2020-2021学年第二章 平面向量综合与测试练习题

2021年高中数学《平面向量》

章节培优练习

一、选择题

1.已知平面向量与的夹角为，且,则（    ）

A.1         B.            C.2          D.3

2.已知向量，，若，则的值为（   ）.

A.      B.       C.        D.

3.已知向量，若，则实数的值为（    ）

  A.-4       B.-2            C.2                  D.4

4.已知平面向量满足与的夹角为,若,则实数的值为（   ）

   A.1         B.1.5          C.2         D.3

5.如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（　　）

  A.2     B.    C.    D.

6.已知向量，，且，则的值为（   ）

A.1           B.2           C.0.5           D.3

7.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，=3，F为AE的中点，则=(　　)

A.－　      B．－        C．－＋         D．－＋

8.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ＋μ，则λ＋μ=(　　)

A.           B.           C.           D．2

9.对于向量m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，定义m⊕n=(x1x2，y1y2)．已知a=(2，－4)，且a＋b=a⊕b，那么向量b等于(　　)

A．(2，)          B．(－2，－)       C．(2，－)         D．(－2，)

10.若a=(x,2)，b=(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是(　　)

A.    B.     C.     D.

11.已知向量=(2,2)，=(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)

A.(－3,0)       B.(2,0)      C.(3,0)        D.(4,0)

12.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为(　　)

A.                         B.                              C.                           D.

二、填空题

13.已知向量夹角为45°，且，则=　    　．

14.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=　　　　. 

15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m，=n，则m＋n的值为________．

16.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·(2a－3b)=12，则|b|=________；

b在a方向上的投影等于________.

三、解答题

17.已知|a|=6，|b|=8，且|a＋b|=|a－b|，求|a－b|.

18.如图,以向量=,=为邻边作▱OADB,=,=,用,表示,,.

19.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求(a－2b)·b；

(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？

20.已知△OAB中，延长BA到C，使AB=AC，D是将分成2∶1两部分的一个分点，DC和OA交于点E，设=a，=b.

(1)用a，b表示向量，；

(2)若=λ，求实数λ的值．

21.已知向量a=，b=，且x∈．

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)=a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

22.已知，(x,k∈R).

（1）若，且，求x的值；

（2）是否存在实数k ，使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理.

23.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.

答案解析

24.C

25.B

26.B

27.D

28.D解：∵ y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=.可得x﹣=1， =1，解得x=，y=，∴xy=故选：D

29.A  

30.答案为：C.

解析：=(＋)=－＋×=－＋(－)=－＋(－)

=－＋=－＋.

31.答案为：B；

解析：以点A为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系．

设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，

所以=(2,2)，=(2,1)，=(－2,2)，所以λ＋μ=(2λ－2μ，λ＋2μ)，

因为=λ＋μ，所以

解得所以λ＋μ=.故选B.

32.答案为：A.

解析：设b=(x，y)，由新定义及a＋b=a⊕b，可得(2＋x，y－4)=(2x，－4y)，

所以2＋x=2x，y－4=－4y，解得x=2，y=，所以向量b=(2，)．

33.答案为：C；

解析：x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.

34.答案为：C；

解析：设P(x,0)，则=(x－2，－2)，=(x－4，－1)，

∴·=(x－2)(x－4)＋2=x2－6x＋10=(x－3)2＋1，

故当x=3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0).

35.答案为:D；

解析：由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,

可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,

∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.

36.答案为： 3; 

37.答案为：4；

解析：以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb可得-1=-λ+6μ,-3=λ+2μ,解得λ=-2,μ=-0.5所以=4.

38.答案为：2；

解析：设=a，=b，则=(＋)=a＋b，

又=＋=＋λ=＋λ(－)=(1－λ)＋λ=a＋b.

根据平面向量基本定理得消去λ整理得m＋n=2.

39.答案为：，1；

解析：·(2a－3b)=a2＋a·b－3b2=12，即3|b|2－|b|－4=0，

解得|b|=(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°=×=1.

40.解：

41.解：

42.解：(1)∵|a|=2|b|=2，

∴|a|=2，|b|=1.

又a在b方向上的投影为|a|cos θ=－1，

∴a·b=|a||b|cos θ=－1.

∴cos θ=－，∴θ=.

(2)(a－2b)·b=a·b－2b2=－1－2=－3.

(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，

∴(λa＋b)·(a－3b)=λa2－3λa·b＋b·a－3b2

=4λ＋3λ－1－3=7λ－4=0，∴λ=.

43.解：(1)∵A为BC的中点，

∴=(＋)，=2a－b.

=－=－=2a－b－b=2a－b.

(2)∵=λ，

∴=－=λ－=λa－2a＋b=(λ－2)a＋b.

∵与共线，

∴存在实数m，使得=m，即(λ－2)a＋b=m(－2a＋b)，

即(λ＋2m－2)a＋(1－m)b=0.

∵a，b不共线，∴解得λ=.

44.解：

(1)a·b=coscos－sinsin=cos2x，x∈．

∵a＋b=，

∴|a＋b|===2|cosx|．

∵x∈，∴cosx>0，∴|a＋b|=2cosx．

(2)f(x)=cos2x－2cosx=2cos2x－2cosx－1=22－．

∵x∈，∴≤cosx≤1，

∴当cosx=时，f(x)取得最小值－；

当cosx=1时，f(x)取得最大值－1．

45.解：

46.解:解法一:如图,以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B(-,),

设C(cos α,sin α)(α∈[0,]),

则有x=cos α+sin α,y=sin α,

所以x+y=cos α+sin α=2sin(α+),

所以当α=时,x+y取得最大值2.

解法二:如图,连接AB,记OC交AB于D点.

则==x+y,

∵D,A,B三点共线,∴x+y==,

∴(x+y)max==2.