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中考冲刺-数学-第13课 反比例函数及其图像
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这是一份中考冲刺-数学-第13课 反比例函数及其图像，共12页。
要点梳理1．概念： 函数 叫做反比例函数．2．图象： 反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．3．性质： (1)当k>0时，其图象位于第一、三象限 ，在每个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k<0时，其图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； (3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．应用： 如图，点A和点C是反比例函数 的图象上任意两点，画AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则有S△AOB＝S△COD＝
第13课 反比例函数及其图象
考点巩固测试 1. 已知图中的曲线是反比例函数 图象的一支．(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？解 这个反比例函数图象的另一支在第三象限． ∵m－5>0，∴m>5.(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式． 解 ∵点A在直线y＝2x上， ∴设点A的坐标为(x0，2x0)(x0>0)， 则点B的坐标为(x0，0)． ∵S△OAB＝4， ∴ ½ ·x0·2x0＝4，x02＝4，x0＝±2(舍去负值)， ∴点A的坐标为(2，4)．
感悟提高 一次函数与比例函数的图象的性质取决于系数的值，同样由图象的性质，反过来也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．变式测试1 (2013·聊城) 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数 图象于点A、B，交x轴于点C. (1)求m的取值范围； (2)若点A的坐标是(2，－4)，且＝ 求m的值和一次函数的解析式．
解 (1)∵反比例函数的图象在第四象限，∴4－2m＜0，解得m＞2. (2)∵点A(2，－4)在反比例函数图象上，解 ∵点A(2，－4)在反比例函数图象上，过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，∴∠BNC＝∠AMC＝90°.又∵∠BCN＝∠ACM，∴△BCN∽△ACM， ∵AM＝4，∴BN＝1，∴点B的纵坐标为－1.∵点B在反比例函数的图象上，∴当y＝－1时，x＝8，∴点B的坐标为(8，－1)．∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，－4)，B(8，－1)，
2. 据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； 解 (1)设反比例函数解析式为 将(25，6)代入解析式，得k＝25×6＝150， 则函数解析式为y＝ (x≥15)． 将y＝10代入解析式，得10＝ ，x＝15，故A(15，10)． 设正比例函数解析式为y＝nx， 将A(15，10)代入上式， 得 则正比例函数解析式为y＝(⅔)x(0≤x≤15)．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？解 ＝2，解得x＝75(分钟)．答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．
感悟提高 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．变式测试2 (2013·烟台) 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°. (1)求线段AB的长； (2)求经过A、B两点的反比例函数的解析式．解 (1)分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C、D，由题意，知∠BAC＝60°，AD＝7－1＝6，
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？ 解 将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′，得点B′(6，2)，故当x＝6时，y＝12/6＝2，即点B′恰好落在双曲线上． 3.如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A(－2，0)、B(6，0)、D(0，3)，反比例函数的图象经过点C. (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； 解 过点C作CE⊥AB于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，DO＝CE，∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2，∵BO＝6，∴DC＝OE＝4，∴C(4，3)．
感悟提高 C点的纵坐标与D点的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C点的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到，代入函数解析式判断即可． 本题是反比例函数与梯形的综合题，以及待定系数法求函数的解析式，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
4.(2013·宜宾) 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A(0，3)，B(－4，0)． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是(1)中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标． 解 (1)由题意知，OA＝3，OB＝4， 在Rt△AOB中， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5，∴C(－4，－5)． 设经过点C的反比例函数的解析式为y＝ 则 ＝－5，解得k＝20， ∴所求的反比例函数的解析式为y＝ (2)设P(x，y)， ∵AD＝AB＝5，OA＝3， ∴OD＝2，S△COD＝(½)×2×4＝4，即(½)·OA·|x|＝4，
要点梳理1．概念： 函数 叫做反比例函数．2．图象： 反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．3．性质： (1)当k>0时，其图象位于第一、三象限 ，在每个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k<0时，其图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； (3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．应用： 如图，点A和点C是反比例函数 的图象上任意两点，画AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则有S△AOB＝S△COD＝
第13课 反比例函数及其图象
考点巩固测试 1. 已知图中的曲线是反比例函数 图象的一支．(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？解 这个反比例函数图象的另一支在第三象限． ∵m－5>0，∴m>5.(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式． 解 ∵点A在直线y＝2x上， ∴设点A的坐标为(x0，2x0)(x0>0)， 则点B的坐标为(x0，0)． ∵S△OAB＝4， ∴ ½ ·x0·2x0＝4，x02＝4，x0＝±2(舍去负值)， ∴点A的坐标为(2，4)．
感悟提高 一次函数与比例函数的图象的性质取决于系数的值，同样由图象的性质，反过来也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．变式测试1 (2013·聊城) 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数 图象于点A、B，交x轴于点C. (1)求m的取值范围； (2)若点A的坐标是(2，－4)，且＝ 求m的值和一次函数的解析式．
解 (1)∵反比例函数的图象在第四象限，∴4－2m＜0，解得m＞2. (2)∵点A(2，－4)在反比例函数图象上，解 ∵点A(2，－4)在反比例函数图象上，过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，∴∠BNC＝∠AMC＝90°.又∵∠BCN＝∠ACM，∴△BCN∽△ACM， ∵AM＝4，∴BN＝1，∴点B的纵坐标为－1.∵点B在反比例函数的图象上，∴当y＝－1时，x＝8，∴点B的坐标为(8，－1)．∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，－4)，B(8，－1)，
2. 据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； 解 (1)设反比例函数解析式为 将(25，6)代入解析式，得k＝25×6＝150， 则函数解析式为y＝ (x≥15)． 将y＝10代入解析式，得10＝ ，x＝15，故A(15，10)． 设正比例函数解析式为y＝nx， 将A(15，10)代入上式， 得 则正比例函数解析式为y＝(⅔)x(0≤x≤15)．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？解 ＝2，解得x＝75(分钟)．答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．
感悟提高 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．变式测试2 (2013·烟台) 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°. (1)求线段AB的长； (2)求经过A、B两点的反比例函数的解析式．解 (1)分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C、D，由题意，知∠BAC＝60°，AD＝7－1＝6，
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？ 解 将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′，得点B′(6，2)，故当x＝6时，y＝12/6＝2，即点B′恰好落在双曲线上． 3.如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A(－2，0)、B(6，0)、D(0，3)，反比例函数的图象经过点C. (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； 解 过点C作CE⊥AB于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，DO＝CE，∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2，∵BO＝6，∴DC＝OE＝4，∴C(4，3)．
感悟提高 C点的纵坐标与D点的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C点的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到，代入函数解析式判断即可． 本题是反比例函数与梯形的综合题，以及待定系数法求函数的解析式，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
4.(2013·宜宾) 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A(0，3)，B(－4，0)． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是(1)中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标． 解 (1)由题意知，OA＝3，OB＝4， 在Rt△AOB中， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5，∴C(－4，－5)． 设经过点C的反比例函数的解析式为y＝ 则 ＝－5，解得k＝20， ∴所求的反比例函数的解析式为y＝ (2)设P(x，y)， ∵AD＝AB＝5，OA＝3， ∴OD＝2，S△COD＝(½)×2×4＝4，即(½)·OA·|x|＝4，
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