高考第26讲以平面向量为背景的取值范围问题专题练习

第二十六讲以平面向量为背景的取值范围问题专题

一、选择题

1．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，

过点作轴，过点作轴，

∵，，，，，

∴，，

∴，∴，∴，

∴，∴，，，

设，∴，，，

∴，

当时，取得最小值为，故选C.

2．已知平面向量满足，则最大值为(    )

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】设， 与所成夹角为，则：

，则向量的夹角为60°，

设，则，故：

，设O到BC的距离为，

则，

由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，

A到BC的距离的最大值为，

则△ABC的面积的最大值为：

故最大值为

本题选择D选项.

3．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】因为点的坐标分别是和

所以

又由点P在线段AB上，且

所以

则⋅，

当t=0时候取最大为.

故选A.

4．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（   ）

A． 4    B． 3    C． 2    D． 1

【答案】C

【解析】||=

只考虑x>0，则===⩽2，

当且仅当=−时取等号。

∴的最大值等于2.

故答案为：2.

5．若向量，且，则的最大值是

A． 1    B．     C．     D． 3

【答案】B

【解析】 ,选D.

6．已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】有题可知.

建立如图所示的坐标系，有点.

设，则.

所以

.

因为点到边的距离，

所以的面积为定值.

所以，故，故选C.

7．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（    ）

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】设，，，则. 设 ，则，故，故选A.

8．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】设与的夹角为θ，因为，所以，

本题选择B选项.

9．在中， ， ，点在上，则的最小值是 （    ）

A． -36    B． -9    C． 9    D． 36

【答案】B

【解析】 ,则

，故选B.

10．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（   ）

A． 3    B．     C．     D．

【答案】C

【解析】∵是半径为1的圆上三点， ，
∴根据余弦定理可知边所对的圆心角为60°则∠=30°
在中，根据正弦定理可知.
∴

的最大值为，故选C.

11．已知两点， ，点在曲线上运动，则的最小值为（    ）

A． 2    B．     C．     D．

【答案】D

【解析】设 ，则 ， ，即的最小值为 ，故选D.

12．已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ，

由向量关系可得： ，

则： ，

整理可得： ，

满足题意时： ，

据此可得三角不等式： ，

解得： ，即 的取值范围是 .

本题选择D选项.

13．已知平面向量， ， ， ，且.若为平面单位向量， 的最大值为（    ）

A．     B． 6    C．     D． 7

【答案】C

【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值，

∴，则的最大值为，故选C.

14．如图在中， 为边上一点（含端点）， ，则的最大值为（   ）

A． 2    B． 3    C． 4    D． 5

【答案】D

【解析】 , , ，因为，所以，即的最大值为 .

15．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】试题分析：建立坐标系如图所示，设，其中， ，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.

16．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得： ，故选则D.

法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图，

因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以， ，所以，故选择D.

17．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】

建立如图所示平面直角坐标系，设，则，故，因为，所以；又因为，所以（当且仅当取等号），应选答案D。

二、填空题

18．， 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 ______________.

【答案】

【解析】
 

以A 为原点，以AB为x轴，以AD 为y轴建立平面直角坐标系，设，则， ， ， ， ，（其中 ），当时， 取得最大值，当在点位置时 ， 取最小值 ，则的取值范围.

19．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【解析】

由题意知，，，；

直线AB的方程为；

，

；

，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；

，

，时取“”；

又，

；

要使恒成立，k的取值范围是．

故答案为：．

20．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________．

【答案】

【解析】

中，为边的中点，为的中点，

且，

，

，

同理，，

又与共线，

存在实数，使，

即，

，解得，

，

当且仅当时， “=”成立，故答案为.

21．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【解析】

根据题意，是圆 上任意一点，

可设，

若点满足条件，则是的中点，

则的坐标为，

若在直线上，则，

变形可得，

即表示单位圆上的点

与点连线的斜率，

设过点的直线与圆相切，

则有，

解可得或，

则有，即的取值范围为,故答案为

22．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．

【答案】

【解析】

因为，，，

所以,

因为为圆上，所以，

，

，

，

，

，

，故答案为1．

23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）•=c•且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____

【答案】

【解析】

∵（（2a﹣c）•=c•，
可化为： 

即：（2a-c）cacosB=cabcosC，
∴（ 2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（C+B），即 2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，
∴ ，即 ；
∵ ，即b2=4，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得4=a2+c2-ac，由基本不等式可知4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴△ABC的面积 ，
即当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．
故答案为：.

24．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

设已知圆的圆心为C,由已知可得，

∴,

又由中点公式得，所以：

又因为，点P在圆(x−3)2+(y−4)2=4上，所以,且，

所以，

即,故，

所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20.

的取值范围是.

25．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

设，， ，

，故答案为.

26．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．

【答案】．

【解析】

根据D为AB的中点，若，得到，

化简整理得，即，

根据正弦定理可得，进一步求得，

所以

，

求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为

，

故答案为.

27．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．

【答案】

【解析】

∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，

∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），

∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，

作垂直线段CD⊥AB，CD==1，

所以点D的轨迹为,

则，

因为圆P和圆D的圆心距为，

所以两圆外离，

所以|PD|最小值为，

所以的最小值为4﹣2.

故答案为：4﹣2.

28．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．

【答案】

【解析】

已知扇形的弧长为，半径为，所以。

由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。

29．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____．

【答案】

【解析】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，

设，所以，

 所以，

即，令，则，所以，

所以

，

当且仅当时，取得最小值.

30．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______．

【答案】9

【解析】

如图，

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

由于菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，故点，

则，

设，N为菱形内（包括边界）一动点，

对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.

因为，则，

令，则，由图像可得当目标函数过点时，取得最大值，此时，

故答案为9.

31．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．

【答案】24.

【解析】

由，得，

，

，即，

以为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则，设，

则

，

当时取得最小值，此时，

则，故答案为.

32．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__．

【答案】.

【解析】

：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为由题,的面积为6，

，设 的夹角为，

故与所成角的余弦值取值范围是.

即答案为.

33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________； 若向量，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】

如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以 ，因为，所以，所以，所以的范围是；

根据，可得，即，从而可以求得，

所以，

因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.

34．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．

【答案】

【解析】

当且仅当时取等号，即的最小值是3.

35．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．

【答案】

【解析】

以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.

设正方形的边长为，

则   

设  .又向量

所以，

∴，

∴，

∴．

令，则

所以当时，取最小值为.

36．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________．

【答案】

【解析】

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

∵正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形，

∴．

设，

∵，

∴，

又，

∴，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立。

又，

∴，

故的范围为．

37．设向量， ，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由题知，又夹角为锐角即，由数量积运算可得

即．当时，夹角为，舍去．故本题应填．

38．已知梯形中， 是边上一点，且.当在边上运动时， 的最大值是________________．

【答案】

【解析】设，则

，故．