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小升初数学专题复习训练—数与代数：数的认识（6）（知识点总结+同步测试）
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这是一份小升初数学专题复习训练—数与代数：数的认识（6）（知识点总结+同步测试），共20页。
知识点复习
一．公倍数和最小公倍数
【知识点解释】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）
分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；
所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
二．因数、公因数和最大公因数
【知识点解释】
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
三．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果A是B的，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．
分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲=2×2×2×3；
乙=2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
四．求几个数的最小公倍数的方法
【知识点归纳】
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生49人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；
答：这班至少有学生49人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例2：A和B都是自然数，分解质因数A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍数是60，那么C=2．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．
解：分解质因数A=2×5×C，
B=3×5×C，
所以2×3×5×C=60，则C=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
五．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）．
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数．×．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3=x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是1997．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数=奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3=1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3=1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
六．合数分解质因数
【知识点归纳】
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：把12分解质因数是：12=1×2×2×3×．（判断对错）
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行判断．
解：把12分解质因数应该是：12=2×2×3，因为1既不是质数也不是合数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
点评：此题主要考查分解质因数的意义．
例2：把24分解质因数是24=2×2×2×3．
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．
解：把24分解质因数：
24=2×2×2×3；
故答案为：24=2×2×2×3．
点评：此题主要考查分解质因数的方法．
2020年小升初数学专题复习同步测试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）72是4和9的（ ）
A．最小公倍数B．公因数C．公倍数
2．（2分）100以内3和7的公倍数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有（ ）个公因数．
A．0B．1C．2D．3
4．（2分）18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如果A＝B×6（A、B不为0），则A、B两数的最大公因数是（ ）
A．6B．BC．A
6．（2分）下面四种说法：①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1；②互质的两个数的最大公因数是1；③两个数的公因数的个数是有限的；④两个合数的最大公因数不可能是1．正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2分）一个三位数是2、3、5的倍数，这个三位数最小是（（ ）
A．102B．115C．120
8．（2分）a、b两个不是0的自然数，已知a﹣1＝b，那么a和b的最小公倍数是（ ）
A．aB．bC．abD．1
9．（2分）在横线上填上合适的质数：20＝___+____，可以填的两个数分别是（ ）
A．1和19B．10和10C．3和17
10．（2分）把12分解质因数为（ ）
A．12＝3×4B．12＝2×2×3C．12＝2×6D．12＝2×2×3×1
二．填空题（共12小题，满分23分）
11．（1分）7和27的最小公倍数是 ．
12．（2分）从小到大分别写出下面每两个数4个公有的倍数和其中最小的公有的倍数．
（1）4和9公有的倍数有 ．
（2）其中最小的公有的倍数是 ．
13．（2分）同时是2，3，5的倍数的最小三位数是 ，最大三位数是 ．
14．（3分）36的因数有 ；24和36的公因数有 ，最大公因数是 ．
15．（2分）36和24的公因数按从小到大排列依次是 ，其中 既不是质数也不是合数．
16．（1分）用1，3，5这三个数字组成的全部三位数一定有公因数 ．
17．（2分）如果6a＝b（a、b是不为0的自然数），那么，a与b的最小公倍数是 ，最大公因数是 ．
18．（2分）A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．
19．（2分）8和32的最小公倍数是 ；42和54的最大公因数是 ．
20．（3分）用下面卡片中的数，按要求组数．
任意找三张卡片组成一组，使这三个数有公因数2．如：
（1）2，4和6；[2，4，6]＝ ；
（2）4，6和8，[4，6，8]＝ ；
（3）你再组一组： ．
21．（1分）在10以内的自然数中，有 个质数．
22．（2分）一个数的因数一共有9个，按从小到大的顺序排列第5个因数是6，这个数是 ，把这个数分解质因数是 ．
三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）
23．（2分）因为a×b＝36，所以36是a和b的公倍数． （判断对错）
24．（2分）1、2、5都是10的质因数 （判断对错）
25．（2分）48和24的最小公倍数是24，最大公因数是48 （判断对错）
26．（2分）若A＝2×3×3×5，B＝2×2×3×7，则A和B的最小公倍数是1260． （判断对错）
27．（2分）只有公因数1的两个自然数一定都是质数． （判断对错）
28．（2分）2019＝3×673，所以，2019的最大因数是673． （判断对错）
四．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
29．（5分）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
12和30
42和14
7和15
30．（5分）找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数．
18和24
13和65
11和12
15和12
31．（5分）把下面各数分解质因数．
（1）30
（2）91
（3）24
五．应用题（共3小题，满分15分，每小题5分）
32．（5分）小明和小刚同时开始做作业，小明做8分钟休息2分钟，小刚做12分钟休息2分钟，问两人若要同时休息至少要隔多少分钟？
33．（5分）猜一猜：小明家的电话号码可有趣了，号码从左往右依次是：①是最小的合数；②最大因数是8；③因数只有1和5；④既不是质数也不是合数；⑤最大的一位数；⑥既是质数又是偶数⑦10以内最大的质数．你猜出小明家的电话号码吗？
34．（5分）把一些糖果分给4个小朋友，使4人的糖果数一个比一个多2，已知每人糖果个数的积是5760．这些糖果共有多少个？
六．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
35．（5分）找出15和10的因数、公因数、填写在下面的圈里．
36．（5分）有一张长方形纸，长24厘米，宽16厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形纸而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？一共可以剪多少个这样大小的正方形纸？
37．（5分）爸爸和他的同事张叔叔都参加了运动健身中心业余羽毛球锻炼，爸爸4天去一次，张叔叔6天去一次．5月1日他们同时在一起打球，几月几日他们会再次相遇？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．【分析】根据公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，由此解答．
【解答】解：4和9的公倍数有36、72、108…；
所以72是4和9的公倍数．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生理解和掌握公倍数的意义及求法．
2．【分析】因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是21，然后根据求一个数的倍数的方法，找出100以内21的倍数即可求解．
【解答】解：3和7的最小公倍数是21，
100以内21的倍数有：21、42、63、84．
所以100以内3和7的公倍数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法，以及求一个数倍数的方法．
3．【分析】根据最简分数的意义，分子、分母只有公因数1的分数是最简分数，两个不同的质数只有因数1，因此，分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有1个公因数．
【解答】解：分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有1个公因数．
故选：B．
【点评】明确质数的含义和互质数的含义，是解答此题的关键．
4．【分析】先将18和24分解质因数，得到18和24的所有的公约数，进一步得到18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的关系．
【解答】解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
2×3＝6
所以18和24所有的公约数是1，2，3，6，
（1+2+3+6）÷（1×2×3×6）
＝12÷36
＝
答：18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的．
故选：D．
【点评】给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．关键是得到18和24所有的公约数．
5．【分析】倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，由A、B都是非零自然数，如果A＝B×6，则A÷B＝6，可知：A和B是倍数关系，B是较小数，A是较大数，据此解答．
【解答】解：A、B都是非零自然数，如果A＝B×6，则A、B两数的最大公因数是B；
故选：B．
【点评】答本题关键是能由A＝B×6，知道A和B是倍数关系．
6．【分析】根据相关知识点逐项分析判断即可得解．
【解答】解：①最小的质数是2，最小的合数是4，2和4的最大公因数是2，所以原题说法错误；
②互质的两个数的最大公因数是1，说法正确；
③两个数的公因数的个数是有限的，说法正确；
④两个合数的最大公因数不可能是1，说法错误，如8和9都是合数，它们的最大公因数是1．
所以正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】此题考查了质数、合数、互质数以及公因数、最大公因数的意义．
7．【分析】由题意可知：先求2、3、5的最小公倍数，因为2、3、5三个数两两互质，这三个数的最小公倍数，即这三个数的连乘积，是30，然后再乘一个适当的整数得到一个三位数，这个数最小是30×4＝120；由此选择即可．
【解答】解：2×3×5
＝6×5
＝30
30×3＝90
30×4＝120
这个三位数最小是120；
故选：C．
【点评】此题主要考查了当三个数两两互质时的最小公倍数的方法：三个数两两互质，这三个数的最小公倍数，即这三个数的连乘积．
8．【分析】如果a﹣1＝b（a、b非0自然数），则说明这两个数是相邻的自然数，如5、6，那么这两个数互质，那么a和b的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积．
【解答】解：如果a﹣1＝b（a、b是非0自然数），则a和b互质，
所以a和b的最小公倍数是ab．
故选：C．
【点评】此题考查了两个数是相邻的自然数的最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．
9．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19．据此解答即可．
【解答】解：20＝3+17，
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用．
10．【分析】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把12分解质因数．
【解答】解：把12分解质因数是：12＝2×2×3；
故选：B．
【点评】本题主要考查分解质因数的意义，注意是质数相乘的形式．
二．填空题（共12小题，满分23分）
11．【分析】7和27是互质数关系，所以这两个数的最小公倍数是7×27＝189．
【解答】解：7和27是互质数关系，所以这两个数的最小公倍数是7×27＝189．
故答案为：189．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
12．【分析】几个数公有的倍数叫做它们的公倍数数，其中最小的公倍数叫做它们的最小公倍数；由此求出4和9公有的倍数和它们的最小公倍数．
【解答】解：4＝2×2
9＝3×3
最小公倍数：2×2×3×3＝36，36×2＝72，36×3＝108，36×4＝144，
4和9公有的倍数有 36、72、108、144．
其中最小的公有的倍数是 36．
故答案为：36、72、108、144；36．
【点评】此题考查了公倍数和最小公倍数的含义，注意平时对基础概念和含义的理解．
13．【分析】根据2、3、5倍数的倍数的特征解答：要想是最小的三位数百位上应是1，然后要先满足个位上是0才能既是2的倍数又是5的倍数，即个位上是0，百位上是1的数，这时1+0＝1，只要十位上加上2，即1+0+2＝3就满足是3的最小倍数，要使这个三位数最大，百位上是9、十位上是9，个位上是0，即9+9+0＝18，就满，3的倍数的特征，据此写出能同时是2、3、5倍数的最小的三位数和最大三位数．
【解答】解：由分析知：同时是2，3，5的倍数的最小三位数是120，最大三位数是990．
故答案为：120，990．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．
14．【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．据此可以求出36的因数、24的因数，进而求出24和36的公因数、最大公因数．
【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
所以24和36的公因数有：1、2、3、4、6、12，其中最大公因数是12．
故答案为：1、2、3、4、6、9、12、18、36；1、2、3、4、6、12，12．
【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，再求两个数的公因数、最大公因数的方法及应用．
15．【分析】找一个数的因数，可以一对一对的找，分别找出24和36的因数，进而找出它们的公因数，然后按照从小到大排列即可；
根据除了1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，然后判断公因数中既不是质数又不是合数的数．
【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
36和24的公因数按从小到大排列依次是 1、2、3、4、6、12，其中 1既不是质数也不是合数．
故答案为：1、2、3、4、6、12，1．
【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法以及判断一个数是质数、合数的方法．
16．【分析】根据能被2整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数判断即可．
【解答】解：因为能被1整除的数是非0自然数，
即用1、3、5三个数组成的所有三位数是非0自然数，因此这些三位数都能被1整除；
因为能被3整除的数的所有位数上的数字之和是3的倍数，
1+3+5＝9，即用1、3、5这三个数组成的所有三位数中各个数位上的数字之和均为9，均是3的倍数，因此这些三位数都能被3整除；
因为能被5整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，
如果这些三位数的个位是5，则能被5整除；如果这些三位数的个位是1或3，则不能被5整除；
因为能被9整除的数的所有位数上的数字之和是9的倍数，
1+3+5＝9，即用1、3、5这三个数组成的所有三位数中各个数位上的数字之和均为9，均是9的倍数，因此这些三位数都能被9整除．
故答案为：1，3，9．
【点评】此题根据能被1、2、3、5、9整除的数的特征：1能整除所有非0自然数，能被2整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数，能被9整除的数的所有数位上的数字之和是9的倍数判断即可．
17．【分析】因为6a＝b，所以b是a的倍数．当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公约数，较大的数是它们的最小公倍数，据此解答即可．
【解答】解：因为6a＝b，（a、b都是不为0的自然数）
所以b是a的倍数，
a和b的最小公倍数是b，
a和b的最大公因数是a；
故答案为：b，a．
【点评】本题考查：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公约数，较大的数是它们的最小公倍数．
18．【分析】根据求两个数最大公因数是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
【解答】解：整数A和整数B的最大公因数是3×2＝6
最小公倍数是2×3×2×5＝60．
故答案为：6，60．
【点评】明白短除法的左侧数字是两个数的公有质因数，下面一行数字是这两个数的独有质因数是解决此题的关键．
19．【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，要看两个数之间的关系：
（1）如果两个数是互质数，则最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；
（2）如果两个数为倍数关系，则最大公因数是较小数，最小公倍数为较大的数；
（3）如果两个数有公因数关系，则最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此解答即可．
【解答】解：32＝8×4
所以8和32的最小公倍数是32；
42＝7×3×2
54＝2×3×3×3
所以42和54的最大公因数是3×2＝6；
故答案为：32，6．
【点评】此题考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，根据两个数之间的关系，确定求法即可．
20．【分析】（1）根据求三个数的最小公倍数的方法，把这三数（2、4、6）分别分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．据此解答．
（2）求2、6、8的最小公倍数，首先把这三数分别分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．据此解答．
（2）根据2的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，由此可以确定2、4、10这三数有公因数2，再根据求三个数的最小公倍数的方法解答即可．
【解答】解：（1）4＝2×2，
6＝2×3，
所以2、4、和6的最小公倍数是：2×2×3＝12．
（2）4＝2×2，
6＝2×3，
8＝2×2×2，
所以4、6和8的最小公倍数是：2×2×3×2＝24．
（3）2、4、10有公因数2，
4＝2×2，
10＝2×5，
所以2、4和10的最小公倍数是：2×2×5＝20．
故答案为：12、24、[2，4，10]＝20．
【点评】此题考查的目的是理解掌握求几个数的公因数、最小公倍数的方法及应用．
21．【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．由此可知，在10以内的自然数中，质数有2，3，5，7四个数．
【解答】解：根据质数的意义可知，在10以内的自然数中，质数有2，3，5，7共4个数．
故答案为：4．
【点评】本题考查了学生根据质数的意义确定自然数中质数的能力．
22．【分析】根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数，依此可求该数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．
【解答】解：6×6＝36
36＝2×2×3×3
答：这个数是，36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3．
故答案为：36，36＝2×2×3×3．
【点评】此题主要考查分解质因数的方法以及如何求一个数的约数和约数的个数．关键是由因数的中间数求出这个数．
三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）
23．【分析】根据公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；依此根据公倍数的定义举出反例进行解答即可．
【解答】解：因为a×b＝36，所以36是a和b的公倍数的说法错误，如：0.2×180＝36，
因为a、b应为非0自然数．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
24．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；质数的含义：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数
；质因数，应确定是质数；由此进行解答即可．
【解答】解：1、2、5都是10的因数，但不是质因数，因为1不是质数，所以本题说法错误；
故答案为：×．
【点评】明确质数和因数的含义，是解答此题的关键．
25．【分析】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；据此判断即可．
【解答】解：因为48和24是倍数关系，
所以48和24的最小公倍数是较大数48，最大公因数是较小数24．
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查两个数为倍数关系时的最小公倍数和最大公因数：最小公倍数为较大的数，最大公因数为较小的数．
26．【分析】根据最小公倍数的意义可知：最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．
【解答】解：若A＝2×3×3×5，
B＝2×2×3×7，
那么A、B的最小公倍数是：2×3×3×5×2××7＝1260；
故答案为：√．
【点评】本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意找准哪些是两个数公有的质因数，哪些是独有的质因数．
27．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1．
【解答】解：公因数只有1的两个数叫做互质数．成为互质数的两个数不一定都是质数，如4和5，4是合数．
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是使学生理解掌握互质数的概念及意义．
28．【分析】一个数的最大因数是它本身，依此即可求解．
【解答】解：2019的最大因数是2019，
故题干的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．
四．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
29．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解；有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是较大的数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，由此解决问题即可．
【解答】解：12＝2×2×3
30＝2×3×5
12和30的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60
42和14是倍数关系，最大公因数是14，最小公倍数是42；
7和15是互质数，最大公约数是1，最小公倍数是7×15＝105
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1；数字大的可以用短除解答．
30．【分析】（1）（4）18和24、15和12两组数都是合数，首先分解质因数，求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积．
（2）因为65÷13＝5，即65和13成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因进行解答即可；
（3）11和12是互质数，当两个数是互质数时，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；进而解答即可．
【解答】解：
（1）18＝3×2×3，
24＝2×2×2×3，
所以18和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×2×3×3×2＝72；
（2）65÷13＝5，65和13是倍数关系，它们的最大公因数是13，最小公倍数是65；
（3）11和12是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是：11×12＝132；
（4）15＝3×5，
12＝3×2×2，
所以15和12的最大公因数是3，最小公倍数是3×5×2×2＝60．
【点评】此题主要考查求两个数成倍数关系时和两个数是互质数时的两个数的最大公因数与最小公倍数的方法
31．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．
【解答】解：（1）30＝2×3×5；
（2）91＝7×13；
（3）24＝2×2×2×3．
【点评】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法．
五．应用题（共3小题，满分15分，每小题5分）
32．【分析】小明做8分钟休息2分钟，即10分钟一个循环周期，小刚做12分钟休息2分钟，即14分钟一个循环周期，10和14的最小公倍数是70，即两人同时休息后至少经过了70分钟，再减去减2分钟就是间隔的时间；据此解答．
【解答】解：8+2＝10
12+2＝14
10＝2×5
14＝2×7
10和14的最小公倍数是2×5×7＝70，
70﹣2＝68（分钟）
答：两人若要同时休息至少要隔68分钟．
【点评】本题主要考查公倍数的实际应用，关键是明确两人同时休息后至少经过了70分钟．
33．【分析】①是最小的合数4；②8的最大因数是8；③5的因数只有1和5；④既不是质数也不是合数是1；⑤最大的一位数是9；⑥既是质数又是偶数的数是2；⑦10以内最大的质数是7．据此按顺序即可写出此数．
【解答】解：①是最小的合数4；②8的最大因数是8；③5的因数只有1和5；④既不是质数也不是合数是1；⑤最大的一位数是9；⑥既是质数又是偶数的数是2；⑦10以内最大的质数是7．
答：小明家的电话号码是4851927．
【点评】此题是考查整数的写法，关键是根据自然数的意义、奇数、偶数的意义，质数、合数的意义确定每位上的数字．
34．【分析】根据把合数分解质因数的方法，把5760分解质因数，已知使4人的糖果数一个比一个多2，然后这些质因数分别凑成4个连续的偶数，再把这四个数合并起来即可．
【解答】解：5760＝2×2×2×2×2×2×2×3×3×5，
其中：2×3＝6，
2×2×2＝8，
2×5＝10，
2×2×3＝12，
6+8+10+12＝36（块），
答：这些糖果一共有36块．
【点评】此题考查的目的是理解掌握把合数分解质因数的方法及应用．
六．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
35．【分析】先根据分解因数的方法找出15和10的因数，再找出它们的公因数即可求解．
【解答】解：
【点评】本题考查了找一个数因数的方法，以及求两个数公因数的方法．
36．【分析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求24和16的最大公因数，求至少可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【解答】解：24＝2×2×3，
16＝2×2×2×2；
24和16的最大公因数是2×2＝4；
24×16÷（4×4），
＝24×16÷16，
＝24（个）；
答：裁成的正方形边长最大是4厘米，一共可以剪24个这样的正方形．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
37．【分析】首先求出4和6的最小公倍数，然后用5月1日加上这个数，即可得解．
【解答】解：4＝2×2，
6＝2×3，
所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12（天），
1+12＝13（日）；
答：5月13日他们会再次相遇．
【点评】灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
知识点复习
一．公倍数和最小公倍数
【知识点解释】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）
分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；
所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
二．因数、公因数和最大公因数
【知识点解释】
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
三．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果A是B的，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．
分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲=2×2×2×3；
乙=2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
四．求几个数的最小公倍数的方法
【知识点归纳】
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生49人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；
答：这班至少有学生49人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例2：A和B都是自然数，分解质因数A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍数是60，那么C=2．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．
解：分解质因数A=2×5×C，
B=3×5×C，
所以2×3×5×C=60，则C=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
五．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）．
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数．×．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3=x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是1997．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数=奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3=1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3=1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
六．合数分解质因数
【知识点归纳】
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：把12分解质因数是：12=1×2×2×3×．（判断对错）
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行判断．
解：把12分解质因数应该是：12=2×2×3，因为1既不是质数也不是合数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
点评：此题主要考查分解质因数的意义．
例2：把24分解质因数是24=2×2×2×3．
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．
解：把24分解质因数：
24=2×2×2×3；
故答案为：24=2×2×2×3．
点评：此题主要考查分解质因数的方法．
2020年小升初数学专题复习同步测试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）72是4和9的（ ）
A．最小公倍数B．公因数C．公倍数
2．（2分）100以内3和7的公倍数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有（ ）个公因数．
A．0B．1C．2D．3
4．（2分）18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如果A＝B×6（A、B不为0），则A、B两数的最大公因数是（ ）
A．6B．BC．A
6．（2分）下面四种说法：①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1；②互质的两个数的最大公因数是1；③两个数的公因数的个数是有限的；④两个合数的最大公因数不可能是1．正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2分）一个三位数是2、3、5的倍数，这个三位数最小是（（ ）
A．102B．115C．120
8．（2分）a、b两个不是0的自然数，已知a﹣1＝b，那么a和b的最小公倍数是（ ）
A．aB．bC．abD．1
9．（2分）在横线上填上合适的质数：20＝___+____，可以填的两个数分别是（ ）
A．1和19B．10和10C．3和17
10．（2分）把12分解质因数为（ ）
A．12＝3×4B．12＝2×2×3C．12＝2×6D．12＝2×2×3×1
二．填空题（共12小题，满分23分）
11．（1分）7和27的最小公倍数是 ．
12．（2分）从小到大分别写出下面每两个数4个公有的倍数和其中最小的公有的倍数．
（1）4和9公有的倍数有 ．
（2）其中最小的公有的倍数是 ．
13．（2分）同时是2，3，5的倍数的最小三位数是 ，最大三位数是 ．
14．（3分）36的因数有 ；24和36的公因数有 ，最大公因数是 ．
15．（2分）36和24的公因数按从小到大排列依次是 ，其中 既不是质数也不是合数．
16．（1分）用1，3，5这三个数字组成的全部三位数一定有公因数 ．
17．（2分）如果6a＝b（a、b是不为0的自然数），那么，a与b的最小公倍数是 ，最大公因数是 ．
18．（2分）A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．
19．（2分）8和32的最小公倍数是 ；42和54的最大公因数是 ．
20．（3分）用下面卡片中的数，按要求组数．
任意找三张卡片组成一组，使这三个数有公因数2．如：
（1）2，4和6；[2，4，6]＝ ；
（2）4，6和8，[4，6，8]＝ ；
（3）你再组一组： ．
21．（1分）在10以内的自然数中，有 个质数．
22．（2分）一个数的因数一共有9个，按从小到大的顺序排列第5个因数是6，这个数是 ，把这个数分解质因数是 ．
三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）
23．（2分）因为a×b＝36，所以36是a和b的公倍数． （判断对错）
24．（2分）1、2、5都是10的质因数 （判断对错）
25．（2分）48和24的最小公倍数是24，最大公因数是48 （判断对错）
26．（2分）若A＝2×3×3×5，B＝2×2×3×7，则A和B的最小公倍数是1260． （判断对错）
27．（2分）只有公因数1的两个自然数一定都是质数． （判断对错）
28．（2分）2019＝3×673，所以，2019的最大因数是673． （判断对错）
四．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
29．（5分）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
12和30
42和14
7和15
30．（5分）找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数．
18和24
13和65
11和12
15和12
31．（5分）把下面各数分解质因数．
（1）30
（2）91
（3）24
五．应用题（共3小题，满分15分，每小题5分）
32．（5分）小明和小刚同时开始做作业，小明做8分钟休息2分钟，小刚做12分钟休息2分钟，问两人若要同时休息至少要隔多少分钟？
33．（5分）猜一猜：小明家的电话号码可有趣了，号码从左往右依次是：①是最小的合数；②最大因数是8；③因数只有1和5；④既不是质数也不是合数；⑤最大的一位数；⑥既是质数又是偶数⑦10以内最大的质数．你猜出小明家的电话号码吗？
34．（5分）把一些糖果分给4个小朋友，使4人的糖果数一个比一个多2，已知每人糖果个数的积是5760．这些糖果共有多少个？
六．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
35．（5分）找出15和10的因数、公因数、填写在下面的圈里．
36．（5分）有一张长方形纸，长24厘米，宽16厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形纸而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？一共可以剪多少个这样大小的正方形纸？
37．（5分）爸爸和他的同事张叔叔都参加了运动健身中心业余羽毛球锻炼，爸爸4天去一次，张叔叔6天去一次．5月1日他们同时在一起打球，几月几日他们会再次相遇？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．【分析】根据公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，由此解答．
【解答】解：4和9的公倍数有36、72、108…；
所以72是4和9的公倍数．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生理解和掌握公倍数的意义及求法．
2．【分析】因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是21，然后根据求一个数的倍数的方法，找出100以内21的倍数即可求解．
【解答】解：3和7的最小公倍数是21，
100以内21的倍数有：21、42、63、84．
所以100以内3和7的公倍数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法，以及求一个数倍数的方法．
3．【分析】根据最简分数的意义，分子、分母只有公因数1的分数是最简分数，两个不同的质数只有因数1，因此，分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有1个公因数．
【解答】解：分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母有1个公因数．
故选：B．
【点评】明确质数的含义和互质数的含义，是解答此题的关键．
4．【分析】先将18和24分解质因数，得到18和24的所有的公约数，进一步得到18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的关系．
【解答】解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
2×3＝6
所以18和24所有的公约数是1，2，3，6，
（1+2+3+6）÷（1×2×3×6）
＝12÷36
＝
答：18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的．
故选：D．
【点评】给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．关键是得到18和24所有的公约数．
5．【分析】倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，由A、B都是非零自然数，如果A＝B×6，则A÷B＝6，可知：A和B是倍数关系，B是较小数，A是较大数，据此解答．
【解答】解：A、B都是非零自然数，如果A＝B×6，则A、B两数的最大公因数是B；
故选：B．
【点评】答本题关键是能由A＝B×6，知道A和B是倍数关系．
6．【分析】根据相关知识点逐项分析判断即可得解．
【解答】解：①最小的质数是2，最小的合数是4，2和4的最大公因数是2，所以原题说法错误；
②互质的两个数的最大公因数是1，说法正确；
③两个数的公因数的个数是有限的，说法正确；
④两个合数的最大公因数不可能是1，说法错误，如8和9都是合数，它们的最大公因数是1．
所以正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】此题考查了质数、合数、互质数以及公因数、最大公因数的意义．
7．【分析】由题意可知：先求2、3、5的最小公倍数，因为2、3、5三个数两两互质，这三个数的最小公倍数，即这三个数的连乘积，是30，然后再乘一个适当的整数得到一个三位数，这个数最小是30×4＝120；由此选择即可．
【解答】解：2×3×5
＝6×5
＝30
30×3＝90
30×4＝120
这个三位数最小是120；
故选：C．
【点评】此题主要考查了当三个数两两互质时的最小公倍数的方法：三个数两两互质，这三个数的最小公倍数，即这三个数的连乘积．
8．【分析】如果a﹣1＝b（a、b非0自然数），则说明这两个数是相邻的自然数，如5、6，那么这两个数互质，那么a和b的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积．
【解答】解：如果a﹣1＝b（a、b是非0自然数），则a和b互质，
所以a和b的最小公倍数是ab．
故选：C．
【点评】此题考查了两个数是相邻的自然数的最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．
9．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19．据此解答即可．
【解答】解：20＝3+17，
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用．
10．【分析】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把12分解质因数．
【解答】解：把12分解质因数是：12＝2×2×3；
故选：B．
【点评】本题主要考查分解质因数的意义，注意是质数相乘的形式．
二．填空题（共12小题，满分23分）
11．【分析】7和27是互质数关系，所以这两个数的最小公倍数是7×27＝189．
【解答】解：7和27是互质数关系，所以这两个数的最小公倍数是7×27＝189．
故答案为：189．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
12．【分析】几个数公有的倍数叫做它们的公倍数数，其中最小的公倍数叫做它们的最小公倍数；由此求出4和9公有的倍数和它们的最小公倍数．
【解答】解：4＝2×2
9＝3×3
最小公倍数：2×2×3×3＝36，36×2＝72，36×3＝108，36×4＝144，
4和9公有的倍数有 36、72、108、144．
其中最小的公有的倍数是 36．
故答案为：36、72、108、144；36．
【点评】此题考查了公倍数和最小公倍数的含义，注意平时对基础概念和含义的理解．
13．【分析】根据2、3、5倍数的倍数的特征解答：要想是最小的三位数百位上应是1，然后要先满足个位上是0才能既是2的倍数又是5的倍数，即个位上是0，百位上是1的数，这时1+0＝1，只要十位上加上2，即1+0+2＝3就满足是3的最小倍数，要使这个三位数最大，百位上是9、十位上是9，个位上是0，即9+9+0＝18，就满，3的倍数的特征，据此写出能同时是2、3、5倍数的最小的三位数和最大三位数．
【解答】解：由分析知：同时是2，3，5的倍数的最小三位数是120，最大三位数是990．
故答案为：120，990．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．
14．【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．据此可以求出36的因数、24的因数，进而求出24和36的公因数、最大公因数．
【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
所以24和36的公因数有：1、2、3、4、6、12，其中最大公因数是12．
故答案为：1、2、3、4、6、9、12、18、36；1、2、3、4、6、12，12．
【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，再求两个数的公因数、最大公因数的方法及应用．
15．【分析】找一个数的因数，可以一对一对的找，分别找出24和36的因数，进而找出它们的公因数，然后按照从小到大排列即可；
根据除了1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，然后判断公因数中既不是质数又不是合数的数．
【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
36和24的公因数按从小到大排列依次是 1、2、3、4、6、12，其中 1既不是质数也不是合数．
故答案为：1、2、3、4、6、12，1．
【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法以及判断一个数是质数、合数的方法．
16．【分析】根据能被2整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数判断即可．
【解答】解：因为能被1整除的数是非0自然数，
即用1、3、5三个数组成的所有三位数是非0自然数，因此这些三位数都能被1整除；
因为能被3整除的数的所有位数上的数字之和是3的倍数，
1+3+5＝9，即用1、3、5这三个数组成的所有三位数中各个数位上的数字之和均为9，均是3的倍数，因此这些三位数都能被3整除；
因为能被5整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，
如果这些三位数的个位是5，则能被5整除；如果这些三位数的个位是1或3，则不能被5整除；
因为能被9整除的数的所有位数上的数字之和是9的倍数，
1+3+5＝9，即用1、3、5这三个数组成的所有三位数中各个数位上的数字之和均为9，均是9的倍数，因此这些三位数都能被9整除．
故答案为：1，3，9．
【点评】此题根据能被1、2、3、5、9整除的数的特征：1能整除所有非0自然数，能被2整除的数的个位数为0，2，4，6，8；能被5整除的数的个位数为0，5，能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数，能被9整除的数的所有数位上的数字之和是9的倍数判断即可．
17．【分析】因为6a＝b，所以b是a的倍数．当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公约数，较大的数是它们的最小公倍数，据此解答即可．
【解答】解：因为6a＝b，（a、b都是不为0的自然数）
所以b是a的倍数，
a和b的最小公倍数是b，
a和b的最大公因数是a；
故答案为：b，a．
【点评】本题考查：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公约数，较大的数是它们的最小公倍数．
18．【分析】根据求两个数最大公因数是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
【解答】解：整数A和整数B的最大公因数是3×2＝6
最小公倍数是2×3×2×5＝60．
故答案为：6，60．
【点评】明白短除法的左侧数字是两个数的公有质因数，下面一行数字是这两个数的独有质因数是解决此题的关键．
19．【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，要看两个数之间的关系：
（1）如果两个数是互质数，则最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；
（2）如果两个数为倍数关系，则最大公因数是较小数，最小公倍数为较大的数；
（3）如果两个数有公因数关系，则最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此解答即可．
【解答】解：32＝8×4
所以8和32的最小公倍数是32；
42＝7×3×2
54＝2×3×3×3
所以42和54的最大公因数是3×2＝6；
故答案为：32，6．
【点评】此题考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，根据两个数之间的关系，确定求法即可．
20．【分析】（1）根据求三个数的最小公倍数的方法，把这三数（2、4、6）分别分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．据此解答．
（2）求2、6、8的最小公倍数，首先把这三数分别分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．据此解答．
（2）根据2的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，由此可以确定2、4、10这三数有公因数2，再根据求三个数的最小公倍数的方法解答即可．
【解答】解：（1）4＝2×2，
6＝2×3，
所以2、4、和6的最小公倍数是：2×2×3＝12．
（2）4＝2×2，
6＝2×3，
8＝2×2×2，
所以4、6和8的最小公倍数是：2×2×3×2＝24．
（3）2、4、10有公因数2，
4＝2×2，
10＝2×5，
所以2、4和10的最小公倍数是：2×2×5＝20．
故答案为：12、24、[2，4，10]＝20．
【点评】此题考查的目的是理解掌握求几个数的公因数、最小公倍数的方法及应用．
21．【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．由此可知，在10以内的自然数中，质数有2，3，5，7四个数．
【解答】解：根据质数的意义可知，在10以内的自然数中，质数有2，3，5，7共4个数．
故答案为：4．
【点评】本题考查了学生根据质数的意义确定自然数中质数的能力．
22．【分析】根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数，依此可求该数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．
【解答】解：6×6＝36
36＝2×2×3×3
答：这个数是，36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3．
故答案为：36，36＝2×2×3×3．
【点评】此题主要考查分解质因数的方法以及如何求一个数的约数和约数的个数．关键是由因数的中间数求出这个数．
三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）
23．【分析】根据公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；依此根据公倍数的定义举出反例进行解答即可．
【解答】解：因为a×b＝36，所以36是a和b的公倍数的说法错误，如：0.2×180＝36，
因为a、b应为非0自然数．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
24．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；质数的含义：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数
；质因数，应确定是质数；由此进行解答即可．
【解答】解：1、2、5都是10的因数，但不是质因数，因为1不是质数，所以本题说法错误；
故答案为：×．
【点评】明确质数和因数的含义，是解答此题的关键．
25．【分析】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；据此判断即可．
【解答】解：因为48和24是倍数关系，
所以48和24的最小公倍数是较大数48，最大公因数是较小数24．
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查两个数为倍数关系时的最小公倍数和最大公因数：最小公倍数为较大的数，最大公因数为较小的数．
26．【分析】根据最小公倍数的意义可知：最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．
【解答】解：若A＝2×3×3×5，
B＝2×2×3×7，
那么A、B的最小公倍数是：2×3×3×5×2××7＝1260；
故答案为：√．
【点评】本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意找准哪些是两个数公有的质因数，哪些是独有的质因数．
27．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1．
【解答】解：公因数只有1的两个数叫做互质数．成为互质数的两个数不一定都是质数，如4和5，4是合数．
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是使学生理解掌握互质数的概念及意义．
28．【分析】一个数的最大因数是它本身，依此即可求解．
【解答】解：2019的最大因数是2019，
故题干的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．
四．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
29．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解；有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是较大的数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，由此解决问题即可．
【解答】解：12＝2×2×3
30＝2×3×5
12和30的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60
42和14是倍数关系，最大公因数是14，最小公倍数是42；
7和15是互质数，最大公约数是1，最小公倍数是7×15＝105
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1；数字大的可以用短除解答．
30．【分析】（1）（4）18和24、15和12两组数都是合数，首先分解质因数，求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积．
（2）因为65÷13＝5，即65和13成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因进行解答即可；
（3）11和12是互质数，当两个数是互质数时，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；进而解答即可．
【解答】解：
（1）18＝3×2×3，
24＝2×2×2×3，
所以18和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×2×3×3×2＝72；
（2）65÷13＝5，65和13是倍数关系，它们的最大公因数是13，最小公倍数是65；
（3）11和12是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是：11×12＝132；
（4）15＝3×5，
12＝3×2×2，
所以15和12的最大公因数是3，最小公倍数是3×5×2×2＝60．
【点评】此题主要考查求两个数成倍数关系时和两个数是互质数时的两个数的最大公因数与最小公倍数的方法
31．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．
【解答】解：（1）30＝2×3×5；
（2）91＝7×13；
（3）24＝2×2×2×3．
【点评】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法．
五．应用题（共3小题，满分15分，每小题5分）
32．【分析】小明做8分钟休息2分钟，即10分钟一个循环周期，小刚做12分钟休息2分钟，即14分钟一个循环周期，10和14的最小公倍数是70，即两人同时休息后至少经过了70分钟，再减去减2分钟就是间隔的时间；据此解答．
【解答】解：8+2＝10
12+2＝14
10＝2×5
14＝2×7
10和14的最小公倍数是2×5×7＝70，
70﹣2＝68（分钟）
答：两人若要同时休息至少要隔68分钟．
【点评】本题主要考查公倍数的实际应用，关键是明确两人同时休息后至少经过了70分钟．
33．【分析】①是最小的合数4；②8的最大因数是8；③5的因数只有1和5；④既不是质数也不是合数是1；⑤最大的一位数是9；⑥既是质数又是偶数的数是2；⑦10以内最大的质数是7．据此按顺序即可写出此数．
【解答】解：①是最小的合数4；②8的最大因数是8；③5的因数只有1和5；④既不是质数也不是合数是1；⑤最大的一位数是9；⑥既是质数又是偶数的数是2；⑦10以内最大的质数是7．
答：小明家的电话号码是4851927．
【点评】此题是考查整数的写法，关键是根据自然数的意义、奇数、偶数的意义，质数、合数的意义确定每位上的数字．
34．【分析】根据把合数分解质因数的方法，把5760分解质因数，已知使4人的糖果数一个比一个多2，然后这些质因数分别凑成4个连续的偶数，再把这四个数合并起来即可．
【解答】解：5760＝2×2×2×2×2×2×2×3×3×5，
其中：2×3＝6，
2×2×2＝8，
2×5＝10，
2×2×3＝12，
6+8+10+12＝36（块），
答：这些糖果一共有36块．
【点评】此题考查的目的是理解掌握把合数分解质因数的方法及应用．
六．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
35．【分析】先根据分解因数的方法找出15和10的因数，再找出它们的公因数即可求解．
【解答】解：
【点评】本题考查了找一个数因数的方法，以及求两个数公因数的方法．
36．【分析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求24和16的最大公因数，求至少可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【解答】解：24＝2×2×3，
16＝2×2×2×2；
24和16的最大公因数是2×2＝4；
24×16÷（4×4），
＝24×16÷16，
＝24（个）；
答：裁成的正方形边长最大是4厘米，一共可以剪24个这样的正方形．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
37．【分析】首先求出4和6的最小公倍数，然后用5月1日加上这个数，即可得解．
【解答】解：4＝2×2，
6＝2×3，
所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12（天），
1+12＝13（日）；
答：5月13日他们会再次相遇．
【点评】灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
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