2021年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）（word版 含答案）

这是一份2021年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000的外墙保暖，632000这个数用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数为（　　）

A．75° B．50° C．35° D．30°
7．已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）

A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4
C．BC=2CM D．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

二、填空题
9．比较大小：_____（填＞、＜或=）
10．如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为，表示伪皇宫的点的坐标为，则表示胜利公园的点的坐标是_____．

11．二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有_____个交点．
12．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高为米，大桥主跨的中点为，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为，那么用塔高和的三角函数表示主跨的长为_____米．

13．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有________________个涂有阴影的正方形．(用含的代数式表示)

14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．


三、解答题
15．先化简，再求值÷（x﹣），其中x=．
16．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
17．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?
18．在下面的正方形网格中按要求作图．

（1）在图①中将平移，使点与点重合，得到；
（2）在图②中将绕点逆时针旋转，得到；
（3）在图③中作，使其与关于线段对称．
19．如图，在中，是的直径，是弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．

（1）求证：是的切线．
（2）的半径为，求的长．
20．下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第次《中国互联网络发展状况统计报告》的内容，图①为网民规模和互联网普及率，图②为手机网民规模及其占网民比例．

根据统计图提供信息，回答下列问题：
（1）年，互联网普及率增加了　 　个百分点，手机网民占网民比例增加了　 　个百分点，相比其他年份，　 　年手机网民占整体网民的增长比例最大．
（2）年手机上网人数约占全体国民的　 　．（精确到个位）
（3）估计年网民规模是否会超过，请简要说明理由．
21．儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算，某种药品，体重的儿童，每次正常服用量为；体重的儿童每次正常服用量为；体重在范围内时，每次正常服用量是儿童体重的一次函数中，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1．2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．（1）下面是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED．
证明：∵CE∥AB（已知）
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED（两直线平行，内错角相等）


．
请你将上面的证明过程补充完整．
（2）如图①，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB = 9，BC = 10，BF = 3，则线段AE的长为_____________．
（3）已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为__________cm．

23．如图，在中，．点是线段上不与点重合的动点，过点作交边于点．将绕点顺时针旋转得到，设线段的长为．

（1）直接用含的代数式表示线段的长．
（2）当点落在线段上时，求t的值．
（3）设与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与的函数关系式．
（4）若点是边的中点，是的中点，当直线与一直角边所在直线夹角恰好等于时，直接写出的值．
24．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a-1（a≠0）．
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x-h）2+b（a≠0）的形式 ，并写出顶点坐标 ；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A(-3，1)．
①a的值 ；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，则k的取值范围 ．



参考答案
1．B
【详解】
【分析】将选项中的运算符号分别代入□内进行计算即可得.
【详解】1+（-2）=-1，不符合题意；
1-（-2）=1+2=3，符合题意；
1×（-2）=-2，不符合题意；
1÷（-2）=-0.5，不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握各运算的法则是解题的关键.
2．B
【详解】
试题分析：由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此632000=6．32×．
故选B
考点：科学记数法

3．B
【分析】
分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．
【详解】
、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；
、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法．
4．C
【分析】
分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集．
【详解】
解：
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为：．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解集，规范解不等式，并准确确定解集是解题的关键．
5．D
【分析】
根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】
根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度

故选：D.
【点睛】
本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
6．C
【详解】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可以得出∠4=∠1=75°，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
【详解】∵a∥b，
∴∠4=∠1=75°，
∴∠2+∠3=∠4=75°，
∵∠2=40°，
∴∠3=75°﹣40°=35°，
故选C．

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，结合图形熟练应用相关性质解题是关键.
7．B
【分析】
连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．
【详解】
如图，连接AC，

由题意知：EF垂直平分CD，
∴AC=CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴AC=AD=CD=AB=BC，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；
∵AM垂直平分CD，
∴∠CAM=∠DAM=30°，
∴∠BAM=90°，
∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；
∵AB=2，
∴AC=CD=2，
∴AM=AC·cos30°=2×=，
∴BM===，故B项错误；
由AM垂直平分CD可得CM=CD，
又∵BC=CD，
∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键．
8．B
【分析】
由矩形的性质求出S△OAB=S△OBC，反比例函数系数k的几何意义△OAE和△OCD的面积各为1，根据等底同高，面积和差求出四边形OEBD的面积为2．
【详解】
解：连接OB，如图所示：

∵OB是矩形OABC的对角线，
∴S△OAB＝S△OBC
又∵点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，
∴S△OCD＝S△OAB＝1，
又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，
∴S△OAB＝S△OBC＝2
又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，
∴S△OBE＝2﹣1＝1，
又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，
∴S四边形OEBD＝1+1＝2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积和差法，等底同高法两个三角形的面积相等相关知识点，重点掌握反比例函数系数k的几何意义，难点是作辅助线将不规则的四边形转化成三角形求解．
9．＜
【分析】
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：
，

故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练进行无理数的估算，准确掌握实数大小比较的基本原则是解题的关键．
10．
【分析】
直接利用解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），进而建立平面直角坐标系得出原点位置即可．
【详解】
解：根据解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），建立平面直角坐标系如图所示：
由坐标系可判断胜利公园的点的坐标是：
故答案为：．

【点睛】
此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
11．2
【详解】
【分析】根据（b2-4ac）与0的大小关系即可判断出二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴交点的个数．
【详解】∵b2-4ac =32﹣4×2×（﹣2）=25＞0，
∴二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有2个交点，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数，判断的依据为：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．
【分析】
根据角的正切值可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，在Rt△ABE中，

又∵E是BD的中点
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．
13．
【分析】
观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可；
【详解】
由图可知，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，

第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为；
故答案是个．
【点睛】
本题主要考查了规律性图形变化类，准确分析是解题的关键．
14．7
【分析】
建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】
解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得

解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
15．6
【详解】
【分析】括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后代入x的值进行计算即可得.
【详解】原式=
=
=，
当x=，原式==6.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所给的式子确定运算顺序、熟练应用相关的运算法则是解题的关键.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【详解】
解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是：；
故答案为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）最多可以购买25副围棋；
【分析】
（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可.
【详解】
解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
∴，
∴最多可以购买25副围棋；
【点睛】
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）确定平移方向，平移距离，利用平移规律作图即可；
（2）找准旋转中心，明确旋转的方向，确定旋转的角度，作图即可；
（3）利用构造垂线，延长相等的原理作图即可．
【详解】
解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．

【点睛】
本题考查了正方形网格中的平移作图，旋转的作图，轴对称作图，熟练掌握平移的规律，对称的作图，旋转的作图是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】
连接，求出，根据切线的判定得出即可；
解直角三角形求出，求出，根据勾股定理可得
【详解】
证明：连接
是弦的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：在中


在中

在中

．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及有切线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，本题属于中等题型．
20．（1）37；59.1；2009；（2）9；（3）估计年网民规模不会超过，见解析
【分析】
（1）根据“年，互联网普及率由增长到”、“手机网民占网民比例由增长到”及图②折线变化趋势逐一求解可得；
年手机上网人数约占全体国民的，计算、取近似值即可得；
根据“年网民规模为，近几年涨幅约为”估计可得．
【详解】
.解：年，互联网普及率由增长到，增长了个百分点；
手机网民占网民比例由增长到，增长了个百分点，
由图②知，相比其他年份，年手机网民占整体网民的增长比例最大，
故答案为：；
年手机上网人数约占全体国民的，
故答案为：；
估计年网民规模是不会超过，
年网民规模为，近几年涨幅约为，
估计年网民规模不会超过．
【点睛】
本题考查了折线统计图，正确理解折线统计图的意义及统计图之间的联系是解题的关键．
21．（1）y=10x+10（5≤x≤50）；（2）24≤x≤29.
【分析】
（1）根据体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），依题意有：
，
解得：，
即y与x之间的函数关系式是y=10x+10（5≤x≤50）；
（2）当y=300时，300=10x+10，得x=29，
当y==250时，250=10x+10，得x=24，
故24≤x≤29，
即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是理解题意，利用一次函数的性质解答．
22．（1）证明补充见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据已知条件证明三角形全等判断即可；
（2）根据勾股定理求出FD，AD计算即可；
（3）根据题意分两种情况进行分析，一是沿底边中线剪开，一是沿腰的中点剪开，然后分别计算即可；
【详解】
（1）在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED（已证），BD=CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD=ED（全等三角形的对应边相等）；
（2）在Rt△BFD中，，
在Rt△AFD中，，
∵AD=DE，
∴；
（3）沿底边中线剪开，如图所示，

∵AB=AC，BD=CD，
∴，，
∵，，
∴，，
拼接成的新三角形为△AEC，
∴△AEC的周长=AC+CE+AE=2AD+2AC=20+40=60；
沿腰上的中线剪开，如图所示，

过点B作交CA延长线于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在Rt△BHN中，，
由上题可知，
∴拼接成的新三角形为△CMB，
∴△CMB的周长=BC+CM+BM=BC+AB+2BN=，
综上所述，所得三角形的最大周长为（）cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的正确，准确分析判断是解题的关键．
23．（1）线段的长为；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【分析】
由已知可得，证明，由相似三角形的性质即可求解；
根据相似三角形的判定和性质即可求解；
分三种情况画出图形，用含的式子表示出三角形的直角边，根据三角形面积的关系即可求解；
根据线段中点的定义及相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】
解：
，

，


的长为

，
线段的长为
如图1，

由题意得：，
，
，
，
，
，即
解得：，
的值是；
当点与点重合时，如图2，

，即，
解得：，
当时，如图5，

，

，
，


当时，如图3，重叠部分不是四边形；

当时，如图4，

，
，
与的函数关系式为：当时，；当时，；
当在上时，与的夹角为，如图6，

，
，


，
点是边的中点，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，图形的运动求重叠部分的面积，分类讨论思想，属于常考题型，灵活运用相似三角形的判定，相似三角形的性质是解决本题的基础，学会分类讨论是解决本题的重难点．
24．（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1，（-1，-1）；（2）①；②≤k＜或k=-4．
【分析】
（1）化成顶点式即可求得；
（2）①把点A（-3，1）代入二次函数C1：y1=ax2+2ax+a-1即可求得a的值；
②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
【详解】
（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1，
∴顶点为（-1，-1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（-3，1）．
∴a（-3+1）2-1=1，
∴a=；
②∵A（-3，1），对称轴为直线x=-1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过A（-3，1）时，1=9k-3k，解得k=，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1=k+k，解得k=，
∴≤k＜，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2=kx2+kx=k（x+）2-k，
∴-k=1，
∴k=-4，
综上，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k＜或k=-4．
【点睛】
此题考查二次函数图象和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键．