2021年高考艺术生数学基础复习 考点40 导数与不等式、零点（学生版）

考点40  导数与不等式、零点

一.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．

(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

二．证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．

三．证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)对x1<x2恒成立，即等价于函数h(x)＝f(x)＋g(x)为增函数．

四．可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．

五．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．

考向一  导数与零点

【例1】(2021·安徽安庆市)函数.

(1)讨论函数的极值；

(2)当时，求函数的零点个数.

【举一反三】

1．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中)已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)令，当时，证明∶函数有2个零点.

2．(2021·安徽高三一模(文))已知函数f(x)=ax-ax(a>0且a≠1).

(1)当a=e时，求函数f(x)的最值；

(2)设g(x)是f(x)的导函数，讨论函数g(x)在区间(0，1)零点的个数.

3．(2021·山东潍坊市·高三一模)已知函数．

(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；

(2)当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

考向二 导数与不等式

【例2】(2020·江苏苏州市)已知函数.

(1)若在时取得极值，求实数m的值；

(2)求的单调区间；

(3)证明：.

【举一反三】

1．(2021·贵州高三开学考试)已知函数.

(1)求函数在内的单调递增区间；

(2)当时，求证：.

2．(2021·安徽高三一模(理))已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2.

(1)当a=-2时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x∈[0，π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围.

1．(2021·山东菏泽市·高三一模)已知函数.

(1)若有唯一零点，求的取值范围;

(2)若恒成立，求的取值范围.

2．(2021·浙江高三月考)已知函数.

(1)若恒成立，求实数的值；

(2)若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围.

3．(2021·湖北荆门市·高三月考)已知函数有两个不同的零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)记的极值点为，求证：.

4．(2021·辽宁高三其他模拟(文))已知函数．

(Ⅰ)设函数，当时，证明：当时，；

(Ⅱ)若有两个不同的零点，求的取值范围.

5．(2021·山西晋中市·高三二模(文))已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)对，都有成立，求实数a的取值范围．

6．(2021·湖南永州市·高三二模)已知函数，.

(1)讨论在上的单调性；

(2)当时，讨论在上的零点个数.

7．(2021·全国高三开学考试(文))已知函数.

(1)证明：当时，函数有唯一的极大值；

(2)当恒成立，求实数的取值范围.

8．(2021·全国高三开学考试(文))已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)对任意，求证：.

9．(2021·湖北武汉市·高三月考)已知函数.

(Ⅰ)当时，求的最小值；

(Ⅱ)证明：当时，恒成立.

10．(2021·全国高三其他模拟)已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

11(2021·江西上饶市·高三一模(理))已知.

(1)若，讨论的单调性；

(2)，，求实数的最小值.

12．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))已知函数，其中.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数存在两个极值点，，且，证明：.

13．(2021·江苏连云港市·高三开学考试)已知函数，，.

(1)若，证明：当时，；

(2)讨论在上零点的个数.

14．(2021·贵州高三开学考试(理))已知函数

(1)求函数在内的单调递增区间；

(2)若对恒成立，求实数的取值范围.