识迁移创新题中的应用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵点A(m,n)，点A到y轴的距离为2，且点A在第一象限，
∴A(m,2)，
将A(m,2)代入l1：y=2x得：2m=2，
∴m=1，
∴点A的坐标为(1,2)，
将(1,2)代入l2：y=−x+b得：2=−1+b，
∴b=3，
∴直线的解析式为l2：y=−x+3．
(2)①∵过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线，分别与直线l1、l2交于点M、点N，
∴将x=2代入l1：y=2x得：y=4，
∴M(2,4)，
将x=2代入l2：y=−x+3得：y=1，
∴N(2,1)，
；
②设翻折后点A落在点F处，连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，如图2所示．

由折叠的性质，可知：OA=OF，点P为AF的中点．
设点F的坐标为(2,t)，
∵A(1,2)，O(0,0)，，
，
解得：t=±1．
当t=1时，点F的坐标为(2,1)，点P的坐标为(32,32)，
∵点在直线y=kx上，
，
解得：k=1；
当t=−1时，点F的坐标为(2,−1)，点P的坐标为(32,12)，
∵点P(32,12)在直线y=kx上，
∴32k=12，解得：k=13．
综上可知：k的值为1或13． 
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
(2)①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再求出MN的长即可；②设翻折后点A落在点F处，连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，由折叠的性质可知：OA=OF，点P为AF的中点，设点F的坐标为(2,t)，由OA=OF可求出t的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及解一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：(1)连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=12AB，

依题意，在Rt△ACO中，OA=3，，
；
；
(2)过点P作PD⊥OC，垂足为D，在Rt△POD中，

当t=3.4秒时，∠AOP=3.4×5°=17°．
∵在Rt△ACO中，由OA=3，，
，
，
，
∴∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+17°=60°．
，
．
即点P到直线MN的距离为0.7cm．
(3)连接MP，当MP是⊙O的切线时，连接OP，

∴OP⊥MN．
在Rt△OPM中，cos∠POM=OPOM=38，
∴∠POM=68°．
在Rt△OCM中，，
∴∠COM=74°．
∴点P走过的弧长． 
【解析】(1)连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，根据勾股定理即可求解；
(2)∠AOP，进而得出∠POC，最后利用三角函数计算出OD，从而得到P到直线MN的距离；
(3)利用三角函数得到∠POM=68°，∠COM=74°，从而根据弧长公式即可求解．
本题考查了切线的性质、锐角三角函数、求弧长，垂径定理，勾股定理，灵活运用题目所给数量关系，掌握三角函数是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵k=1，则y=x，
∴−b2a=3−b24a=3，
解得：，
；
(2)依题意，顶点始终在直线y=kx上，
，又a≠0，b≠0，
解得：b=2k，
(3)∵k=6，
∴b=12，顶点在y=6x上，
∵对称轴为直线是整数，
∴当a=±1，±2，±3，±6，
∴当k=6时，这组抛物线中有8条会改变颜色． 
【解析】(1)由题意抛物线的顶点坐标为(3,3)，根据顶点坐标公式即可求解；
(2)根据顶点始终在直线y=kx上，列出等式，即可求解；
(3)根据对称轴为直线且为整数，得出a的值，进而即可求解．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
在△ABC和△CAD中，
，
∴△ABC≌△CAD(SAS)；
(2)解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2 2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∵将△ACD绕点A逆时针旋转45°得到△AC′D，
∴重叠部分为△ACG，且，
∴∠AGC=90°，
，
∴重叠部分的面积为；
(3)解：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACF′，连接EF′，

则，，AF′=AF，，
，
，
，
在△AEF′和△AEF中，
AF′=AF∠EAF′=∠EAFAE=AE，
∴△AEF′≌△AEF(SAS)，
∴EF′=EF，
在等腰直角三角形△ABC中，BC= 2AB= 2×2 2=4，
设，则，
在中，，
，
解得：a=53，
∴EF=53，
；
(4)解：当0°<α<45°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接FF′，EF′，

设BF=y，则CF=4−y，
由旋转得：，AF′=AF，，，
，
是等腰直角三角形，
，
∴AE垂直平分线段FF′，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接EF′，

设BF=y，则CF=4−y，，
由旋转得：，AF′=AF，，，
，
，
在△EAF′和△EAF中，
AF′=AF∠EAF′=∠EAFAE=AE，
∴△EAF′≌△EAF(SAS)，
，
，
，
；
当90°<α<135°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，

设BF=y，则，
由旋转得：，AE′=AE，，，
，，
∴∠EAF=∠E′AF，
∴AF垂直平分EE′，
，
，
，
，
即，
；
当α=135°时，AC′//BC，
∴AC′所在的直线与直线BC没有交点；
当135°<α<180°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，

，
，
，
，
，
∴△ABE∽△FCA，
，
，
，，AB=AC=2 2，
，
；
综上所述，BF的长为或或． 
【解析】(1)由平行线性质可得∠BAC=∠ACD=90°，再利用SAS即可证得△ABC≌△CAD；
(2)当旋转角为45°时，重叠部分为等腰直角三角形ACG，利用等腰直角三角形性质可求得，再根据三角形面积公式即可求得答案；
(3)根据旋转的性质可证得△AEF′≌△AEF，得出EF′=EF，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
(4)分五种情况：当0°<α<45°时，当时，当90°<α<135°时，当α=135°时，当135°<α<180°时，分别求出BF即可．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，运用数形结合思想和分类讨论思想来解决问题．