2021年高考艺术生数学基础复习 考点29 单调性与奇偶性（学生版）

考点29  单调性与奇偶性

一．单调性

（一）增函数、减函数的定义

1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

数学符号：：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数

2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

（二）判断单调性的方法

1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

4.性质法：

(三)复合函数的单调性

y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”

二．单调性的应用

(一)最值

1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

(二)解不等式

(三)比较大小

三．函数的奇偶性

(一)奇函数、偶函数定义

1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。

          奇函数的图像关于原点对称

2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

          偶函数的图像关于y轴对称

(二)注意事项

1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件

2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

四．判断函数奇偶性的3种常用方法

1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．

2.图象法：

3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

考向一 无参数函数的单调性

【例1】(1)函数的单调递减区间为         

(2)(2020·荆州市沙市第四中学)函数的单调减区间为______.

(3)(2021·北京市)函数的单调递增区间是_____．

(4)(2020·甘肃省民乐县第一中学)已知函数，则单调递增区间是       

(5)(2021·重庆北碚区·西南大学附中)函数的单调递增区间是      

【举一反三】

1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A. y＝1    B. y＝－ ＋2    C. y＝－x2－2x－1    D. y＝1＋x2

2．(2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校)函数的单调区间为__________.

3．(2021·邗江区赤岸中学)函数的单调减区间为______.

4.(2021·黑龙江高考模拟)函数的单调减区间为      

5．(2020·江苏)函数的单调增区间为___________.

6．(2020·四川达州市)函数的单调递增区间是      

考向二 含参函数的单调性

【例2】(1)(2020·云南省镇雄县第四中学)若函数在上单减，则k的取值范围为__________.

(2)(2020·陕西西安市·西安一中)如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是       

(3)(2020·江苏课时练习)若f(x)＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.

(4)(2020·全国)函数在上为减函数，则的取值范围是   

【举一反三】

1．(2021·陕西省黄陵县中学)设函数是R上的增函数，则有(    )

A． B． C． D．

2．(2021·广西钦州市)函数在单调递增，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

3．(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

4．(2020·全国)若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

考向三  函数的奇偶性

【例3】(2020·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝2x＋；　　　　　　(2)f(x)＝2－|x|；

(3)f(x)＝＋；  (4)f(x)＝.

【举一反三】

1．(多选)(2021·浙江衢州市)下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有(    )

A． B．

C． D．

2．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)(多选)下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是(    )

A． B．

C． D．

考向四 函数的奇偶性的应用

【例4】(1)(2020·陕西渭滨.高二期末(文))已知是上的奇函数，且当时，，则当时，      。

(2)(2020·全国课时练习)函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.

(3)(2020·全国课时练习)若函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，则实数a的值为           。

【举一反三】

1．(2020·全国课时练习)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．.

2．(2021·江苏沭阳.高三期中)已知函数为偶函数，则的值为__________.

3．已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．

考向五  函数的单调性与奇偶性的应用

【例5】(1)(2021·河南高三月考)设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

(2)．(2021·云南师大附中高三月考)已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则(    )

A． B． C． D．

(3)(2021·河北石家庄市·石家庄一中)已知，则___________.

【举一反三】

1．(2021·陕西咸阳市·高三一模)已知函数，且，则实数的取值范围是(    )．

A． B． C． D．

2．(2021·兴义市第二高级中学)偶函数在区间上单调递减，则有(    )

A． B．

C． D．

3．(2021·江西赣州市·高三期末)设定义域为R的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是(    )

A． B．

C． D．

4．(2021·江苏南通市)设，若，则不等式的解集为____________.

1．(2020·江苏课时练习)函数与的单调递增区间分别为(    )

A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)

C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)

2．(2020·江苏课时练习)函数的单调递减区间为(     )

A． B． C． D．

3．(2021·北京石景山区)下列函数中，在区间上为减函数的是(    )

A． B． C． D．

4．(2020·四川成都市·成都实外)已知函数，则该函数的单调递减区间是(    )

A． B． C． D．

5．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)函数的单调递增区间是________.

6．(2020·四川省绵阳南山中学高三月考(理))函数的单调递减区间是________.

7．(2021·黑龙江大庆市·铁人中学)函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______.

8．(2021·长宁区·上海市延安中学)若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.

9．(2021·浙江期末)若函数在区间上单调递增，实数的取值范围是________．

10．(2020·江苏单元测试)若(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

11．(2021·浙江=期末)已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_________．

12．(2021·广西河池市)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为     

13．(2021·四川成都市树德协进中学)若函数在是增函数，则a的取值范围是  

14．(2021·沙坪坝区·重庆八中)已知，，，则、、的大小关系为    

15．(2021·沙坪坝区·重庆一中)设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是          

16．(2021·安徽芜湖市)已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为       

17.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为      

18．(2021·广西)已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则      

20．(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x>0时，，则关于x的不等式的解集为___________.

21．(2021·苏州市苏州高新区第一中学)若是以2为周期的偶函数，且当时，，则______．

22．(2021·广东广州市第二中学)已知函数为R上的奇函数，则n的值为___________.