2021年高考艺术生数学基础复习 考点31 指数函数（教师版含解析）

考点31  指数函数

一．指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

二．．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质

考向一   指数函数辨析

【例1】(2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学)函数是指数函数，则a的取值范围是(    )

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】函数是指数函数，且，，

由解得或，，故选．

【举一反三】

1．(2021·定远县育才学校)函数是指数函数，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为是指数函数,所以,解得: 或

即a的取值范围是.故答案为:

2．(2020·上海市松江二中)已知指数函数是严格增函数，则实数a的取值范围是____.

【答案】

【解析】因为指数函数是严格增函数，所以，解得：，故答案为：.

3．(2020·全国高三专题练习)若函数是指数函数，则实数的值为_________．

【答案】2

【解析】因为函数是指数函数,所以且,

解得.故答案为2

考向二 指数函数定义域值域

【例2】(2020·全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)定义域，值域为且；

（2）定义域，值域；

(3)定义域，值域

【解析】(1)要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.

(2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.

(3)函数的定义域为.因为，所以.

又，所以函数的值域为.

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习)函数的定义域为___，值域为____.

【答案】       

【解析】∵，

∴x2﹣1≠0，即x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}．

∴x2﹣1

∴

∴函数的值域为故答案为

2．(2020·上海课时练习)函数的定义域为__________，值域为_________.

【答案】       

【解析】令，即，则，解得且.

即函数的定义域为；

当时，，所以，则；

当时，，且当时，，则且，

所以，即；

当时，    ，则，所以；

综上所述，值域为.

故答案为: ;.

3．(2020·全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：

(1)；

(2).

【答案】(1)或；(2)

【解析】(1)或.

∴定义域为.

由于，即，∴值域为.

(2)，∴定义域为.

由于，且，

即且，∴值域为.

考向三 指数式比较大小

【例3】(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，

，

，

因为在单调递增，所以，即，

因为在上单调递增，，所以，即，

所以，即

故选：D.

【举一反三】

1．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考)设，，，则，，的大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，，，则，又，所以，故选：D.

2．(2021·四川高三月考(文))设.则的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由指数函数的单调性知：，，

由幂函数的单调性知：，，

又，∴综上有：.故选：A

3．(2019·江西九江市)设，，，则大小关系是(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由幂函数和指数函数知识可得，，即，.

下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，

在上单调递增，在上单调递减，

，即，即，

，即，即，故选C.

考向四 指数函数过定点

【例4】(2020·浙江)函数恒过定点_______．

【答案】.

【解析】因为函数过定点，而函数是将函数的图像向左平移个单位，向上平移个单位得到，所以函数恒过定点.故答案为：.

【举一反三】

1．(2021·上海市大同中学)已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.

【答案】

【解析】过定点(0,1)，而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数的图像恒过定点即A故答案为：

2．(2021·上海市建平中学)对于任意实数，函数(且)的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．

【答案】

【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数(且)恒过定点，

所以函数(且)的图像经过定点.

故答案为：

3．(2020·江苏课时练习)已知函数(且)恒过定点，则______．

【答案】

【解析】∵函数(且)恒过定点，∴，，

则，故答案为：．

一、单选题

1．(2021·全国高一课时练习)若指数函数是R上的减函数，则a的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由指数函数的单调性可知，所以.故选C.

2．(2010·吉林长春市)如果指数函数是增函数，则的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于指数函数是增函数，所以，解得，故选A.

3．(2021·四川雅安市)函数的定义域为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，解得．故选：A．

4．(2020·全国课时练习)函数的定义域是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】要使函数有意义，则需，即为，解得，，则定义域为.故选：A.

5．(2021·河北石家庄市·石家庄一中)若，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，

，，

，

所以.故选：D

6．(2021·浙江丽水市)已知，，，则(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，又函数单调递增，故，即，故选：D.

7．(2021·云南高三期末)若，，，则、、的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，即，又，因此，.

故选：D.

8．(2021·浙江)已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于函数，令，得，所以图象恒过定点，故选：D.

9．(2021·长沙市·湖南师大附中)函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为(    )

A．-8 B．-9 C． D．

【答案】A

【解析】∵，令，得，

∴，

∴的图象恒过点，

设，把代入得，

∴，∴，∴.

故选：A

10．(2020·怀仁市第一中学校云东校区)函数(且)的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为(    )

A．4 B．8 C．9 D．16

【答案】C

【解析】∵，令得，

∴，

∴的图象恒过点，

设，把代入得，

∴，∴，∴.

故选：C.

11．(2020·毕节市实验高级中学)函数的图象一定经过点(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由解析式可得当时，，故函数过定点.故选：C.

12．(2020·浙江高一期末)已知是指数函数，则实数m的值是___________．

【答案】3

【解析】是指数函数，，解得或，

不满足题意故舍去，.故答案为：3

13．(2020·全国单元测试)指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．

【答案】(2，+∞)

【解析】∵指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上是增函数，

∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是(2，+∞)故答案为(2，+∞)．

14．(2020·全国高三专题练习)函数的定义域为__________.

【答案】

【解析】函数的自变量满足：，

解得即 .故答案为：

15．(2021·湖南长沙市)函数的值域为_________．

【答案】

【解析】设，则，

因为，在定义域内为减函数，

所以，即，

所以函数的值域为，

故答案为：

16．(2021·曲靖市沾益区第四中学)函数(，且)恒过一个定点，则该点的坐标为_________.

【答案】

【解析】令得，.

所以，所以函数恒过定点

故答案：

17．(2021·山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为____________.

【答案】

【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．

18．(2020·浙江高一期末)函数的定义域为__________，值域为_________．

【答案】    且   

【解析】由题意可得，解得：，

所以函数的定义域为：，

令，则，且，即，

故函数的值域为且，

故答案为：；且

19．(2020·浙江杭州市·学军中学高一期中)函数的定义域是__________________；值域是_________________.

【答案】；    ；   

【解析】由题意知：指数中有，

∴，

令，则有，

故答案为：，；

20．(2021·长春市第八中学)若函数，(，且)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________，若点P在角的终边上，则________.

【答案】       

【解析】对于函数(，且)，

令，求得，，

可得它的的图象恒过定点，

点在角的终边上，

，

，

故答案为：，．