2021届高三物理二轮复习常考模型微专题复习-带电粒子在圆形边界磁场中的运动（含解析）

带电粒子在圆形边界磁场中的运动

一、单选题

1. 如图，虚线所示的圆形区城内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则：为  

A. ：2 B. ：1 C. ：1 D. 3：

2. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab边成角时，粒子在磁场中运动的时间最长，且为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间2 t飞出磁场，则其速度大小为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB为圆的直径，P为圆周上的点，。带正电的粒子a和带负电的粒子、b在图中均未画出以相同的速度从P点沿PO方向射入磁场，结果恰好从直径AB两端射出磁场。粒子a、b的质量相等，不计粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是

A. 从A点射出磁场的是粒子a
B. 粒子a、b在磁场中运动的半径之比为
C. 粒子a、b的电荷量之比为
D. 粒子a、b在磁场中运动的时间之比为

4. 如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对的圆心角为；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则至少为

A.  B.  C.  D.

5. 空间中存在一半径为R的圆形区域，区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。大量速度大小相同带正电的粒子重力不计从与O点等高的P点射入磁场，射入角度可变，若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为r，周期为T，下列说法正确的是

A. 若，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B. 若，则粒子在磁场中运动的最长时间为
C. 若，则所有粒子射出磁场时的速度方向都平行
D. 不论r与R的关系如何，所有粒子射出磁场时速度方向都平行

6. 如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域，P点与cd间的距离为，质子M、N入射的速度大小之比为是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力．则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为

A.  B.  C.  D.

7. 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为    

A.   B.  C.  D.

8. 两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率、对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示．不计粒子的重力，则下列说法正确的是

A. a粒子带正电，b粒子带负电
B. 粒子射入磁场中的速率
C. 粒子在磁场中的运动时间
D. 若将磁感应强度变为原来的倍，b粒子在磁场中运动的时间将变为原来的

9. 如图，矩形abcd的长，宽，o、e分别是ad、bc的中点，以o、e为圆心有两个半径均为的四分之一圆弧，区域obedo内有方向垂直纸面向里的匀强磁场边界上无磁场，磁感应强度。一群不计重力、质量、电荷量的带正电粒子垂直于ad边以的速度射入磁场区域。下列判断正确的是   

A. 所有粒子射出磁场时的速度方向都平行
B. 所有粒子在磁场中运动的时间都相等
C. 从ad边射入的粒子，出射点都在e点
D. 从ao边射入的粒子，出射点都在b点

10. 半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子不计重力从A点以速度垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若，则该带电粒子在磁场中运动的时间为 

A.  B.  C.  D.

二、多选题

11. 磁聚焦如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是

A. 粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B. 射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C. 射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D. 只要速度满足，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上

12. 如图所示是一个半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。有一个粒子源从圆上的A点沿各个方向不停地发射出不同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径为r。下列说法正确的是

A. 若，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B. 若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周长
C. 若，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长

13. 如图所示，在xOy坐标系的第二、三象限内有半圆形有界磁场，磁场方向垂直于坐标平面向里，磁场的磁感应强度大小为B，半圆的圆心在坐标原点O，半径为R。在坐标为的P点有一粒子源可以沿x轴正向发射速率在一定范围内的同种带负电的粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为，速度最大的粒子刚好不过y轴，速度最小的粒子刚好不过x轴，不计粒子的重力，则下列判断正确的是

A. 粒子最大速度的大小为
B. 粒子最小速度的大小为
C. 经磁场偏转后偏向角为的粒子速度的大小为
D. 最大速度的粒子在磁场中运动时间比最小速度的粒子在磁场中的运动时间短

14. 如图所示，半径为R的圆的扇形区域包括边界内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一带电粒子重力不计从圆心O点沿Oa方向以速度射入磁场区域，恰好从垂直于Oa的方向离开磁场，若一群该带电粒子不计粒子间相互作用以相同速率在扇形平面内从O点沿不同方向依次射入磁场，下列说法正确的是

A. 带电粒子的比荷为
B. 所有带电粒子在磁场中运动的速度偏转角均为
C. 所有从ab圆弧边射出的带电粒子的速度偏转角均为
D. 从Ob边射出的带电粒子在磁场中的运动时间

15. 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从实线圆边界处沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子不进入图中虚线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度可以为

A.  B.  C.  D.

16. 如图所示，一圆柱形简内存在匀强磁场，该筒横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面向里，图中直径MN的两端分别开有小孔，在该截面内，有质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从M端的小孔射入筒內，射入时的速度方向与MN成角。当圆筒绕其中心轴以角速度顺时针转动角时，该粒子恰好飞出圆筒。不计粒子重力，粒子在简内未与简壁发生碰撞，则下列说法正确的是    

A. 筒内磁场的磁感应强度大小为
B. 筒内磁场的磁感应强度大小为
C. 粒子飞入的速度大小为
D. 粒子飞入速度大小为

17. 如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为为磁场边界上一点，有无数个带电荷量为、质量为m的相同粒子不计重力在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场下列说法中正确的是   

A. 若粒子进入磁场时的速率为，这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的
B. 若粒子进入磁场时的速率为，这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的
C. 若将粒子进入磁场时的速率为，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 若将粒子进入磁场时的速率为，则粒子在磁场中运动的最长时间为

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
根据题意画出带电粒子的运动轨迹，找出临界条件角度关系，利用圆周运动由洛仑兹力充当向心力，分别表示出圆周运动的半径，再由洛伦兹力充当向心力即可求得速度之比。
本题考查带电粒子在磁场中的圆周运动的临界问题；根据题意画出轨迹、定出轨迹半径是关键，注意最远点时PM的连线应是轨迹圆的直径。
【解答】
设圆形区域磁场的半径为r，当速度大小为时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为图甲时，由题意知，由几何关系得轨迹圆半径为；

当速度大小为时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点；由题意同理可得，由几何关
系得轨迹圆的半径为；
根据洛伦兹力充当向心力可知：
解得：，故速度与半径成正比，因此：：：1，故ACD错误，B正确。
故选：B

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

粒子在磁场中运动，运动的时间周期与粒子的速度的大小无关，分析粒子的运动的情况，可以判断第二个粒子的运动轨迹半径，即可根据牛顿第二定律求出速度大小。

根据粒子的运动的轨迹的情况，找出粒子运动的轨迹所对应的圆心角的大小可以求得粒子的运动的时间。

【解答】

设圆形磁场区域的半径为R，第一种情况下，以ab方向成入射时，由于恰好从b点射出，画出其运动轨迹如图所示，

根据几何关系可知，该粒子在圆形磁场中偏转
此时粒子轨迹半径：
此时粒子速率：
第二种情况下，同一粒子沿ab方向射入磁场时，由于偏转时间是第一种情况的两倍，所以偏转角为，画出运动轨迹如图所示，

根据几何关系可知，此时粒子轨迹半径：
此时粒子速率：
联立式可得：

故选A。

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
由左手定则判断；做出粒子运动轨迹，结合几何知识求出圆心角，得到半径之比；由洛伦兹力提供向心力求解电荷量之比；结合粒子做匀速圆周运动的圆心角，求解运动时间之比。
做出粒子运动轨迹示意图，结合几何关系求解是关键。
【解答】
A.根据左手定则，粒子a从B点射出磁场，粒子b从A点射出磁场，选项A错误；
B.两粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子a、b的运动轨迹所对应的圆心角分别为、，可得粒子a、b在磁场中运动的半径分别为、，故，选项B错误；
C.粒子a、b的质量与做圆周运动的速度大小均相等，结合可得，粒子a、b的电荷量之比，选项C错误；
D.由和可得，粒子在磁场中做圆周运动的周期，粒子在磁场中运动的时间，故粒子a、b在磁场中运动的时间之比，选项D正确。

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据题意求出粒子的轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出粒子不可能射入小圆内部区域时的速度。
本题考查了带电粒子在磁场中的运动，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据题意作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律即可解题。


【解答】

粒子速度为时，圆心角为，设圆心为，由几何关系可知，半径

当方向竖直向上，粒子恰好完成半个圆周且与内圆相切时有：，此时为满足条件的最大值

结合得：，所以速度之比等于半径之比，

所以至少为故A正确，BCD错误

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查带电粒子在磁场中运动，注意找圆心，运用几何知识画出粒子的运动轨迹，属于较难题目，要求学生有扎实的数学基础．
【解答】
A、如果，粒子在磁场中做圆周运动最大的弦为直径2r，则粒子可以在磁场中完成完整的圆周运动，周期为T，故A错误；
B、若，则粒子在磁场中不能做完整的圆周运动，粒子在磁场中运动的轨迹对应的弦长为圆形区域直径时，对应的时间最长，最长时间跟r与R有关，故B错误；
C、若，粒子轨迹如图，显然为菱形，所以，因为粒子出射方向垂直，所以垂直图中直径PQ，所以对于所有粒子，不管为多少，出射方向均垂直PQ，故C正确；

D、若r不等于R，则图中显然不与PO平行，出射角随着入射角的变化而变化，故D错误。
故选C。
6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
根据洛伦兹力做向心力求得轨道半径、周期的表达式；根据质子做匀速圆周运动，由几何关系求得质子M的轨道半径和转过的中心角，即可得到质点N的轨道半径，从而由几何关系求得中心角，即可根据周期和中心角求得运动时间。
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题，一般根据洛伦兹力做向心力求得轨道半径，然后根据几何关系求得运动轨迹、中心角，进而求得运动时间。
【解答】
根据质子只受洛伦兹力作用可得：质子做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：，所以，轨道半径，圆周运动周期；
根据质子做匀速圆周运动可得：质子运动轨道圆心在轨迹上两点的垂直平分线上，且任一点速度方向和径向垂直；故质点M的轨道半径，转过的中心角为；
根据两质子入射速度：：2可得：；根据几何关系可得：质子N转过的中心角为；
所以，两质子M、N在磁场中运动的时间之比，故A正确，BCD错误；
故选：A。
7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
带电粒子在磁场中受到洛伦兹力，在洛伦兹力的作用下粒子做圆周运动，结合向心力公式求解粒子运动的周期，根据磁场方向、电性和运动方向确定粒子的运动轨迹，根据粒子运动的周期和轨迹求解粒子运动的时间。
本题主要考查带电粒子在匀强磁场中的运动、带电粒子在直线边界磁场中的运动、带电粒子在圆形边界磁场中的运动。
【解答】
根据题意画出粒子运动轨迹如图所示：

粒子在磁场中做匀速圆周运动  ， 
可得粒子在磁场中的周期 

粒子在磁场中运动的时间 

则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，

粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。

当半径  和  时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。

当时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从  逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角 ，粒子运动最长时间为  ，故C正确，ABD错误。
故选C。

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
根据左手定则判断粒子的带电性质；由几何关系求出两粒子在磁场中运动的轨道半径及轨迹所对应的圆心角，结合洛伦兹力提供向心力进行分析判断即可。
该题考查带电粒子在匀强磁场中的偏转，可以结合两个公式进行判定。属于简单题目。
【解答】
作出两粒子的圆心位置，如图所示：

A.由图可知，a粒子向下偏转，b粒子向上偏转，根据左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；
设圆形磁场的半径为R，由几何关系可得，，由洛伦兹力提供向心力有，可得，又因为两粒子的比荷相等，则可得，由几何关系可得两粒子运动轨迹所对应的圆心角分别为和，由可得两粒子在磁场中运动周期相等，则可得两粒子在磁场中运动时间之比为，故B错误，C正确；
D.若将磁感应强度变为原来的倍，其它条件不变，可知b粒子的运动轨迹半径减小，由几何关系可知其运动轨迹所对应的圆心角增大，在磁场中运动的时间将变长，故 D错误。
故选C。
9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，先得到轨道半径，再找出圆心，确定半径并分析可能的轨迹，在逐项分析判断。
本题考查带电粒子在磁场中的运动，解题的关键在于计算出半径后找到圆心，分析可能出现的各种轨迹，然后找出射点。
【解答】
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得到：

因，从od边射入的粒子，形成以r为半径的圆弧，从点o射入的粒子从b点沿圆弧切线出去，从od之间射入的粒子，因边界上无磁场，粒子到达bc后应做直线运动，即全部通过b点；
从ao边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为，如图所示，根据几何关系，可得：虚线的四边形是菱形，则粒子的出射点一定是从b点沿圆弧切线射出，同理可知，从ao边射入的粒子，出射点全部从b点沿圆弧斜切线射出；
综上分析，从od边射入的粒子和从ao边射入的粒子出射时的速度方向不平行，从ao边射入的粒子在磁场中转过的圆心角不同，在磁场中运动的时间不同，故ABC错误，D正确。
故选D。
10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可求出圆心角和半径，则可求得粒子转过的弧长，由线速度的定义可求得运动的时间。
本题可以利用来求粒子在磁场中的运动时间，根据线速度的定义来求时间也是一个不错的选择。

【解答】
根据几何知识可知，粒子转过的圆心角为，，
粒子转过的弧长为：，
则运动所用时间，故D正确，ABC错误。
故选D。
 

11.【答案】BD
 

【解析】

【分析】
本题关键要抓住粒子轨迹是圆弧，磁场的边界也是圆弧，利用几何知识分析出射速度与入射速度方向的关系，确定出轨迹的圆心角，分析运动时间的关系。
【解答】
A.周期是相同的，粒子在磁场中运动的时间与转过的角度有关，与弧长无关，故A错误；
B.带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，故B正确；
速度满足时，粒子的轨迹半径为，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径平行，粒子的速度一定垂直打在MN板上，故C错误，D正确。
故选BD。
12.【答案】AD
 

【解析】

【分析】
本题是带电粒子在圆形磁场中的运动的题目，关键是画出运动的轨迹，再结合几何关系列式求解。
带电粒子在有界磁场的运动是洛伦兹力作用下粒子运动的常规题目，中等难度。
【解答】

A.若，粒子在磁场中运动的时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图1，因为，圆心角，
粒子在磁场中运动的最长时间，故A正确；
B.若，粒子沿着各个方向射入磁场，能打在整个圆周上，故B错误；
C.若，粒子在磁场中运动的最长时间可接近一个周期T，不会是，故C错误；
D.若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长，故D正确。
故选AD。
13.【答案】BD
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的问题，要注意怎样确定圆心位置，从而由三角函数关系就能半径的大小，再由洛仑兹力提供向心力就能求出带电粒子速度的大小。
【解答】
运动轨迹如图：

A.由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的最大半径，由牛顿第二定律可知，，求得，故A错误；
B.粒子在磁场中做圆周运动的最小半径，同理可得到最小速度，故B正确；
C.偏向角为的粒子在磁场中做圆周运动的半径，可得该粒子的速度大小，故C错误；
D.由图像可知，速度最小的粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角大于，而最大速度的粒子在磁场中做圆周运动时圆弧所对的圆心角小于，由于粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，由可知，最大速度的粒子在磁场中运动时间比最小速度的粒子在磁场中运动时间短，故D正确。
故选BD。
14.【答案】AC
 

【解析】

【分析】
根据带电粒子在匀强磁场中的运动规律、比荷的概念逐项解答即可，关键要知道带电粒子做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供。
本题考查考生的理解能力、推理能力和分析综合能力，需要考生应用带电粒子在匀强磁场中运动的规律解题，体现了科学
思维的学科素养。
【解答】
A.带电粒子沿Oa方向射入磁场时，沿垂直于Oa方向射出磁场，则速度的偏转角为，粒子从圆弧ab上射出磁场，轨迹圆弧对应的弦长为R，因此带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径，又，解得比荷，故A正确；
带电粒子在同一磁场中运动，轨迹圆弧对应的弦长相等，则偏转角相等，所以只有从ab圆弧边射出的带电粒子的速度偏转角为，故B错误，C正确；
D.从Ob边射出的带电粒子的速度偏转角满足，则带电粒子在磁场中的运动时间t满足，故D错误。
故选AC。
15.【答案】AB
 

【解析】解决该题需要明确知道该电子不进入图中虚线圆围成的区域内运动的临界情况，能根据几何知识求解圆周运动的半径。
本题主要考查带电粒子在圆形边界磁场中的运动规律、带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题。
【解答】
电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为，即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。
令电子运动轨迹的最大半径为，则由几何关系可得，解得，解得磁场的磁感应强度最小值，故AB正确
16.【答案】AC
 

【解析】

【分析】
根据题意做出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出粒子的圆心角，结合牛顿第二定律求出磁感应强度的大小和速度大小。
本题考查带电粒子在磁场中的运动，关键是做出粒子的运动关键，并根据几何关系求出圆心角和半径。
【解答】
AB、根据题意，粒子运动的时间为
带负电的粒子的轨迹图象如图所示，根据几何关系可知粒子运动的圆心角为

粒子在磁场运动的时间
根据牛顿第二定律
圆周运动公式
解得：
联立解得：，故A正确，B错误；
CD、根据几何关系可知：粒子的半径，
根据牛顿第二定律
结合B的大小得到：，故C正确，D错误。
故选：AC。
17.【答案】AC
 

【解析】解：
AB、边界上有粒子射出的范围是偏转圆直径为弦所对应的边界圆弧长，根据洛伦兹力提供向心力得，故圆周运动的直径，由几何知识知，其圆周运动的直径对应的等腰三角形的内顶角为，故这段圆弧的弧长时圆周长的，故A正确，B错误；











CD、当粒子速度为时，根据洛伦兹力提供向心力解得，则离子在磁场中转过的最大圆心角：，粒子在磁场中运动的最长：，故C正确，D错误；

故选：AC。
画出带电粒子的运动轨迹，找出临界条件及角度关系，表示出圆周运动的半径，利用圆周运动由洛伦兹力充当向心力列式求解即可。
本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动，解题关键是要牢记这类问题的解题思路，一般由洛伦兹力做向心力求得半径，然后根据几何关系求得半径联立求解。