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全国版高考数学必刷题：第二十一单元 推理证明、算法初步、复数
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这是一份全国版高考数学必刷题：第二十一单元 推理证明、算法初步、复数，共67页。试卷主要包含了结束循环，所以输出的s=17等内容，欢迎下载使用。
第二十一单元 推理证明、算法初步、复数
考点一
算法初步
1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ).
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.
【答案】D
2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;
当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;
当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;
当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;
当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;
当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.
故选B.
【答案】B
3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】假设N=2,程序执行过程如下:
t=1,M=100,S=0,
1≤2,S=0+100=100,M=-10010=-10,t=2;
2≤2,S=100-10=90,M=--1010=1,t=3;
3>2,输出S=90<91,符合题意.
∴N=2成立,显然2是最小值.
故选D.
【答案】D
4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( ).
A.y=2x B.y=3x
C.y=4x D.y=5x
【解析】输入x=0,y=1,n=1,
运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;
运行第二次,x=12,y=2,不满足x2+y2≥36;
运行第三次,x=32,y=6,满足x2+y2≥36.
输出x=32,y=6.
由于点32,6在直线y=4x上,故选C.
【答案】C
5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ).
A.7 B.12 C.17 D.34
【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a,s,k的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.
【答案】C
考点二
复数
6.(2017年全国Ⅱ卷)3+i1+i=( ).
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
【解析】3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3-3i+i+12=2-i.故选D.
【答案】D
7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( ).
A.12 B.22 C.2 D.2
【解析】由(1+i)z=2i,得z=2i1+i=1+i,∴|z|=2.故选C.
【答案】C
8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.
又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.
∴|x+yi|=|1+i|=2.故选B.
【答案】B
考点三
推理证明
9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ).
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.
【答案】D
10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.
【答案】1和3
11.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.
乙说:我没去过C城市.
丙说:我们三个去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A,C城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C城市,故乙只去过A城市.
【答案】A
12.(2017年浙江卷)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
证明:当n∈N*时,
(1)0
(3)12n-1≤xn≤12n-2.
【解析】(1)用数学归纳法证明:xn>0.
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,
若xk+1≤0,则0
因此xn>0(n∈N*).
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此0
得xnxn+1-4xn+1+2xn
=xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).
记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),
令f'(x)=2x2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0),
则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)≥f(0)=0,
因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤xnxn+12(n∈N*).
(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
所以xn≥12n-1.
由xnxn+12≥2xn+1-xn,得1xn+1-12≥21xn-12>0,
所以1xn-12≥21xn-1-12≥…≥2n-11x1-12=2n-2,
故xn≤12n-2.
综上,12n-1≤xn≤12n-2(n∈N*).
高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.
命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.
2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.
3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.
§21.1 合情推理与演绎推理
一
合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
由某类事物的 对象具有某些特征,推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理
由部分到 、
由 到一般
类比推理
由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知 ,推出另一类对象也具有这些 的推理
由特殊到
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出 的推理
二
演绎推理
1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.
2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提——已知的 ;
(2)小前提——所研究的 ;
(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.
☞ 左学右考
1 已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( ).
A.an=3n-1
B.an=4n-3
C.an=n2
D.an=3n-1
2 根据图中的数构成的规律,得a表示的数是( ).
A.12 B.48
C.60 D.144
知识清单
一、部分 全部 整体 个别 类似特征 特征 特征 特殊
类比 猜想
二、1.特殊 2.(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)一般原理
基础训练
1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.
【答案】C
2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.
【答案】D
题型一
归纳推理
【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为( ).
20+21=3
20+22=5 21+22=6
20+23=9 21+23=10 22+23=12
20+24=1721+24=18 22+24=20 23+24=24
……
A.27+213=8320 B.27+214=16512
C.28+214=16640 D.28+213=8448
【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.
【答案】B
归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式)的变化规律(如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律),然后用这种规律试一试这些特殊的数(式)是否符合观察得到的规律,若不符合,则应继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论.
【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:
1 3 7 13 21 …
5 9 1523 …
111725…
1927…
29…
…
则第30行从左到右第3个数是 .
【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.
【答案】1051
题型二
类比推理
【例2】给出下列三个类比结论:
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中正确结论的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①错误.
sin(α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=34,故②错误.
由向量的运算公式知③正确.
【答案】B
在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,比如,三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列,等等;(2)找对应元素的对应关系,比如,两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方,等等.
【变式训练2】若数列{an}是等差数列,则数列{bn}bn=a1+a2+…+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,则{dn}也是等比数列,且dn的表达式应为( ).
A.dn=c1+c2+…+cnn B.dn=c1·c2·…·cnn
C.dn=nc1n+c2n+…+cnnn D.dn=nc1·c2·…·cn
【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故dn的表达式为dn=nc1·c2·…·cn.
(法二)若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+n(n-1)2d,
∴bn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2,即{bn}是等差数列.
若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c1n·q1+2+…+(n-1)=c1n·qn(n-1)2,
∴dn=nc1·c2·…·cn=c1·qn-12,即{dn}是等比数列.
【答案】D
题型三
演绎推理
【例3】已知函数f(x)=-aax+a(a>0,且a≠1).
(1)证明:函数f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.
任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).
由已知f(x)=-aax+a,则-1-f(x)=-1+aax+a=-axax+a.
又因为f(1-x)=-aa1-x+a=-aaax+a
=-a·axa+a·ax=-axax+a,
所以-1-f(x)=f(1-x),
所以函数f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.
因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
证明本题的大前提是中心对称的定义,函数f(x)的图象上的任一点关于对称中心对称的点仍在图象上.小前提是f(x)=-aax+a(a>0,且a≠1)图象上的点关于点12,-12对称的点仍在f(x)的图象上.
演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,一般来说,当大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)
【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)
平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以ED=AF.(结论)
上面的推理过程可简略地写成:
∠BFD=∠A⇒DF∥EA,DE∥BA⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.
方法一
归纳推理的一般步骤
1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.
2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.
3.猜测一般性结论.
【突破训练1】观察下列各等式:
sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=34,
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=34,
sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=34.
分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明.
【解析】猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34.
上式正确.
证明:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)
=1-cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sin(2α+30°)-sin30°2
=1+cos(2α+60°)-cos2α2+12sin(2α+30°)-14
=34-12sin(30°+2α)+12sin(2α+30°)=34.
所以sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34成立.
方法二
类比推理的一般步骤
1.找出两类事物之间的相似性或一致性.
2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).
3.检验这个猜想.
一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.
【突破训练2】已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=12r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA-BCD= .
【解析】内切圆半径r内切球半径R;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.∴三棱锥的体积VA-BCD=13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD).
【答案】13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD)
方法三
演绎推理的规律方法
1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.
2.判断演绎推理是否正确的方法:
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.
(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.
(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.
(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.
【突破训练3】证明:f(x)=1x2在(0,+∞)上为减函数.
【解析】∵f'(x)=1x2'=-2x3,x∈(0,+∞),∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ).
A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1)
【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B.
【答案】B
2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( ).
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.
【答案】B
3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( ).
A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+1an-1(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.
【答案】A
4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为( ).
A.21 B.34 C.52 D.55
【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.
【答案】D
5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:
4=22
4+12=16=42
4+12+20=36=62
4+12+20+28=64=82
……
由上述事实,请推测第n个式子为 .
【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:
4=22
4+12=16=42
4+12+20=36=62
4+12+20+28=64=82
……
归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,
故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).
【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)
6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.
【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.
【答案】83
7.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.
(1)n级分形图中共有 条线段.
(2)n级分形图中所有线段长度之和为 .
【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).
(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3×23n-1(n∈N*),所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn=3×230+3×231+…+3×23n-1=3×1-23n1-23=9-9×23n.
【答案】(1)3×2n-3(n∈N*) (2)9-9×23n
8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有AC12+BD12+CA12+DB12= .
【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2), ①
在平行四边形ACC1A1中,CA12+AC12=2(AC2+AA12), ②
在平行四边形BDD1B1中,DB12+BD12=2(BD2+BB12), ③
由②+③,得CA12+AC12+DB12+BD12=2(AC2+AA12)+2(BD2+BB12), ④
将①代入④,再结合AA1=BB1,得AC12+B1D2+CA12+BD12=4(AB2+AD2+AA12).
【答案】4(AB2+AD2+AA12)
9.(2017揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)
B.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,且g(x)≠0,则f(x)g(x)∈Ma1a2
C.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,则f(x)+g(x)∈Ma1+a2
D.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈Ma1-a2
【解析】由-a(x2-x1)
则-a
【答案】C
10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
其中正确的结论是( ).
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.
【答案】C
11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=12+13+16;1=12+14+16+112;1=12+15+16+112+120;……依此类推,1=12+16+17+1n+120+130+142,其中n∈N*,则n= .
【解析】由题意知1=12+16+17+1n+120+130+142=12+12-13+13-14+14-15+15-16+16-17+17,所以n=12.
【答案】12
12.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2 的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.
【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,
从而OM∥F1Q且|OM|=12|F1Q|.
而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,
所以|OM|=a.
对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.
【答案】内角平分线
13.(2017保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(n∈N*),证明:
(1)数列Snn是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
【解析】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.
所以Sn+1n+1=2·Snn.
又因为S11=1≠0,(小前提)
所以Snn是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义,这里省略了)
(2)由(1)可知Sn+1n+1=4·Sn-1n-1(n≥2),所以Sn+1=4(n+1)·Sn-1n-1=4·n-1+2n-1·Sn-1=4an(n≥2),(小前提)
又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)
14.(2017合肥模拟)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)图象上一点,且在点P处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:
y2=2px的两边同时对x求导,得2yy'=2p,则y'=py,所以在点P处的切线斜率k=py0.
试用上述方法求出双曲线x2-y22=1在点P(2,2)处的切线方程.
【解析】用类比的方法对y22=x2-1两边同时对x求导得,yy'=2x,所以y'=2xy,所以在点P处的切线斜率k=2x0y0=2×22=2,所以切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.
15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y,x+y2∈D均满足fx+y2≥12[f(x)+f(y)],当且仅当x=y时等号成立.
(1)若定义在(0,+∞)上的函数f(x)∈M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小.
(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.
【解析】(1)已知fx+y2≥12[f(x)+f(y)],
令x=3,y=5,得f(3)+f(5)<2f(4).
(2)因为gx1+x22-12[g(x1)+g(x2)]
=-(x1+x2)24+x12+x222
=(x1-x2)24≥0,
所以gx1+x22≥12[g(x1)+g(x2)],
所以g(x)∈M.
§21.2 直接证明、间接证明与数学归纳法
一
直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从 推导到 的思维方法
从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从 出发到得出这一结果的 的思维方法
特点
从“ ”看“ ”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件
从“ ”看“ ”,逐步靠拢“ ”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件
二
间接证明——反证法
要证明某一结论Q是正确的,但不能直接证明,而是先 (即Q的反面非Q是正确的),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明非Q是 的,从而断定结论Q是 的,这种证明方法叫作反证法.
三
数学归纳法
一般来说,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立:
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
☞ 左学右考
1 要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证( ).
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-a4+b42≤0
C.(a+b)22-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
2 ①用反证法证明“已知p3+q3=2,求证p+q≤2”时,可假设p+q≥2;②用反证法证明“已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下判断正确的是( ).
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误
D.①的假设错误,②的假设正确
3 用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
知识清单
一、原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分
二、假设Q不成立 矛盾 错误 正确
三、(1)第一个值n0(n0∈N*) (2)k+1
基础训练
1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,所以选D.
【答案】D
2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.
【答案】D
3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.
【答案】C
题型一
直接证明
【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.
【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0. ①
令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,
则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.
设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m+(2017-k)×(-m)=(2k-2017)m. ②
由①②知(2k-2017)m=0. ③
而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.
于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.
所以a1=22017·a1,即得a1=0.
从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.
【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.
【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.
欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,
只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
只需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.
先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,显然此式成立.
再看a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,
只需证a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0,
只需证a
题型二
间接证明
【例2】用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ).
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程 x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0 至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0 恰好有两个实根
【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
【答案】A
利用反证法证明时,对结论的否定是关键,且要注意几种特殊情形的否定,比如:都是、至多、或、且、不都是、都不是等.
【变式训练2】已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.
【解析】假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x2+12+2-x+x2-x+1=2x2-2x+12+3=2x-122+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.
题型三
数学归纳法
【例3】已知f(n)=1+123+133+143+…+1n3,g(n)=32-12n2,n∈N*.
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
【解析】(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=32-12×12=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)=1+123=98,g(2)=32-12×22=118,所以f(2)
①当n=1时,不等式显然成立.
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,
即1+123+133+143+…+1k3<32-12k2,
则当n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+1(k+1)3<32-12k2+1(k+1)3,
因为12(k+1)2-12k2-1(k+1)3
=k+32(k+1)3-12k2=-3k-12(k+1)3k2<0,
所以f(k+1)<32-12(k+1)2=g(k+1).
由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.
利用数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意:
①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.
【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式1+131+15·…·1+12n-1>2n+12均成立.
【解析】①当n=2时,左边=1+13=43;右边=52.
∵左边>右边,∴不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,
即1+131+15·…·1+12k-1>2k+12.
则当n=k+1时,1+131+15·…·1+12k-1·1+12(k+1)-1>2k+12·2k+22k+1=2k+222k+1
=4k2+8k+422k+1>4k2+8k+322k+1
=2k+32k+122k+1=2(k+1)+12.
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由①②知,对于一切大于1的自然数n,不等式均成立.
方法一
利用综合法进行证明
综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:
(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式;
(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
【突破训练1】已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-an2(n∈N*).
(1)证明:1
由an=(1-an-1)an-1,
得an=(1-an-1)(1-an-2)·…·(1-a1)a1>0.
由0
由1an+1-1an=anan+1和1
因此12(n+1)≤an+1<1n+2(n∈N*). ②
由①②,得12(n+2)
方法二
利用分析法进行证明
分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
【突破训练2】已知m>0,a,b∈R,求证:a+mb1+m2≤a2+mb21+m.
【解析】因为m>0,所以1+m>0,
所以要证a+mb1+m2≤a2+mb21+m,
即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,
即证(a-b)2≥0,
又(a-b)2≥0显然成立,
所以a+mb1+m2≤a2+mb21+m.
方法三
利用反证法进行证明
【突破训练3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列.
【解析】(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
两式相减得an+1=12an,
所以{an}是首项为1,公比为12的等比数列,
所以an=12n-1.
(2)假设{an}中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为ap+1,aq+1,ar+1(p
所以2·2r-q=2r-p+1. (*)
又因为p
所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.
所以假设不成立,原命题得证.
方法四
利用数学归纳法进行证明
【突破训练4】已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=an2+1an-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
【解析】(1)当n=1时,由已知得a1=a12+1a1-1,
即a12+2a1-2=0.
∴a1=3-1(a1=-3-1<0,舍去).
当n=2时,由已知得a1+a2=a22+1a2-1,
将a1=3-1代入上式并整理,得a22+23a2-2=0.
∴a2=5-3(a2=-5-3<0,舍去).
同理可得a3=7-5.
猜想an=2n+1-2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立.
假设当n=k(k∈N*)时,通项公式成立,
即ak=2k+1-2k-1.
∵ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-ak2-1ak,
将ak=2k+1-2k-1代入上式并整理,
得ak+12+22k+1ak+1-2=0,
∴ak+1=2k+3-2k+1,
即当n=k+1时通项公式也成立.
综上可知,对任意n∈N*,an=2n+1-2n-1都成立.
1.(2017广州调研)若a,b,c为实数,且aab>b2
C.1a<1b D.ba>ab
【解析】对于选项B,a2-ab=a(a-b),∵a0,即a2-ab>0,∴a2>ab.又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2.故命题a2>ab>b2正确.
【答案】B
2.(2017周口模拟)用反证法证明命题“若a+b+c为偶数,则自然数a,b,c恰有一个偶数”时,正确的反设为( ).
A.自然数a,b,c都是奇数
B.自然数a,b,c都是偶数
C.自然数a,b,c中至少有两个偶数
D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.
【答案】D
3.(2017宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
证明过程如下:
因为a,b,c∈R,
所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.
又因为a,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一个等号不成立,
所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此证法是( ).
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法并用 D.反证法
【解析】由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.
【答案】B
4.(2017济南模拟)设小李从甲地到乙地往返的时速分别为a,b(a
5.(2017宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3a”,索的因应是( ).
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
【解析】b2-ac<3a⇐b2-ac<3a2
⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0
⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0
⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.
【答案】C
6.(2017太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( ).
A.不成立 B.成立
C.不能断定 D.与n取值有关
【解析】因为Sn=2n2-3n,所以当n=1时,a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.因为当n=1时,a1满足an=4n-5,且an-an-1=4,故{an}为等差数列,即命题成立.
【答案】B
7.(2017邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)
【解析】若a=12,b=23,则a+b>1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.
对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法证明如下:
假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
【答案】③
8.(2017山西运城模拟)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛.如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为 .
【解析】设层数为x,对应层所含的束数为y,总束数为z,f(x)表示x与y的关系,g(x)表示x与z的关系,结合题中摆放规则可知:
f(1)=1,
f(2)=1+2=3,
f(3)=1+2+3=6,
f(4)=1+2+3+4=10.
由此可知f(x)=(1+x)x2,g(x)=x(x+1)(x+2)6.
由g(x)=680,解得x=15,由此可得f(15)=120.
【答案】120
9.(2017江西赣州十四县市联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持金出五关,前关二税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收税金13,第3关收税金14,第4关收税金15,第5关收税金16,5关所收税金之和,恰好1斤重,设这个人原本持金为x,按此规律通过第8关,”则第8关需收税金为 .
【解析】第1关收税金:12x;第2关收税金:131-12x=12×3x;第3关收税金:141-12-16x=13×4x;……可得第8关收税金:18×9x,即172x.
【答案】172x
10.(2017长沙模拟)设a,b,c都是正数,则a+1b,b+1c,c+1a三个数( ).
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
【解析】因为a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,当且仅当a=b=c时取等号,所以三个数中至少有一个不小于2.
【答案】D
11.(2017福州模拟)若aa+bb>ab+ba,则a,b应满足的条件是 .
【解析】要使aa+bb>ab+ba,即(a-b)2(a+b)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.
【答案】a≥0,b≥0且a≠b
12.(2017常德模拟)设a>0,f(x)=axa+x,在数列{an}中,若a1=1,an+1=f(an),n∈N*,
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
【解析】(1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a1+a;
a3=f(a2)=a·a1+aa+a1+a=a2+a;
a4=f(a3)=a·a2+aa+a2+a=a3+a.
猜想an=an-1+a(n∈N*).
(2)由(1)知当n=1时,猜想正确.
假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,
即ak=ak-1+a,则ak+1=f(ak)=a·aka+ak
=a·ak-1+aa+ak-1+a=ak-1+a+1=a(k+1)-1+a.
即当n=k+1时猜想也正确.
综上可知,对任意n∈N*,都有an=an-1+a.
13.(2017济南模拟)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a
(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题设得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为直线x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2-b+32=b,解得b=1或b=3.
因为b>1,所以b=3.
(2)假设函数h(x)=1x+2在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,
因为h(x)=1x+2在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有h(a)=b,h(b)=a, 即1a+2=b,1b+2=a,
解得a=b,这与已知矛盾.故所求的a,b不存在.
§21.3 算法初步
一
程序框图
程序框图又称 ,是一种用 、 及 来表示算法的图形.在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.
二
三种基本逻辑结构
1.顺序结构:按照步骤 的一个算法,称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构.
2.选择结构:需要 ,判断的结果决定后面的步骤,像这样的结构通常称为选择结构.
3.循环结构:指从某处开始,按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为 .
三
基本算法语句
1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句,它们分别是: 、输出语句、 、条件语句和 .
2.输入语句、输出语句和赋值语句的格式与功能:
语句
一般格式
功能
输入语句
输入信息
输出语句
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
将表达式的值赋给变量
3.条件语句
(1)IF—THEN语句的一般格式是:
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)程序框图中的图形符号可随意确定.( )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构或循环结构.( )
(3)“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同.( )
(4)在算法语句中,“X=X+1”的写法一定是错误的.( )
2 请写出下列算法框图的图形符号的功能
3 阅读如图所示的程序框图,若输入的a,b,c的值分别为14,6,20,则输出的a,b,c的值分别是 .
(2)IF—THEN—ELSE语句的一般格式是:
4.循环语句
(1)UNTIL语句的一般格式是:
(2)WHILE语句的一般格式是:
4 执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为3,则输出的y的值为 .
知识清单
一、流程图 程序框 流程线 文字说明
二、1.依次执行 2.进行判断 3.循环体
三、1.输入语句 赋值语句 循环语句
2.INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”;表达式变量=表达式
基础训练
1.【解析】(1)错误,程序框图中的图形符号的功能都有明确规定,不可随意确定.
(4)错误,在算法语句中,X=X+1表示赋值语句时,写法是正确的.
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.【答案】起始和结束 输入和输出的信息 赋值、计算 成立与否 先后顺序
3.【解析】将a的值赋给x,则x=14;将c的值赋给a,则a=20;将b的值赋给c,则c=6;将x的值赋给b,则b=14.故输出的a,b,c的值分别为20,14,6.
【答案】20,14,6
4.【解析】由程序框图可知,当输入的x的值为3时,执行的语句为y=log3x,则y=log33=1,故输出的y的值为1.
【答案】1
题型一
顺序结构
【例1】问题:已知f(x)=x2-2x-3,求f(3),f(-5),f(5),并计算f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题的一个算法,并画出算法框图.
【解析】算法如下:
第一步,令x=3.
第二步,把x=3代入y1=x2-2x-3.
第三步,令x=-5.
第四步,把x=-5代入y2=x2-2x-3.
第五步,令x=5.
第六步,把x=5代入y3=x2-2x-3.
第七步,把y1,y2,y3的值代入y=y1+y2+y3.
第八步,输出y1,y2,y3,y的值.
该算法对应的算法框图如图所示:
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
【变式训练1】执行如图所示的框图,则输出的结果为( ).
A.2,3,1 B.2,3,2
C.3,1,2 D.3,2,1
【解析】先把y的值2赋给x,再把z的值3赋给y,最后把x的值2赋给z,所以输出的x,y,z的值分别为2,3,2.
【答案】B
题型二
选择结构
【例2】执行如图所示的算法框图,如果输入的t∈[-1,3],那么输出的s属于( ).
A.[-3,4] B.[-5,2]
C.[-4,3] D.[-2,5]
【解析】根据算法框图可以得到分段函数s=3t,t<1,4t-t2,t≥1,进而在函数的定义域[-1,3]内分段求出函数的值域.所以当-1≤t<1时,s=3t∈[-3,3);当1≤t≤3时,s=4t-t2=-(t-2)2+4∈[3,4].
综上可知,输出的s属于[-3,4].
【答案】A
选择结构中条件的判断关键是先明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断.
对于选择结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
【变式训练2】执行如图所示的程序框图,能使输入的x值与输出的y值相等的x值的个数为 .
【解析】由题意可知函数的解析式为y=x2,x≤2,2x-3,25.当x≤2时,y=x2,令y=x,即x2=x,解得x=0或x=1,均符合题意;当25时,y=1x,令y=x,即1x=x,解得x=±1,舍去.综上所述,x的取值为0,1,3,共3个.
【答案】3
题型三
循环结构
【例3】执行如图所示的程序框图,若输出的结果为170,则判断框内应补充的条件为( ).
A.i>5 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9
【解析】第1次循环后S=0+2=2,i=1+2=3,不满足条件;第2次循环后S=2+8=10,i=2+3=5,不满足条件;第3次循环后S=10+32=42,i=5+2=7,不满足条件;第4次循环后S=42+128=170,i=7+2=9,满足条件,退出循环.故判断框内应补充的条件为i≥9.
【答案】D
(1)已知算法框图,求输出的结果,可按算法框图的流程依次执行,最后得出结果.
(2)完善算法框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
(3)对于辨析算法框图功能问题,可将算法执行几次,即可根据结果做出判断.
【变式训练3】某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是( ).
A.计算(1+20)+(2+21)+(3+22)+…+(n+1+2n)的值
B.计算(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)的值
C.计算(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)的值
D.计算[1+2+3+…+(n-1)]+(21+22+…+2n-1)的值
【解析】初始值k=1,S=0,第1次执行循环体后S=1+20,k=2,第2次执行循环体后S=1+20+2+21,k=3,…,给定正整数n,当k=n时,最后一次执行循环体,执行循环体后S=1+20+2+21+…+n+2n-1,k=n+1,退出循环体,输出S=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1),故选C.
【答案】C
题型四
基本算法语句
【例4】给出下面的程序:
a=33
b=39
If a
a=b
b=t
a=a-b
End If
输出a
该程序运行的结果为 .
【解析】∵a=33,b=39,∴a
解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.
【变式训练4】根据下列算法语句,当输入x的值为60时,输出y的值为( ).
输入x
If x≤50 Then
y=0.5*x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y
A.29 B.30
C.31 D.32
【解析】由题意得y=0.5x,x≤50,25+0.6(x-50),x>50.
当x=60时,y=25+0.6×(60-50)=31.
所以输出y的值为31.
【答案】C
方法一
由算法框图求输出结果
1.要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构.循环结构中要正确控制循环次数,要注意各个框的顺序.
2.要识别运行算法框图,理解算法框图所解决的实际问题.
3.按照题目的要求完成解答并验证.
【突破训练1】执行如图所示的算法框图,输出n的值为 .
【解析】执行第一次判断:|a-1.414|=0.414>0.005,a=32,n=2.
执行第二次判断:|a-1.414|=0.086>0.005,a=75,n=3.
执行第三次判断:|a-1.414|=0.014>0.005,a=1712,n=4.
执行第四次判断:|a-1.414|<0.005,输出n=4.
【答案】4
方法二
完善算法框图
解决此类问题,应结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式,明确进入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化.具体解题方法有以下两种:一是先假定空白处填写的条件,再正面执行程序,来检验填写的条件是否正确;二是根据结果进行回溯,直至确定填写的条件是什么.
【突破训练2】执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是( ).
A.k≤6 B.k≤7
C.k≤8 D.k≤9
【解析】第一步,s=s·logk(k+1)=log23,k=2+1=3;
第二步,s=s·logk(k+1)=log23·log34=log24,k=3+1=4;
第三步,s=s·logk(k+1)=log24·log45=log25,k=5;
……
第n步,s=log2(n+1)·log(n+1)(n+2)=log2(n+2),k=n+2.
若输出s=3,则log2(n+2)=3,n+2=8,n=6,k=n+2=8,
说明k=8时结束,故应填“k≤7”.
【答案】B
方法三
辨析算法框图的功能
解决此类问题,应理清循环变量的初始条件,注意循环次数的判断,或者是将循环的结果进行几次,找出规律,从而推断算法框图的功能.解决算法框图功能的问题要注意几个常用变量:
(1)计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i=i+1.
(2)累加变量:用来计算数据之和,如S=S+i.
(3)累乘变量:用来计算数据之积,如p=p·i.
【突破训练3】执行如图所示的算法框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是( ).
A.an=2n(n∈N*,2≤n≤N)
B.an=2(n-1)(n∈N*,2≤n≤N)
C.an=2n(n∈N*,2≤n≤N)
D.an=2n-1(n∈N*,2≤n≤N)
【解析】由算法框图可知,
第一次运行:i=1,a1=2,S=2;
第二次运行:i=2,a2=4,S=4;
第三次运行:i=3,a3=8,S=8;
第四次运行:i=4,a4=16,S=16.
故输出的数列的通项公式为an=2n(n∈N*,2≤n≤N).故选C.
【答案】C
1.(2017河北石家庄模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的S=-12,则输出S的值为( ).
A.4 B.5 C.8 D.9
【解析】第一次循环,得S=-10,n=2;
第二次循环,得S=-6,n=3;
第三次循环,得S=0,n=4;
第四次循环,得S=8,n=5,
此时S>n,退出循环,故输出S=8.
【答案】C
2.(2017湖北孝感模拟)某程序框图如图所示,若输入、输出的n分别为3,1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为( ).
A.i≥7 B.i>7 C.i≥6 D.i<6
【解析】3为奇数,n=10,i=1;10不是奇数,n=5,i=2;5为奇数,n=16,i=3;16不是奇数,n=8,i=4;8不是奇数,n=4,i=5;4不是奇数,n=2,i=6;2不是奇数,n=1,i=7,7≥7,故循环结束,输出1.故选A.
【答案】A
3.(2017湖南长沙一模)某同学为实现“给定正整数N,求最小的正整数i,使得7i>N”,设计如图所示的程序框图,则判断框中可填入( ).
A.x≤N B.x
【解析】因为到判断框回答否,才进入循环,所以排除A,B.令N=7,可以排除D,只有C项满足条件.故选C.
【答案】C
4.(2017广东模拟)执行如图所示的程序框图,若x∈[a,b],y∈[0,4],则b-a的最小值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】程序框图的功能为求分段函数y=x+1,x<0,4x-x2,x≥0的函数值,由图可知2∈[a,b],当a=0,b=2或a=2,b=4时符合题意,∴b-a≥2.
【答案】A
5.(2017四川资阳一模)公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图所示的是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出n的值为( ).
(参考数据:3≈1.732,sin 15°≈0.2588,sin 7.5°≈0.1305)
A.12 B.24 C.48 D.96
【解析】由程序框图知n,S的值依次为n=6,S=2.598;n=12,S=3;n=24,S=3.1056,此时满足S≥3.10,输出n=24.故选B.
【答案】B
6.(2017广东惠州二模)如图所示的是计算12+14+16+…+160的值的程序框图,其中①②分别是( ).
A.i<30,n=n+2 B.i=30,n=n+2
C.i>30,n=n+2 D.i>30,n=n+1
【解析】因为2,4,6,8,…,60构成首项为2,公差为2的等差数列,所以2+2(n-1)=60,解得n=30.所以该程序循环了30次,即①是i>30,②是n=n+2,故选C.
【答案】C
7.(2017届云南省师大附中高三适应性测试)秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,an分别为0,1,2,…,n,且n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( ).
A.248 B.258 C.268 D.278
【解析】该程序框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=2时,f(2)=258,故选B.
【答案】B
8.(北京市朝阳区2017届高三二模)执行如图所示的程序框图,则输出S的值是( ).
A.15 B.29 C.31 D.63
【解析】模拟程序的运行过程k=0,S=0进入循环,S=1,k=1;S=1+2=3,k=2;S=1+2+22=7,k=3;S=1+2+22+23=15,k=4;S=1+2+22+23+24=31,k=5.此时S>20,输出S=31,选C.
【答案】C
9.(湖南省浏阳2017届高三适应性考试)执行如图所示的程序,则输出的结果为( ).
A.12 B.10 C.9 D. 8
【解析】列表得出S,k的值如下:
S
0
1
4
13
40
121
364
1093
3280
k
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
据此可得,输出的结果为log36561=log338=8.
【答案】D
10.(2017陕西西北工大附中二模)对一名学生8次的数学成绩进行了统计,第i次统计得到的数据为ai,具体如下表所示:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
ai
100
101
103
103
104
106
107
108
在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数),则输出S的值是( ).
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】该程序框图的功能是计算8个数据的方差,计算得S=7,故选C.
【答案】C
11.(2017吉林四平一中三模)在如图所示的程序框图中,当n∈N*(n>1)时,函数f'n(x)表示函数fn(x)的导函数,若输入函数f1(x)=sin x+cos x,则输出的fn(x)可化为( ).
A.2sinx+π4 B.-2sinx-π2
C.-2sinx-π4 D.-2sinx+π4
【解析】依题意,f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=cos x-sin x,f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,则fn(x)的表达式是以4为周期,循环出现.根据程序框图,输出f2015(x)=f3(x)=-sin x-cos x=-2sinx+π4.
【答案】D
12.(山东省日照市2017届高三第三次模拟)某一算法的程序框图如图所示,则输出S的值为( ).
A.32 B.-32 C.3 D.0
【解析】由已知的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sin π+…+sin2017π3的值.因为y=sinnπ3的周期为6,且同一周期内各个函数的值的累加和为0,又2016÷6=336,所以S=sinπ3+sin2π3+sin π+…+sin2016π3+sin2017π3=336×0+sin2017π3=sinπ3=32,故选A.
【答案】A
13.(河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷(一))中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(mod m),例如11=2(mod 3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n等于( ).
A.21 B.22 C.23 D.24
【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.
【答案】C
14.(陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟)如图所示的是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号学生的成绩依次为A1,A2,…,A16,如图所示的是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图,那么该算法流程图输出的结果是( ).
A.6 B.10 C.91 D.92
【解析】由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于或等于90的人数,所以由茎叶图知,数学成绩大于或等于90的人数为10,因此输出的结果为10.故选B.
【答案】B
§21.4 数系的扩充与复数的引入
一
复数的有关概念及性质
1.复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中 叫作复数的实部, 叫作复数的虚部.
(1)当b=0时,复数a+bi为实数;
(2)当b≠0时,复数a+bi为虚数;
(3)当a=0且b≠0时,复数a+bi为纯虚数.
2.复数相等的充要条件
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔a=c且b=d.
特别地,a+bi=0⇔a=b=0.
3.共轭复数:一般来说,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,复数z的共轭复数记作z.
4.复数的模
向量OZ的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或a+bi,即z=a+bi=r=a2+b2(r≥0,r∈R).
二
复数的几何意义
1.z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点).
2.复平面内,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.
☞ 左学右考
1 已知复数z=1+aii(a∈R)的实部为1,则a=( ).
A.1 B.-1
C.i D.-i
2 已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是( ).
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
3 已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .
4 i为虚数单位,复数z=i2017+i2018在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
三
复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
(2)z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)z1z2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(z2≠0).
2.zz=|z|2=|z|2
5 已知f(x)=x3-1,则复数f(i)2-i的虚部为( ).
A.15 B.-15
C.35 D.-35
知识清单
一、1.a b
基础训练
1.【解析】z=1+aii=a-i,实部a=1.
【答案】A
2.【解析】要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则应满足m+3>0,m-1<0,解得-3
3.【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,所以a2+b2=5,ab=2.
【答案】5 2
4.【解析】i2017=i504×4+1=i,i2018=i504×4+2=-1,∴复数z=-1+i在复平面上对应的点为(-1,1),即位于第二象限.
【答案】B
5.【解析】∵f(i)=i3-1=-i-1,∴f(i)2-i=-i-12-i=(-i-1)(2+i)(2-i)(2+i)=-1-3i5,其虚部为-35.
【答案】D
题型一
复数的有关概念及性质
【例1】设x∈R,则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由纯虚数的定义知x2-1=0,x+1≠0,解得x=1,故选C.
【解析】C
【变式训练1】(1)“m=±1”是“复数(1-m2)+(1+m)i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)如果复数2-bi1+2i(i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( ).
A.-6 B.-23 C.23 D.2
【解析】(1)由(1-m2)+(1+m)i是纯虚数,得1-m2=0,1+m≠0,解得m=1,所以“m=±1”是“复数(1-m2)+(1+m)i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.
(2)2-bi1+2i=(2-bi)×(1-2i)5=2-2b5+-b-45i,由题意得2-2b5+-b-45=0,解得b=-23,故选B.
【答案】(1)B (2)B
题型二
复数的几何意义
【例2】已知A,B是锐角三角形的两个内角,则复数(sin A-cos B)+(sin B-cos A)i在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵A,B是锐角三角形的两个内角,∴A+B>π2,且00.同理可得sin B-cos A>0.故选A.
【答案】A
复数的几何意义
(1)(其中a,b∈R).
(2)z表示复数z对应的点与原点的距离.
(3)z1-z2表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离.
【变式训练2】(1)复数z=10-5i51+2i3在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)如图,复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等,若复数z所对应的点为Z1,则复数z·i(i是虚数单位)的共轭复数所对应的点为( ).
A.Z1 B.Z2
C.Z3 D.Z4
【解析】(1)因为z=5(2-i)1-2i=5(1+2i)(2-i)5=4+3i,故选A.
(2)由题意可设z=bi(b>0),则z·i=-b,z·i的共轭复数为-b,即它对应的点为Z2.
【答案】(1)A (2)B
题型三
复数的代数运算
【例3】复数z=(2i-3)(i-2)i的实部与虚部之和为( ).
A.-3 B.4 C.3 D.-11
【解析】∵z=(2i-3)(i-2)i=(4-7i)·ii·i=7+4ii·i=-7-4i,∴复数z=(2i-3)(i-2)i的实部与虚部之和为-11.故选D.
【答案】D
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)复数的加、减法运算中,可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项.复数的乘法与多项式的乘法相类似,只是在结果中把i2换成-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解.
【变式训练3】(1)已知复数z=10-5ai1-2i的实部与虚部之和为4,则复数z在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,则a+i191+i的值为( ).
A.-1-2i B.1-2i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】(1)因为z=(2-ai)(1+2i)=2+2a+(4-a)i的实部与虚部之和为4,所以a=-2,则z=-2+6i,故选B.
(2)因为复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,所以a2-9=0,a+3≠0,解得a=3.所以a+i191+i=3-i1+i=(3-i)(1-i)2=1-2i,故选B.
【答案】(1)B (2)B
方法一
i的乘方具有周期性
in=1,n=4k,i,n=4k+1,-1,n=4k+2,-i,n=4k+3(k∈Z).
【突破训练1】(1)已知复数z满足(z+3i)(2-i3)=10i5,则复数z在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)设f(n)=1+i1-in+1-i1+in(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【解析】(1)由题意,得z=10i2+i-3i=2+i,其在复平面上对应的点为(2,1),位于第一象限,故选A.
(2)f(n)=1+i1-in+1-i1+in=in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…,∴集合中共有3个元素.
【答案】(1)A (2)C
方法二
复数与解析几何的综合
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
【突破训练2】(1)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( ).
A.34+12π B.12+1π
C.12-1π D.14-12π
(2)已知复数z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z-2|=3,则yx的取值范围为 .
【解析】(1)由|z|≤1知复数z在复平面上对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,如图中
阴影部分所示(包括边界),该区域的面积为14π-12×1×1=14π-12,故满足y≥x的概率为14π-12π×12=14-12π.故选D.
(2)因为|z-2|=|x-2+yi|=3,
所以(x-2)2+y2=3.
设yx=k,则y=kx.
联立(x-2)2+y2=3,y=kx,
化简得(1+k2)x2-4x+1=0.
因为直线y=kx与圆有公共点,所以Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-3≤k≤3,所以yx的取值范围为[-3,3].
【答案】(1)D (2)[-3,3]
1.(2017江西吉安测试)已知复数a+2i1+i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【解析】a+2i1+i=a+22+2-a2i,∵a+2i1+i是纯虚数,∴a+22=0,∴a=-2,故选A.
【答案】A
2.(2017河南模拟)当23
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵230,m-1<0,故对应的点位于第四象限.
【答案】D
3.(2017浙江五校联考)若复数z满足2z+z=3+2i,其中i为虚数单位,则z=( ).
A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),∴z=a-bi,∴2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+2i,∴3a=3,b=2,∴a=1,b=2,故选B.
【答案】B
4.(2017浙江联考)在复平面内,复数z=1-i对应的向量为OP,复数z2对应的向量为OQ,那么向量PQ对应的复数为( ).
A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i
【解析】PQ=z2-z=(1-i)2-(1-i)=-1-i,选D.
【答案】D
5.(2017兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=( ).
A.0 B.1 C.-1 D.±1
【解析】由题意得a2-1=0,a-1≠0,解得a=-1.故选C.
【答案】C
6.(2017安徽省亳州市质检)复数z的共轭复数为z,若1-iz·z+i为纯虚数,则|z|=( ).
A.2 B.3 C.2 D.1
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则1-iz·z+i=1-ia2+b2+i=(1-i)(a2+b2-i)(a2+b2+i)(a2+b2-i)=a2+b2-1-(a2+b2+1)i(a2+b2)2+1,它为纯虚数,则a2+b2-1=0,即a2+b2=1,所以|z|=a2+b2=1,故选D.
【答案】D
7.(2017江西省赣州市二模)已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数 z 在复平面内对应的点为( ).
A.-1,-12 B.1,-12
C.-12,1 D.-12,-1
【解析】因为(1-i)2·z=1+2i,所以z=-1+12i,z=-1-12i,则复数z在复平面内对应的点为-1,-12.
【答案】A
8.(2017山西省高三3月一模)设z是复数z的共轭复数,若z=i+11-i,则z·z=( ).
A.52 B.52 C.102 D.-102
【解析】z=i+1+i(1-i)(1+i)=12+32i,故z·z=|z|2=14+94=52.
【答案】B
9.(2017宁夏银川一中二模)复数z满足z(1+3i)=|1+3i|,则z等于( ).
A.1-3i B.1
C.12-32i D.32-12i
【解析】z=|1+3i|1+3i=21+3i=12-32i,故选C.
【答案】C
10.(2017安徽省宣城市第二次调研)设(1+i)(x+yi)=2,其中i为虚数单位,x,y是实数,则|2x+yi|=( ).
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】∵(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2,
∴x-y=2,x+y=0,∴x=1,y=-1.∴2x+yi=2-i,∴|2-i|=5,故选D.
【答案】D
11.(2017福建省莆田二模)已知复数m=4-xi,n=3+2i,若复数nm∈R,则实数x的值为( ).
A.-6 B.6 C.83 D.-83
【解析】因为nm=3+2i4-xi=(3+2i)(4+xi)(4-xi)(4+xi)=12-2x16+x2+8+3x16+x2i且nm∈R,所以8+3x16+x2=0,所以x=-83.
【答案】D
12.(2017湖北华师一附中高三模考)若复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数(i为虚数单位),则tanθ-π4的值为( ).
A.-7 B.-17
C.7 D.-7或-17
【解析】因为复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数,所以cosθ-45=0,sinθ-35≠0,解得cosθ=45,sinθ=-35,所以tan θ=-34.所以tanθ-π4=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-34-11+-34×1=-7,故选A.
【答案】A
13.(2017吉林省长春市三模)定义运算a bc d=ad-bc,若复数x=1-i1+i,y=4i xi2 x+i,则y= .
【解析】因为x=1-i1+i=(1-i)22=-i,所以y=4i xi2 x+i=4i 12 0=-2.
【答案】-2
14.(2017山东省德州市模拟)使复数z=a2-a-6+a2+2a-15a2-4i为纯虚数的实数a是否存在?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】假设z为纯虚数,
则有a2-a-6=0, ①a2+2a-15a2-4≠0, ②
由①得a=-2或a=3.
当a=-2时,②式左端无意义.
当a=3时,②式不成立.
故不存在实数a,使z为纯虚数.
15.(2017北京市模拟)复数z=(1+i)3(a+bi)1-i(a,b∈R),且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数o,z,z对应的点是正三角形的三个顶点,复数o对应坐标原点O,求实数a,b的值.
【解析】z=(1+i)42(a+bi)=-2a-2bi.
由|z|=4,得a2+b2=4. ①
∵复数o,z,z对应的点构成正三角形,
∴|z-z|=|z|.
把z=-2a-2bi代入上式并化简,得a2=3b2. ②
又∵z对应的点在第一象限,∴a<0,b<0.
由①②得a=-3,b=-1.
16.(2017江西省九江市模拟)设复数z满足4z+2z=33+i,ω=sin θ-icos θ,求复数z和|z-ω|的取值范围.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
代入4z+2z=33+i,
得4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,
即6a+2bi=33+i.
∴a=32,b=12.
∴z=32+12i.
|z-ω|=32+12i-(sinθ-icosθ)
= 32-sinθ2+12+cosθ2
= 2-2sinθ-π6.
∵-1≤sinθ-π6≤1,
∴0≤2-2sinθ-π6≤4.
∴0≤|z-ω|≤2.
故复数z=32+12i,|z-w|的取值范围为[0,2].
第二十一单元 推理证明、算法初步、复数
考点一
算法初步
1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ).
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.
【答案】D
2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;
当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;
当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;
当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;
当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;
当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.
故选B.
【答案】B
3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】假设N=2,程序执行过程如下:
t=1,M=100,S=0,
1≤2,S=0+100=100,M=-10010=-10,t=2;
2≤2,S=100-10=90,M=--1010=1,t=3;
3>2,输出S=90<91,符合题意.
∴N=2成立,显然2是最小值.
故选D.
【答案】D
4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( ).
A.y=2x B.y=3x
C.y=4x D.y=5x
【解析】输入x=0,y=1,n=1,
运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;
运行第二次,x=12,y=2,不满足x2+y2≥36;
运行第三次,x=32,y=6,满足x2+y2≥36.
输出x=32,y=6.
由于点32,6在直线y=4x上,故选C.
【答案】C
5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ).
A.7 B.12 C.17 D.34
【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a,s,k的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.
【答案】C
考点二
复数
6.(2017年全国Ⅱ卷)3+i1+i=( ).
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
【解析】3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3-3i+i+12=2-i.故选D.
【答案】D
7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( ).
A.12 B.22 C.2 D.2
【解析】由(1+i)z=2i,得z=2i1+i=1+i,∴|z|=2.故选C.
【答案】C
8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.
又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.
∴|x+yi|=|1+i|=2.故选B.
【答案】B
考点三
推理证明
9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ).
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.
【答案】D
10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.
【答案】1和3
11.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.
乙说:我没去过C城市.
丙说:我们三个去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A,C城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C城市,故乙只去过A城市.
【答案】A
12.(2017年浙江卷)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
证明:当n∈N*时,
(1)0
(3)12n-1≤xn≤12n-2.
【解析】(1)用数学归纳法证明:xn>0.
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,
若xk+1≤0,则0
因此xn>0(n∈N*).
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此0
得xnxn+1-4xn+1+2xn
=xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).
记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),
令f'(x)=2x2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0),
则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)≥f(0)=0,
因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤xnxn+12(n∈N*).
(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
所以xn≥12n-1.
由xnxn+12≥2xn+1-xn,得1xn+1-12≥21xn-12>0,
所以1xn-12≥21xn-1-12≥…≥2n-11x1-12=2n-2,
故xn≤12n-2.
综上,12n-1≤xn≤12n-2(n∈N*).
高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.
命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.
2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.
3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.
§21.1 合情推理与演绎推理
一
合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
由某类事物的 对象具有某些特征,推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理
由部分到 、
由 到一般
类比推理
由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知 ,推出另一类对象也具有这些 的推理
由特殊到
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出 的推理
二
演绎推理
1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.
2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提——已知的 ;
(2)小前提——所研究的 ;
(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.
☞ 左学右考
1 已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( ).
A.an=3n-1
B.an=4n-3
C.an=n2
D.an=3n-1
2 根据图中的数构成的规律,得a表示的数是( ).
A.12 B.48
C.60 D.144
知识清单
一、部分 全部 整体 个别 类似特征 特征 特征 特殊
类比 猜想
二、1.特殊 2.(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)一般原理
基础训练
1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.
【答案】C
2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.
【答案】D
题型一
归纳推理
【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为( ).
20+21=3
20+22=5 21+22=6
20+23=9 21+23=10 22+23=12
20+24=1721+24=18 22+24=20 23+24=24
……
A.27+213=8320 B.27+214=16512
C.28+214=16640 D.28+213=8448
【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.
【答案】B
归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式)的变化规律(如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律),然后用这种规律试一试这些特殊的数(式)是否符合观察得到的规律,若不符合,则应继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论.
【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:
1 3 7 13 21 …
5 9 1523 …
111725…
1927…
29…
…
则第30行从左到右第3个数是 .
【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.
【答案】1051
题型二
类比推理
【例2】给出下列三个类比结论:
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中正确结论的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①错误.
sin(α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=34,故②错误.
由向量的运算公式知③正确.
【答案】B
在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,比如,三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列,等等;(2)找对应元素的对应关系,比如,两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方,等等.
【变式训练2】若数列{an}是等差数列,则数列{bn}bn=a1+a2+…+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,则{dn}也是等比数列,且dn的表达式应为( ).
A.dn=c1+c2+…+cnn B.dn=c1·c2·…·cnn
C.dn=nc1n+c2n+…+cnnn D.dn=nc1·c2·…·cn
【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故dn的表达式为dn=nc1·c2·…·cn.
(法二)若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+n(n-1)2d,
∴bn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2,即{bn}是等差数列.
若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c1n·q1+2+…+(n-1)=c1n·qn(n-1)2,
∴dn=nc1·c2·…·cn=c1·qn-12,即{dn}是等比数列.
【答案】D
题型三
演绎推理
【例3】已知函数f(x)=-aax+a(a>0,且a≠1).
(1)证明:函数f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.
任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).
由已知f(x)=-aax+a,则-1-f(x)=-1+aax+a=-axax+a.
又因为f(1-x)=-aa1-x+a=-aaax+a
=-a·axa+a·ax=-axax+a,
所以-1-f(x)=f(1-x),
所以函数f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.
因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
证明本题的大前提是中心对称的定义,函数f(x)的图象上的任一点关于对称中心对称的点仍在图象上.小前提是f(x)=-aax+a(a>0,且a≠1)图象上的点关于点12,-12对称的点仍在f(x)的图象上.
演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,一般来说,当大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)
【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)
平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以ED=AF.(结论)
上面的推理过程可简略地写成:
∠BFD=∠A⇒DF∥EA,DE∥BA⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.
方法一
归纳推理的一般步骤
1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.
2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.
3.猜测一般性结论.
【突破训练1】观察下列各等式:
sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=34,
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=34,
sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=34.
分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明.
【解析】猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34.
上式正确.
证明:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)
=1-cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sin(2α+30°)-sin30°2
=1+cos(2α+60°)-cos2α2+12sin(2α+30°)-14
=34-12sin(30°+2α)+12sin(2α+30°)=34.
所以sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34成立.
方法二
类比推理的一般步骤
1.找出两类事物之间的相似性或一致性.
2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).
3.检验这个猜想.
一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.
【突破训练2】已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=12r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA-BCD= .
【解析】内切圆半径r内切球半径R;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.∴三棱锥的体积VA-BCD=13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD).
【答案】13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD)
方法三
演绎推理的规律方法
1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.
2.判断演绎推理是否正确的方法:
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.
(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.
(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.
(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.
【突破训练3】证明:f(x)=1x2在(0,+∞)上为减函数.
【解析】∵f'(x)=1x2'=-2x3,x∈(0,+∞),∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ).
A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1)
【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B.
【答案】B
2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( ).
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.
【答案】B
3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( ).
A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+1an-1(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.
【答案】A
4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为( ).
A.21 B.34 C.52 D.55
【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.
【答案】D
5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:
4=22
4+12=16=42
4+12+20=36=62
4+12+20+28=64=82
……
由上述事实,请推测第n个式子为 .
【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:
4=22
4+12=16=42
4+12+20=36=62
4+12+20+28=64=82
……
归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,
故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).
【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)
6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.
【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.
【答案】83
7.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.
(1)n级分形图中共有 条线段.
(2)n级分形图中所有线段长度之和为 .
【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).
(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3×23n-1(n∈N*),所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn=3×230+3×231+…+3×23n-1=3×1-23n1-23=9-9×23n.
【答案】(1)3×2n-3(n∈N*) (2)9-9×23n
8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有AC12+BD12+CA12+DB12= .
【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2), ①
在平行四边形ACC1A1中,CA12+AC12=2(AC2+AA12), ②
在平行四边形BDD1B1中,DB12+BD12=2(BD2+BB12), ③
由②+③,得CA12+AC12+DB12+BD12=2(AC2+AA12)+2(BD2+BB12), ④
将①代入④,再结合AA1=BB1,得AC12+B1D2+CA12+BD12=4(AB2+AD2+AA12).
【答案】4(AB2+AD2+AA12)
9.(2017揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)
B.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,且g(x)≠0,则f(x)g(x)∈Ma1a2
C.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,则f(x)+g(x)∈Ma1+a2
D.若f(x)∈Ma1,g(x)∈Ma2,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈Ma1-a2
【解析】由-a(x2-x1)
则-a
【答案】C
10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
其中正确的结论是( ).
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.
【答案】C
11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=12+13+16;1=12+14+16+112;1=12+15+16+112+120;……依此类推,1=12+16+17+1n+120+130+142,其中n∈N*,则n= .
【解析】由题意知1=12+16+17+1n+120+130+142=12+12-13+13-14+14-15+15-16+16-17+17,所以n=12.
【答案】12
12.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2 的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.
【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,
从而OM∥F1Q且|OM|=12|F1Q|.
而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,
所以|OM|=a.
对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.
【答案】内角平分线
13.(2017保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(n∈N*),证明:
(1)数列Snn是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
【解析】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.
所以Sn+1n+1=2·Snn.
又因为S11=1≠0,(小前提)
所以Snn是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义,这里省略了)
(2)由(1)可知Sn+1n+1=4·Sn-1n-1(n≥2),所以Sn+1=4(n+1)·Sn-1n-1=4·n-1+2n-1·Sn-1=4an(n≥2),(小前提)
又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)
14.(2017合肥模拟)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)图象上一点,且在点P处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:
y2=2px的两边同时对x求导,得2yy'=2p,则y'=py,所以在点P处的切线斜率k=py0.
试用上述方法求出双曲线x2-y22=1在点P(2,2)处的切线方程.
【解析】用类比的方法对y22=x2-1两边同时对x求导得,yy'=2x,所以y'=2xy,所以在点P处的切线斜率k=2x0y0=2×22=2,所以切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.
15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y,x+y2∈D均满足fx+y2≥12[f(x)+f(y)],当且仅当x=y时等号成立.
(1)若定义在(0,+∞)上的函数f(x)∈M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小.
(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.
【解析】(1)已知fx+y2≥12[f(x)+f(y)],
令x=3,y=5,得f(3)+f(5)<2f(4).
(2)因为gx1+x22-12[g(x1)+g(x2)]
=-(x1+x2)24+x12+x222
=(x1-x2)24≥0,
所以gx1+x22≥12[g(x1)+g(x2)],
所以g(x)∈M.
§21.2 直接证明、间接证明与数学归纳法
一
直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从 推导到 的思维方法
从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从 出发到得出这一结果的 的思维方法
特点
从“ ”看“ ”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件
从“ ”看“ ”,逐步靠拢“ ”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件
二
间接证明——反证法
要证明某一结论Q是正确的,但不能直接证明,而是先 (即Q的反面非Q是正确的),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明非Q是 的,从而断定结论Q是 的,这种证明方法叫作反证法.
三
数学归纳法
一般来说,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立:
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
☞ 左学右考
1 要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证( ).
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-a4+b42≤0
C.(a+b)22-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
2 ①用反证法证明“已知p3+q3=2,求证p+q≤2”时,可假设p+q≥2;②用反证法证明“已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下判断正确的是( ).
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误
D.①的假设错误,②的假设正确
3 用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
知识清单
一、原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分
二、假设Q不成立 矛盾 错误 正确
三、(1)第一个值n0(n0∈N*) (2)k+1
基础训练
1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,所以选D.
【答案】D
2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.
【答案】D
3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.
【答案】C
题型一
直接证明
【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.
【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0. ①
令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,
则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.
设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m+(2017-k)×(-m)=(2k-2017)m. ②
由①②知(2k-2017)m=0. ③
而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.
于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.
所以a1=22017·a1,即得a1=0.
从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.
【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.
【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.
欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,
只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
只需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.
先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,显然此式成立.
再看a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,
只需证a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0,
只需证a
题型二
间接证明
【例2】用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ).
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程 x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0 至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0 恰好有两个实根
【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
【答案】A
利用反证法证明时,对结论的否定是关键,且要注意几种特殊情形的否定,比如:都是、至多、或、且、不都是、都不是等.
【变式训练2】已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.
【解析】假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x2+12+2-x+x2-x+1=2x2-2x+12+3=2x-122+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.
题型三
数学归纳法
【例3】已知f(n)=1+123+133+143+…+1n3,g(n)=32-12n2,n∈N*.
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
【解析】(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=32-12×12=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)=1+123=98,g(2)=32-12×22=118,所以f(2)
①当n=1时,不等式显然成立.
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,
即1+123+133+143+…+1k3<32-12k2,
则当n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+1(k+1)3<32-12k2+1(k+1)3,
因为12(k+1)2-12k2-1(k+1)3
=k+32(k+1)3-12k2=-3k-12(k+1)3k2<0,
所以f(k+1)<32-12(k+1)2=g(k+1).
由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.
利用数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意:
①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.
【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式1+131+15·…·1+12n-1>2n+12均成立.
【解析】①当n=2时,左边=1+13=43;右边=52.
∵左边>右边,∴不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,
即1+131+15·…·1+12k-1>2k+12.
则当n=k+1时,1+131+15·…·1+12k-1·1+12(k+1)-1>2k+12·2k+22k+1=2k+222k+1
=4k2+8k+422k+1>4k2+8k+322k+1
=2k+32k+122k+1=2(k+1)+12.
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由①②知,对于一切大于1的自然数n,不等式均成立.
方法一
利用综合法进行证明
综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:
(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式;
(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
【突破训练1】已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-an2(n∈N*).
(1)证明:1
由an=(1-an-1)an-1,
得an=(1-an-1)(1-an-2)·…·(1-a1)a1>0.
由0
由1an+1-1an=anan+1和1
因此12(n+1)≤an+1<1n+2(n∈N*). ②
由①②,得12(n+2)
方法二
利用分析法进行证明
分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
【突破训练2】已知m>0,a,b∈R,求证:a+mb1+m2≤a2+mb21+m.
【解析】因为m>0,所以1+m>0,
所以要证a+mb1+m2≤a2+mb21+m,
即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,
即证(a-b)2≥0,
又(a-b)2≥0显然成立,
所以a+mb1+m2≤a2+mb21+m.
方法三
利用反证法进行证明
【突破训练3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列.
【解析】(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
两式相减得an+1=12an,
所以{an}是首项为1,公比为12的等比数列,
所以an=12n-1.
(2)假设{an}中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为ap+1,aq+1,ar+1(p
所以2·2r-q=2r-p+1. (*)
又因为p
所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.
所以假设不成立,原命题得证.
方法四
利用数学归纳法进行证明
【突破训练4】已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=an2+1an-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
【解析】(1)当n=1时,由已知得a1=a12+1a1-1,
即a12+2a1-2=0.
∴a1=3-1(a1=-3-1<0,舍去).
当n=2时,由已知得a1+a2=a22+1a2-1,
将a1=3-1代入上式并整理,得a22+23a2-2=0.
∴a2=5-3(a2=-5-3<0,舍去).
同理可得a3=7-5.
猜想an=2n+1-2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立.
假设当n=k(k∈N*)时,通项公式成立,
即ak=2k+1-2k-1.
∵ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-ak2-1ak,
将ak=2k+1-2k-1代入上式并整理,
得ak+12+22k+1ak+1-2=0,
∴ak+1=2k+3-2k+1,
即当n=k+1时通项公式也成立.
综上可知,对任意n∈N*,an=2n+1-2n-1都成立.
1.(2017广州调研)若a,b,c为实数,且a
C.1a<1b D.ba>ab
【解析】对于选项B,a2-ab=a(a-b),∵a
【答案】B
2.(2017周口模拟)用反证法证明命题“若a+b+c为偶数,则自然数a,b,c恰有一个偶数”时,正确的反设为( ).
A.自然数a,b,c都是奇数
B.自然数a,b,c都是偶数
C.自然数a,b,c中至少有两个偶数
D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.
【答案】D
3.(2017宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
证明过程如下:
因为a,b,c∈R,
所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.
又因为a,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一个等号不成立,
所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此证法是( ).
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法并用 D.反证法
【解析】由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.
【答案】B
4.(2017济南模拟)设小李从甲地到乙地往返的时速分别为a,b(a
5.(2017宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3a”,索的因应是( ).
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
【解析】b2-ac<3a⇐b2-ac<3a2
⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0
⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0
⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.
【答案】C
6.(2017太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( ).
A.不成立 B.成立
C.不能断定 D.与n取值有关
【解析】因为Sn=2n2-3n,所以当n=1时,a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.因为当n=1时,a1满足an=4n-5,且an-an-1=4,故{an}为等差数列,即命题成立.
【答案】B
7.(2017邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)
【解析】若a=12,b=23,则a+b>1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.
对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法证明如下:
假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
【答案】③
8.(2017山西运城模拟)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛.如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为 .
【解析】设层数为x,对应层所含的束数为y,总束数为z,f(x)表示x与y的关系,g(x)表示x与z的关系,结合题中摆放规则可知:
f(1)=1,
f(2)=1+2=3,
f(3)=1+2+3=6,
f(4)=1+2+3+4=10.
由此可知f(x)=(1+x)x2,g(x)=x(x+1)(x+2)6.
由g(x)=680,解得x=15,由此可得f(15)=120.
【答案】120
9.(2017江西赣州十四县市联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持金出五关,前关二税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收税金13,第3关收税金14,第4关收税金15,第5关收税金16,5关所收税金之和,恰好1斤重,设这个人原本持金为x,按此规律通过第8关,”则第8关需收税金为 .
【解析】第1关收税金:12x;第2关收税金:131-12x=12×3x;第3关收税金:141-12-16x=13×4x;……可得第8关收税金:18×9x,即172x.
【答案】172x
10.(2017长沙模拟)设a,b,c都是正数,则a+1b,b+1c,c+1a三个数( ).
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
【解析】因为a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,当且仅当a=b=c时取等号,所以三个数中至少有一个不小于2.
【答案】D
11.(2017福州模拟)若aa+bb>ab+ba,则a,b应满足的条件是 .
【解析】要使aa+bb>ab+ba,即(a-b)2(a+b)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.
【答案】a≥0,b≥0且a≠b
12.(2017常德模拟)设a>0,f(x)=axa+x,在数列{an}中,若a1=1,an+1=f(an),n∈N*,
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
【解析】(1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a1+a;
a3=f(a2)=a·a1+aa+a1+a=a2+a;
a4=f(a3)=a·a2+aa+a2+a=a3+a.
猜想an=an-1+a(n∈N*).
(2)由(1)知当n=1时,猜想正确.
假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,
即ak=ak-1+a,则ak+1=f(ak)=a·aka+ak
=a·ak-1+aa+ak-1+a=ak-1+a+1=a(k+1)-1+a.
即当n=k+1时猜想也正确.
综上可知,对任意n∈N*,都有an=an-1+a.
13.(2017济南模拟)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a
(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题设得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为直线x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2-b+32=b,解得b=1或b=3.
因为b>1,所以b=3.
(2)假设函数h(x)=1x+2在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,
因为h(x)=1x+2在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有h(a)=b,h(b)=a, 即1a+2=b,1b+2=a,
解得a=b,这与已知矛盾.故所求的a,b不存在.
§21.3 算法初步
一
程序框图
程序框图又称 ,是一种用 、 及 来表示算法的图形.在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.
二
三种基本逻辑结构
1.顺序结构:按照步骤 的一个算法,称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构.
2.选择结构:需要 ,判断的结果决定后面的步骤,像这样的结构通常称为选择结构.
3.循环结构:指从某处开始,按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为 .
三
基本算法语句
1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句,它们分别是: 、输出语句、 、条件语句和 .
2.输入语句、输出语句和赋值语句的格式与功能:
语句
一般格式
功能
输入语句
输入信息
输出语句
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
将表达式的值赋给变量
3.条件语句
(1)IF—THEN语句的一般格式是:
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)程序框图中的图形符号可随意确定.( )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构或循环结构.( )
(3)“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同.( )
(4)在算法语句中,“X=X+1”的写法一定是错误的.( )
2 请写出下列算法框图的图形符号的功能
3 阅读如图所示的程序框图,若输入的a,b,c的值分别为14,6,20,则输出的a,b,c的值分别是 .
(2)IF—THEN—ELSE语句的一般格式是:
4.循环语句
(1)UNTIL语句的一般格式是:
(2)WHILE语句的一般格式是:
4 执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为3,则输出的y的值为 .
知识清单
一、流程图 程序框 流程线 文字说明
二、1.依次执行 2.进行判断 3.循环体
三、1.输入语句 赋值语句 循环语句
2.INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”;表达式变量=表达式
基础训练
1.【解析】(1)错误,程序框图中的图形符号的功能都有明确规定,不可随意确定.
(4)错误,在算法语句中,X=X+1表示赋值语句时,写法是正确的.
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.【答案】起始和结束 输入和输出的信息 赋值、计算 成立与否 先后顺序
3.【解析】将a的值赋给x,则x=14;将c的值赋给a,则a=20;将b的值赋给c,则c=6;将x的值赋给b,则b=14.故输出的a,b,c的值分别为20,14,6.
【答案】20,14,6
4.【解析】由程序框图可知,当输入的x的值为3时,执行的语句为y=log3x,则y=log33=1,故输出的y的值为1.
【答案】1
题型一
顺序结构
【例1】问题:已知f(x)=x2-2x-3,求f(3),f(-5),f(5),并计算f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题的一个算法,并画出算法框图.
【解析】算法如下:
第一步,令x=3.
第二步,把x=3代入y1=x2-2x-3.
第三步,令x=-5.
第四步,把x=-5代入y2=x2-2x-3.
第五步,令x=5.
第六步,把x=5代入y3=x2-2x-3.
第七步,把y1,y2,y3的值代入y=y1+y2+y3.
第八步,输出y1,y2,y3,y的值.
该算法对应的算法框图如图所示:
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
【变式训练1】执行如图所示的框图,则输出的结果为( ).
A.2,3,1 B.2,3,2
C.3,1,2 D.3,2,1
【解析】先把y的值2赋给x,再把z的值3赋给y,最后把x的值2赋给z,所以输出的x,y,z的值分别为2,3,2.
【答案】B
题型二
选择结构
【例2】执行如图所示的算法框图,如果输入的t∈[-1,3],那么输出的s属于( ).
A.[-3,4] B.[-5,2]
C.[-4,3] D.[-2,5]
【解析】根据算法框图可以得到分段函数s=3t,t<1,4t-t2,t≥1,进而在函数的定义域[-1,3]内分段求出函数的值域.所以当-1≤t<1时,s=3t∈[-3,3);当1≤t≤3时,s=4t-t2=-(t-2)2+4∈[3,4].
综上可知,输出的s属于[-3,4].
【答案】A
选择结构中条件的判断关键是先明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断.
对于选择结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
【变式训练2】执行如图所示的程序框图,能使输入的x值与输出的y值相等的x值的个数为 .
【解析】由题意可知函数的解析式为y=x2,x≤2,2x-3,2
【答案】3
题型三
循环结构
【例3】执行如图所示的程序框图,若输出的结果为170,则判断框内应补充的条件为( ).
A.i>5 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9
【解析】第1次循环后S=0+2=2,i=1+2=3,不满足条件;第2次循环后S=2+8=10,i=2+3=5,不满足条件;第3次循环后S=10+32=42,i=5+2=7,不满足条件;第4次循环后S=42+128=170,i=7+2=9,满足条件,退出循环.故判断框内应补充的条件为i≥9.
【答案】D
(1)已知算法框图,求输出的结果,可按算法框图的流程依次执行,最后得出结果.
(2)完善算法框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
(3)对于辨析算法框图功能问题,可将算法执行几次,即可根据结果做出判断.
【变式训练3】某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是( ).
A.计算(1+20)+(2+21)+(3+22)+…+(n+1+2n)的值
B.计算(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)的值
C.计算(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)的值
D.计算[1+2+3+…+(n-1)]+(21+22+…+2n-1)的值
【解析】初始值k=1,S=0,第1次执行循环体后S=1+20,k=2,第2次执行循环体后S=1+20+2+21,k=3,…,给定正整数n,当k=n时,最后一次执行循环体,执行循环体后S=1+20+2+21+…+n+2n-1,k=n+1,退出循环体,输出S=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1),故选C.
【答案】C
题型四
基本算法语句
【例4】给出下面的程序:
a=33
b=39
If a
a=b
b=t
a=a-b
End If
输出a
该程序运行的结果为 .
【解析】∵a=33,b=39,∴a
解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.
【变式训练4】根据下列算法语句,当输入x的值为60时,输出y的值为( ).
输入x
If x≤50 Then
y=0.5*x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y
A.29 B.30
C.31 D.32
【解析】由题意得y=0.5x,x≤50,25+0.6(x-50),x>50.
当x=60时,y=25+0.6×(60-50)=31.
所以输出y的值为31.
【答案】C
方法一
由算法框图求输出结果
1.要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构.循环结构中要正确控制循环次数,要注意各个框的顺序.
2.要识别运行算法框图,理解算法框图所解决的实际问题.
3.按照题目的要求完成解答并验证.
【突破训练1】执行如图所示的算法框图,输出n的值为 .
【解析】执行第一次判断:|a-1.414|=0.414>0.005,a=32,n=2.
执行第二次判断:|a-1.414|=0.086>0.005,a=75,n=3.
执行第三次判断:|a-1.414|=0.014>0.005,a=1712,n=4.
执行第四次判断:|a-1.414|<0.005,输出n=4.
【答案】4
方法二
完善算法框图
解决此类问题,应结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式,明确进入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化.具体解题方法有以下两种:一是先假定空白处填写的条件,再正面执行程序,来检验填写的条件是否正确;二是根据结果进行回溯,直至确定填写的条件是什么.
【突破训练2】执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是( ).
A.k≤6 B.k≤7
C.k≤8 D.k≤9
【解析】第一步,s=s·logk(k+1)=log23,k=2+1=3;
第二步,s=s·logk(k+1)=log23·log34=log24,k=3+1=4;
第三步,s=s·logk(k+1)=log24·log45=log25,k=5;
……
第n步,s=log2(n+1)·log(n+1)(n+2)=log2(n+2),k=n+2.
若输出s=3,则log2(n+2)=3,n+2=8,n=6,k=n+2=8,
说明k=8时结束,故应填“k≤7”.
【答案】B
方法三
辨析算法框图的功能
解决此类问题,应理清循环变量的初始条件,注意循环次数的判断,或者是将循环的结果进行几次,找出规律,从而推断算法框图的功能.解决算法框图功能的问题要注意几个常用变量:
(1)计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i=i+1.
(2)累加变量:用来计算数据之和,如S=S+i.
(3)累乘变量:用来计算数据之积,如p=p·i.
【突破训练3】执行如图所示的算法框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是( ).
A.an=2n(n∈N*,2≤n≤N)
B.an=2(n-1)(n∈N*,2≤n≤N)
C.an=2n(n∈N*,2≤n≤N)
D.an=2n-1(n∈N*,2≤n≤N)
【解析】由算法框图可知,
第一次运行:i=1,a1=2,S=2;
第二次运行:i=2,a2=4,S=4;
第三次运行:i=3,a3=8,S=8;
第四次运行:i=4,a4=16,S=16.
故输出的数列的通项公式为an=2n(n∈N*,2≤n≤N).故选C.
【答案】C
1.(2017河北石家庄模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的S=-12,则输出S的值为( ).
A.4 B.5 C.8 D.9
【解析】第一次循环,得S=-10,n=2;
第二次循环,得S=-6,n=3;
第三次循环,得S=0,n=4;
第四次循环,得S=8,n=5,
此时S>n,退出循环,故输出S=8.
【答案】C
2.(2017湖北孝感模拟)某程序框图如图所示,若输入、输出的n分别为3,1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为( ).
A.i≥7 B.i>7 C.i≥6 D.i<6
【解析】3为奇数,n=10,i=1;10不是奇数,n=5,i=2;5为奇数,n=16,i=3;16不是奇数,n=8,i=4;8不是奇数,n=4,i=5;4不是奇数,n=2,i=6;2不是奇数,n=1,i=7,7≥7,故循环结束,输出1.故选A.
【答案】A
3.(2017湖南长沙一模)某同学为实现“给定正整数N,求最小的正整数i,使得7i>N”,设计如图所示的程序框图,则判断框中可填入( ).
A.x≤N B.x
【解析】因为到判断框回答否,才进入循环,所以排除A,B.令N=7,可以排除D,只有C项满足条件.故选C.
【答案】C
4.(2017广东模拟)执行如图所示的程序框图,若x∈[a,b],y∈[0,4],则b-a的最小值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】程序框图的功能为求分段函数y=x+1,x<0,4x-x2,x≥0的函数值,由图可知2∈[a,b],当a=0,b=2或a=2,b=4时符合题意,∴b-a≥2.
【答案】A
5.(2017四川资阳一模)公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图所示的是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出n的值为( ).
(参考数据:3≈1.732,sin 15°≈0.2588,sin 7.5°≈0.1305)
A.12 B.24 C.48 D.96
【解析】由程序框图知n,S的值依次为n=6,S=2.598;n=12,S=3;n=24,S=3.1056,此时满足S≥3.10,输出n=24.故选B.
【答案】B
6.(2017广东惠州二模)如图所示的是计算12+14+16+…+160的值的程序框图,其中①②分别是( ).
A.i<30,n=n+2 B.i=30,n=n+2
C.i>30,n=n+2 D.i>30,n=n+1
【解析】因为2,4,6,8,…,60构成首项为2,公差为2的等差数列,所以2+2(n-1)=60,解得n=30.所以该程序循环了30次,即①是i>30,②是n=n+2,故选C.
【答案】C
7.(2017届云南省师大附中高三适应性测试)秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,an分别为0,1,2,…,n,且n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( ).
A.248 B.258 C.268 D.278
【解析】该程序框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=2时,f(2)=258,故选B.
【答案】B
8.(北京市朝阳区2017届高三二模)执行如图所示的程序框图,则输出S的值是( ).
A.15 B.29 C.31 D.63
【解析】模拟程序的运行过程k=0,S=0进入循环,S=1,k=1;S=1+2=3,k=2;S=1+2+22=7,k=3;S=1+2+22+23=15,k=4;S=1+2+22+23+24=31,k=5.此时S>20,输出S=31,选C.
【答案】C
9.(湖南省浏阳2017届高三适应性考试)执行如图所示的程序,则输出的结果为( ).
A.12 B.10 C.9 D. 8
【解析】列表得出S,k的值如下:
S
0
1
4
13
40
121
364
1093
3280
k
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
据此可得,输出的结果为log36561=log338=8.
【答案】D
10.(2017陕西西北工大附中二模)对一名学生8次的数学成绩进行了统计,第i次统计得到的数据为ai,具体如下表所示:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
ai
100
101
103
103
104
106
107
108
在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数),则输出S的值是( ).
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】该程序框图的功能是计算8个数据的方差,计算得S=7,故选C.
【答案】C
11.(2017吉林四平一中三模)在如图所示的程序框图中,当n∈N*(n>1)时,函数f'n(x)表示函数fn(x)的导函数,若输入函数f1(x)=sin x+cos x,则输出的fn(x)可化为( ).
A.2sinx+π4 B.-2sinx-π2
C.-2sinx-π4 D.-2sinx+π4
【解析】依题意,f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=cos x-sin x,f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,则fn(x)的表达式是以4为周期,循环出现.根据程序框图,输出f2015(x)=f3(x)=-sin x-cos x=-2sinx+π4.
【答案】D
12.(山东省日照市2017届高三第三次模拟)某一算法的程序框图如图所示,则输出S的值为( ).
A.32 B.-32 C.3 D.0
【解析】由已知的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sin π+…+sin2017π3的值.因为y=sinnπ3的周期为6,且同一周期内各个函数的值的累加和为0,又2016÷6=336,所以S=sinπ3+sin2π3+sin π+…+sin2016π3+sin2017π3=336×0+sin2017π3=sinπ3=32,故选A.
【答案】A
13.(河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷(一))中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(mod m),例如11=2(mod 3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n等于( ).
A.21 B.22 C.23 D.24
【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.
【答案】C
14.(陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟)如图所示的是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号学生的成绩依次为A1,A2,…,A16,如图所示的是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图,那么该算法流程图输出的结果是( ).
A.6 B.10 C.91 D.92
【解析】由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于或等于90的人数,所以由茎叶图知,数学成绩大于或等于90的人数为10,因此输出的结果为10.故选B.
【答案】B
§21.4 数系的扩充与复数的引入
一
复数的有关概念及性质
1.复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中 叫作复数的实部, 叫作复数的虚部.
(1)当b=0时,复数a+bi为实数;
(2)当b≠0时,复数a+bi为虚数;
(3)当a=0且b≠0时,复数a+bi为纯虚数.
2.复数相等的充要条件
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔a=c且b=d.
特别地,a+bi=0⇔a=b=0.
3.共轭复数:一般来说,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,复数z的共轭复数记作z.
4.复数的模
向量OZ的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或a+bi,即z=a+bi=r=a2+b2(r≥0,r∈R).
二
复数的几何意义
1.z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点).
2.复平面内,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.
☞ 左学右考
1 已知复数z=1+aii(a∈R)的实部为1,则a=( ).
A.1 B.-1
C.i D.-i
2 已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是( ).
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
3 已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .
4 i为虚数单位,复数z=i2017+i2018在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
三
复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
(2)z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)z1z2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(z2≠0).
2.zz=|z|2=|z|2
5 已知f(x)=x3-1,则复数f(i)2-i的虚部为( ).
A.15 B.-15
C.35 D.-35
知识清单
一、1.a b
基础训练
1.【解析】z=1+aii=a-i,实部a=1.
【答案】A
2.【解析】要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则应满足m+3>0,m-1<0,解得-3
3.【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,所以a2+b2=5,ab=2.
【答案】5 2
4.【解析】i2017=i504×4+1=i,i2018=i504×4+2=-1,∴复数z=-1+i在复平面上对应的点为(-1,1),即位于第二象限.
【答案】B
5.【解析】∵f(i)=i3-1=-i-1,∴f(i)2-i=-i-12-i=(-i-1)(2+i)(2-i)(2+i)=-1-3i5,其虚部为-35.
【答案】D
题型一
复数的有关概念及性质
【例1】设x∈R,则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由纯虚数的定义知x2-1=0,x+1≠0,解得x=1,故选C.
【解析】C
【变式训练1】(1)“m=±1”是“复数(1-m2)+(1+m)i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)如果复数2-bi1+2i(i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( ).
A.-6 B.-23 C.23 D.2
【解析】(1)由(1-m2)+(1+m)i是纯虚数,得1-m2=0,1+m≠0,解得m=1,所以“m=±1”是“复数(1-m2)+(1+m)i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.
(2)2-bi1+2i=(2-bi)×(1-2i)5=2-2b5+-b-45i,由题意得2-2b5+-b-45=0,解得b=-23,故选B.
【答案】(1)B (2)B
题型二
复数的几何意义
【例2】已知A,B是锐角三角形的两个内角,则复数(sin A-cos B)+(sin B-cos A)i在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵A,B是锐角三角形的两个内角,∴A+B>π2,且0
【答案】A
复数的几何意义
(1)(其中a,b∈R).
(2)z表示复数z对应的点与原点的距离.
(3)z1-z2表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离.
【变式训练2】(1)复数z=10-5i51+2i3在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)如图,复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等,若复数z所对应的点为Z1,则复数z·i(i是虚数单位)的共轭复数所对应的点为( ).
A.Z1 B.Z2
C.Z3 D.Z4
【解析】(1)因为z=5(2-i)1-2i=5(1+2i)(2-i)5=4+3i,故选A.
(2)由题意可设z=bi(b>0),则z·i=-b,z·i的共轭复数为-b,即它对应的点为Z2.
【答案】(1)A (2)B
题型三
复数的代数运算
【例3】复数z=(2i-3)(i-2)i的实部与虚部之和为( ).
A.-3 B.4 C.3 D.-11
【解析】∵z=(2i-3)(i-2)i=(4-7i)·ii·i=7+4ii·i=-7-4i,∴复数z=(2i-3)(i-2)i的实部与虚部之和为-11.故选D.
【答案】D
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)复数的加、减法运算中,可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项.复数的乘法与多项式的乘法相类似,只是在结果中把i2换成-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解.
【变式训练3】(1)已知复数z=10-5ai1-2i的实部与虚部之和为4,则复数z在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,则a+i191+i的值为( ).
A.-1-2i B.1-2i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】(1)因为z=(2-ai)(1+2i)=2+2a+(4-a)i的实部与虚部之和为4,所以a=-2,则z=-2+6i,故选B.
(2)因为复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,所以a2-9=0,a+3≠0,解得a=3.所以a+i191+i=3-i1+i=(3-i)(1-i)2=1-2i,故选B.
【答案】(1)B (2)B
方法一
i的乘方具有周期性
in=1,n=4k,i,n=4k+1,-1,n=4k+2,-i,n=4k+3(k∈Z).
【突破训练1】(1)已知复数z满足(z+3i)(2-i3)=10i5,则复数z在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)设f(n)=1+i1-in+1-i1+in(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【解析】(1)由题意,得z=10i2+i-3i=2+i,其在复平面上对应的点为(2,1),位于第一象限,故选A.
(2)f(n)=1+i1-in+1-i1+in=in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…,∴集合中共有3个元素.
【答案】(1)A (2)C
方法二
复数与解析几何的综合
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
【突破训练2】(1)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( ).
A.34+12π B.12+1π
C.12-1π D.14-12π
(2)已知复数z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z-2|=3,则yx的取值范围为 .
【解析】(1)由|z|≤1知复数z在复平面上对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,如图中
阴影部分所示(包括边界),该区域的面积为14π-12×1×1=14π-12,故满足y≥x的概率为14π-12π×12=14-12π.故选D.
(2)因为|z-2|=|x-2+yi|=3,
所以(x-2)2+y2=3.
设yx=k,则y=kx.
联立(x-2)2+y2=3,y=kx,
化简得(1+k2)x2-4x+1=0.
因为直线y=kx与圆有公共点,所以Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-3≤k≤3,所以yx的取值范围为[-3,3].
【答案】(1)D (2)[-3,3]
1.(2017江西吉安测试)已知复数a+2i1+i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【解析】a+2i1+i=a+22+2-a2i,∵a+2i1+i是纯虚数,∴a+22=0,∴a=-2,故选A.
【答案】A
2.(2017河南模拟)当23
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵23
【答案】D
3.(2017浙江五校联考)若复数z满足2z+z=3+2i,其中i为虚数单位,则z=( ).
A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),∴z=a-bi,∴2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+2i,∴3a=3,b=2,∴a=1,b=2,故选B.
【答案】B
4.(2017浙江联考)在复平面内,复数z=1-i对应的向量为OP,复数z2对应的向量为OQ,那么向量PQ对应的复数为( ).
A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i
【解析】PQ=z2-z=(1-i)2-(1-i)=-1-i,选D.
【答案】D
5.(2017兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=( ).
A.0 B.1 C.-1 D.±1
【解析】由题意得a2-1=0,a-1≠0,解得a=-1.故选C.
【答案】C
6.(2017安徽省亳州市质检)复数z的共轭复数为z,若1-iz·z+i为纯虚数,则|z|=( ).
A.2 B.3 C.2 D.1
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则1-iz·z+i=1-ia2+b2+i=(1-i)(a2+b2-i)(a2+b2+i)(a2+b2-i)=a2+b2-1-(a2+b2+1)i(a2+b2)2+1,它为纯虚数,则a2+b2-1=0,即a2+b2=1,所以|z|=a2+b2=1,故选D.
【答案】D
7.(2017江西省赣州市二模)已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数 z 在复平面内对应的点为( ).
A.-1,-12 B.1,-12
C.-12,1 D.-12,-1
【解析】因为(1-i)2·z=1+2i,所以z=-1+12i,z=-1-12i,则复数z在复平面内对应的点为-1,-12.
【答案】A
8.(2017山西省高三3月一模)设z是复数z的共轭复数,若z=i+11-i,则z·z=( ).
A.52 B.52 C.102 D.-102
【解析】z=i+1+i(1-i)(1+i)=12+32i,故z·z=|z|2=14+94=52.
【答案】B
9.(2017宁夏银川一中二模)复数z满足z(1+3i)=|1+3i|,则z等于( ).
A.1-3i B.1
C.12-32i D.32-12i
【解析】z=|1+3i|1+3i=21+3i=12-32i,故选C.
【答案】C
10.(2017安徽省宣城市第二次调研)设(1+i)(x+yi)=2,其中i为虚数单位,x,y是实数,则|2x+yi|=( ).
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】∵(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2,
∴x-y=2,x+y=0,∴x=1,y=-1.∴2x+yi=2-i,∴|2-i|=5,故选D.
【答案】D
11.(2017福建省莆田二模)已知复数m=4-xi,n=3+2i,若复数nm∈R,则实数x的值为( ).
A.-6 B.6 C.83 D.-83
【解析】因为nm=3+2i4-xi=(3+2i)(4+xi)(4-xi)(4+xi)=12-2x16+x2+8+3x16+x2i且nm∈R,所以8+3x16+x2=0,所以x=-83.
【答案】D
12.(2017湖北华师一附中高三模考)若复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数(i为虚数单位),则tanθ-π4的值为( ).
A.-7 B.-17
C.7 D.-7或-17
【解析】因为复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数,所以cosθ-45=0,sinθ-35≠0,解得cosθ=45,sinθ=-35,所以tan θ=-34.所以tanθ-π4=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-34-11+-34×1=-7,故选A.
【答案】A
13.(2017吉林省长春市三模)定义运算a bc d=ad-bc,若复数x=1-i1+i,y=4i xi2 x+i,则y= .
【解析】因为x=1-i1+i=(1-i)22=-i,所以y=4i xi2 x+i=4i 12 0=-2.
【答案】-2
14.(2017山东省德州市模拟)使复数z=a2-a-6+a2+2a-15a2-4i为纯虚数的实数a是否存在?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】假设z为纯虚数,
则有a2-a-6=0, ①a2+2a-15a2-4≠0, ②
由①得a=-2或a=3.
当a=-2时,②式左端无意义.
当a=3时,②式不成立.
故不存在实数a,使z为纯虚数.
15.(2017北京市模拟)复数z=(1+i)3(a+bi)1-i(a,b∈R),且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数o,z,z对应的点是正三角形的三个顶点,复数o对应坐标原点O,求实数a,b的值.
【解析】z=(1+i)42(a+bi)=-2a-2bi.
由|z|=4,得a2+b2=4. ①
∵复数o,z,z对应的点构成正三角形,
∴|z-z|=|z|.
把z=-2a-2bi代入上式并化简,得a2=3b2. ②
又∵z对应的点在第一象限,∴a<0,b<0.
由①②得a=-3,b=-1.
16.(2017江西省九江市模拟)设复数z满足4z+2z=33+i,ω=sin θ-icos θ,求复数z和|z-ω|的取值范围.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
代入4z+2z=33+i,
得4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,
即6a+2bi=33+i.
∴a=32,b=12.
∴z=32+12i.
|z-ω|=32+12i-(sinθ-icosθ)
= 32-sinθ2+12+cosθ2
= 2-2sinθ-π6.
∵-1≤sinθ-π6≤1,
∴0≤2-2sinθ-π6≤4.
∴0≤|z-ω|≤2.
故复数z=32+12i,|z-w|的取值范围为[0,2].
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