2021年高考数学一轮复习《平面向量取值范围问题》精选练习(含答案详解)

这是一份2021年高考数学一轮复习《平面向量取值范围问题》精选练习(含答案详解)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学一轮复习《平面向量取值范围问题》精选练习一、选择题1.在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（    ）A.16        B.8        C.4        D.22.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则(　　)A.m+n是定值,定值为2B.2m+n是定值,定值为3C.+是定值,定值为2D.+是定值,定值为33.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)A.             B．          C.           D．4.如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m＋，则实数m的值为(　　)A.               B.            C．1              D．3 5.如图，已知△OAB，若点C满足=2，=λ＋μ (λ，μ∈R)，则＋=(　　)A.             B.            C.            D.6.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=a，=b，=xa＋yb，则＋的最小值为(　　)A.6＋2        B.6        C.6＋4        D.3＋27.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若=＋λ·，则||的取值范围为(　 　)A.      B.    C.     D.8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)A.3         B.2           C.          D.29.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A.－2           B.－          C.－           D.－110.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x)·,则x的取值范围是(　　)A.(0,)                                     B.(0,)                         C.(-,0)                                       D.(-,0)   11.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(m,3m－4)，b=(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，4)      B．(4，＋∞)      C．(－∞，4)∪(4，＋∞)      D．(－∞，＋∞)12.已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且=x，=y (x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)A.            B.          C.            D.＋13.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若=m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)A．(0,1)        B．(1，＋∞)       C．(－∞，－1)       D．(－1,0)14.设向量=(1，－2)，=(a，－1)，=(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(   　)A.4        B.6            C.8         D.915.中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（    ）A.        B.        C.        D.16.在等腰直角三角形中，，，点为三角形所在平面上一动点，且满足，则的取值范围是（    ）A.        B.        C.        D.17.过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为(　　)A.            B.            C.            D．2－3 18.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB=，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)A.           B.           C．1            D．19.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3=0，则|a－b|的最小值是(　　)A．－1           B．＋1         C．2         D．2－20.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2         B．－          C．－           D．－121.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，若a·b=，则(a＋b)·(2b－c)最小值为(  )A.－2          B.3－         C.－1          D.0二、填空题22.如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为________．23.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=＋μ，则μ的取值范围是________．24.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且||=，若=λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________.25.在△ABC中，∠A=，O为平面内一点，且||=||=||，M为劣弧上一动点，且=p＋q，则p＋q的取值范围为________.26.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若=x＋y，则3x＋2y的取值范围是           .27.平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，点P在边CD上，则的取值范围是____________.28.已知平面向量a，b满足|b|=1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．29.已知向量=(m,1)，=(2－m，－4)，若·>11，则m的取值范围为________．30.在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则·的最小值为________．
0.答案解析1.答案为：A解析：由题意可知，其中，，三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，则：，当且仅当，时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项.2.答案为：D；解析：法一:如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=,所以==,由BD=DC可得=,所以==,因为=m,所以m=,整理可得+=3.故选D.法二:因为M,D,N三点共线,所以=λ+(1-λ).又=m,=n,所以=λm+(1-λ)n,①又=,所以-=-,所以=+,②由①②知λm=,(1-λ)n=,所以+=3,故选D.3.答案为：D.解析：设=λ，其中1＜λ＜，则有=＋=＋λ=＋λ(－)=(1－λ)＋λ.又=x＋(1－x)，且，不共线，于是有x=(1－λ)∈，即x的取值范围是.4.答案为：B；因为=，所以=4.所以=m＋=m＋，因为B，P，N共线，所以m＋=1，m=.5.答案为：D；∵=＋=＋=＋(－)=＋，∴λ=，μ=，∴＋=3＋=.故选D.6.答案为：D；解析：由题意知=xa＋yb=2x＋y，因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.由题图可知x＞0且x≠1.所以＋=＋=.令f(x)=，则f′(x)=，令f′(x)=0，得x=－1或x=－－1(舍).当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.所以当x=－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－)==3＋2.7.答案为：D；解析：在AB上取一点D，使得=，过D作DH∥AC，交BC于H.∵=＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.当P在D点时，||取得最小值2；当P在H点时，||取得最大值，此时B，P，C三点共线，∵=＋λ，∴λ=，∴=＋，∴2=2＋2＋·=，∴||=.故||的取值范围为.故选D.8.答案为：A；解析：建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD=1，BC=2，∴BD==，EC===，即圆C的半径为，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2=.设P(x0，y0)，则(θ为参数)，而=(x0，y0)，=(0,1)，=(2,0).∵=λ＋μ=λ(0,1)＋μ(2,0)=(2μ，λ)，∴μ=x0=1＋cos θ，λ=y0=1＋sin θ.两式相加，得λ＋μ=1＋sin θ＋1＋cos θ=2＋sin(θ＋φ)≤3，当且仅当θ=＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]9.答案为：B；解析：法一：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0).图①设P点的坐标为(x，y)，则=(－x，－y)，=(－1－x，－y)，=(1－x，－y)，∴·(＋)=(－x，－y)·(－2x，－2y)=2(x2＋y2－y)=2≥2×=－.当且仅当x=0，y=时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.法二：(几何法)如图②所示，＋=2(D为BC的中点)，则·(＋)=2·.图②要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min=－2||||，问题转化为求||||的最大值.又||＋||=||=2×=，∴||||≤2=2=，∴[·(＋)]min=(2·)min=－2×=－.故选B.]10.答案为：D；解析：解法一:依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)·,且、不共线,于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0),选D.解法二:∵=x+-x,∴-=x(-),即=x=-3x,∵O在线段CD(不含C、D两点)上,∴0<-3x<1,∴-<x<0.11.答案为：C;解析：平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a=(m,3m－4)，b=(1,2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．12.答案为：D；解析：如图．=，=，又∵=＋，∴=＋，又∵M，G，N三点共线，∴＋=1.∵x>0，y>0，∴3x＋y=(3x＋y)·=1＋＋＋≥＋.当且仅当y=x时取等号．故选D.13.答案为：D；解析：由点D是圆O外一点，可设=λ (λ>1)，则=＋λ=λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令=－μ (μ>1)，则=－－· (λ>1，μ>1)，所以m=－，n=－，则m＋n=－－=－∈(－1,0)．14.答案为：C；解析：∵=(1，－2)，=(a，－1)，=(－b,0)，∴=－=(a－1,1)，=－=(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴=λ，即(a－1,1)=λ(－b－1,2)，∴可得2a＋b=1.∵a＞0，b＞0，∴＋=(2a＋b)=2＋2＋＋≥4＋2=8，当且仅当=，即a=，b=时取等号，故＋的最小值为8，故选C.15.答案为：D解析：设，则，，则，因为，所以，即的取值范围是，故选D.16.答案为：D解析：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则，，，由知，点在以为圆心，半径为1的圆上，设，，则，又，∴，当，即时，取得最大值，当，即时取得最小值，∴的取值范围是，故选D.17.答案为：C；解析：观察圆C的方程可知，圆心C在直线y=x－2上运动，则|PC|≥=2.设∠CPA=θ，则·=||||cos 2θ=||2(2cos2θ－1)=(||2－1)=(||2－1)·=||2＋－3，令||2=x，设y=x＋－3，则y=x＋－3在[8，＋∞)上为增函数，故·≥8＋－3=，故选C.18.答案为：C；解析：∵扇形OAB的半径为1，∴| |=1，∵OP⊥OB，∴·=0.∵∠AOB=，∴∠AOP=，∴·=(＋)·(＋)=2＋·＋·＋·=1＋||cos ＋||·||cos ≤1＋0×＋0×=1，故选C.19.答案为：A；解析：设=a，=b，=e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为，∴点A在从原点出发，倾斜角为，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3=0，得x2＋y2－4x＋3=0，即(x－2)2＋y2=1，即点B在圆(x－2)2＋y2=1上运动．而=a－b，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线y=x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min=－1．故选A．20.答案为：B；解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D，．·(＋)=2·=2(－1－x，－y)·－x，－y=2(x＋1)·x－＋y·y－=2x＋2＋y－2－．因此，当x=－，y=时，·(＋)取得最小值，为2×－=－．故选B．21.答案为：B；解析：由|a|=|b|=1，a·b=，可得〈a，b〉=.令=a，=b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a==(1,0)，b==，设c==(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)=2a·b－a·c＋2b2－b·c=3－=3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.22.答案为：1；解析：以A为坐标原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．∵=m，=n，∴M，N，∴直线MN的方程为＋=1，∵直线MN过点O(1,1)，∴＋=1，即m＋n=2，∴mn≤=1，当且仅当m=n=1时取等号，∴mn的最大值为1.23.答案为：；解析：由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.∵点E在线段CD上，∴=λ (0≤λ≤1)．∵=＋，又=＋μ=＋2μ=＋，∴=1，即μ=.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.24.答案为：解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，)，D(0，).设P(x，y)，则=(x，y)，=(1,0)，=(0，).由=λ＋μ(λ，μ∈R)，得又因为所以λ＋μ=x＋y≤=.25.答案为：[1,2]；解析：因为||=||=||，所以O为△ABC外接圆的圆心，且∠BOC=.以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，则B(1,0)，C，设M(cos θ，sin θ)，则=(1,0)，=，由=p＋q，得，解得，所以p＋q=cos θ＋sin θ=2sin，由0≤θ≤，知≤θ＋≤，所以当θ＋=，即θ=时，p＋q取得最大值2；当θ＋=或θ＋=，即θ=0或θ=时，p＋q取得最小值1.故p＋q的取值范围是[1,2].26.答案为：(1，].解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，则=＋，且||=cosθ，||=sinθ.又与共线，与共线，故=，=，从而=＋，故x=，y=，因此3x＋2y=cosθ＋sinθ=sin，又θ∈，故3x＋2y的取值范围是(1，].27.答案为：.28.答案为：；解析：在△ABC中，设=a，=b，则b－a=－=，∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B=60°，由正弦定理得=，∴|a|==sin C，∵0°<C<120°，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈.29.答案为：(7，＋∞)；解析：由向量=(m,1)，=(2－m，－4)，得=＋=(2，－3)．又因为·>11，所以2m－3>11，解得m>7.30.答案为：－3；解析：设E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴=(1，m)，=(－2，n)．∴·=－2＋mn，又知||=2，∴|m－n|=2．①当m=n＋2时，·=mn－2=(n＋2)n－2=n2＋2n－2=(n＋1)2－3．∴当n=－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，·取得最小值－3．②当m=n－2时，·=mn－2=(n－2)n－2=n2－2n－2=(n－1)2－3．∴当n=1，即E的坐标为(0，－1)，F的坐标为(0,1)时，·取得最小值－3．综上可知，·的最小值为－3．