还剩37页未读，
继续阅读
所属成套资源：小升初数学攻克难点真题解析（共14份）
成套系列资料，整套一键下载
小升初数学攻克难点真题解析-特殊专题全国通用
展开
这是一份小升初数学攻克难点真题解析-特殊专题全国通用，共40页。试卷主要包含了最大与最小，图形划分，排列组合，筛选与枚举，逻辑推理，时间与钟面，智力问题，最佳方法问题等内容，欢迎下载使用。
特殊专题
难点一、最大与最小
1．（长沙县）一张圆桌有15个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个位置，都将与已经就坐的人为邻，则n的最小值是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6
2．（长沙）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（ ）人已经就座．
A． 26 B． 30 C． 40 D． 46
3．（长沙）猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去．猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步．问猎犬至少跑（ ）米才能追上兔子．
A． 40 B． 50 C． 60 D． 70
4．（广州）四年级（1）班有46人喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（ ）人．
A． 11 B． 12 C． 13 D． 14
E． 15
5．（广州）有一根长为21厘米的铁丝，想办法把它截成n小段（每段的长度均为不小于1的整厘米数），使得其中任意的三段都无法拼成三角形，那么截成的段数n其最大值是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 6
E． 4
6．（2015•长沙）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的多一些，比少一些．按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 次，最多共要运 次．
7．（长沙县）把17分成若干个自然数的和，其乘积最大的是 ．
8．（长沙）将1～9这9个数字填入下面的方格，得乘积P，使乘积最小，该怎么填？
P=□□□×□□□×□□□
9．（慈溪市）4只同样的瓶子分别装有一定数量的油，每瓶和其它各瓶分别合称一次，所得重量的千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知这四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数．那么最重的两瓶内共有油多少千克？
难点二、图形划分
10．（长沙）用一张长是7分米，宽3分米的长方形剪出一个最大的圆，像这样的圆最多可以剪（ ）个．
A． 2 B． 1 C． 无数个
11．（长沙）一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一个平面为四部分，那么六条直线最多分一个平面 部分．
12．（吴中区）如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）．
13．（安图县）用四种不同的方法把平行四边形平均分成面积相等的四等份．
14．（渠县）如图：一长方形菜地中有一圆形水池，请你画一条直线将菜地分成大小相同的两块．（保留作图痕迹）
难点三、排列组合
15．（岳麓区）六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲三个景点游玩，每个学生可选择其中的一个或两个景点，则至少有（ ）位学生游玩的地点是相同的．
A． 7 B． 8 C． 15 D． 16
16．（长沙）一片钥匙只能开一把锁，现有8片钥匙和8把锁，最多要试验（ ）次能使全部的锁匹配．
A． 36 B． 18 C． 28 D． 7
17．（天柱县）某县教育局教育股的电话号码是75234□□，还记得最大的数字是7，且每一个数字互不重复．如果拨通该电话，此人最多需试打（ ）次．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
18．（湖北）如下图所示，有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的l张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有 数字4的3张．把这9张圆形纸片如右图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有（ ）种不同的放法．
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
19．（成都）一把钥匙只能开一把锁，现有5把钥匙5把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，若使全部的钥匙和锁相匹配，试开的次数最多是（ ）
A． 9次 B． 10次 C． 12次 D． 15次
20．（随州）12个点，一共可以连成（ ）条线段．
A． 12 B． 32 C． 66
21．（毕节地区）体育课上，第一排站10名同学，老师想从中找出相邻的2名同学领操，共有（ ）种不同的找法．
A． 5 B． 9 C． 10
22．（长沙县）一把钥匙只能开一把锁，现有7把钥匙和7把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．最多要试 次才能配好全部的钥匙和锁．
23．（天河区）①东东、明明、亮亮三人去看电影，座位号分别是7号、8号、9号，东东不愿意坐在8号位，一共有 种不同的坐法．
②已知△+○=43，○+□=92，△+□=65，则○= ．
24．（成都）一条小街上顺次安装10盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除首末两灯以外的8盏灯中的4盏灯，但被关的灯不能相邻，共有 种不同的关法．
25．（长沙）有13个队参加篮球赛，比赛分为两个组，第一组7个队，第二组6个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4队分成两组进行淘汰赛，最后两队决出冠亚军．问共需比赛多少场？
26．（东莞）有三种不同长度的小木棒，如图所示（若干根），能搭出几种不同的长方体或正方体？
难点四、筛选与枚举
27．（广州）袋中有 3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，那么他拿出求的颜色搭配情况一共有（ ）种可能．
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
E． 20
28．（绍兴县）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有以下四个刻度，（如图，单位：厘米）．
那么，用这把直尺能直接量出（ ）个不同的长度．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
29．（邵阳）张叔叔有10元和5元的人民币若干张，他要从中拿出50元钱，有 种不同的拿法．
30．（济南）钱袋中有1分、2分和5分三种硬币，甲从袋中取出三枚，乙从袋中取出两枚，取出的五枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的三枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是 分．
难点五、逻辑推理
31．（湖北）A，B，C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测．甲说：“A肯定是第一名．”乙说：“A不是最后一名．”丙说：“A肯定不是第一名．”其中只有一人对比赛结果的预测是对的．预测对的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 不能确定
32．（广州）甲、乙、丙对四年级四个班的竞赛成绩作猜测如下表：
第一 第二 第三 第四
甲认为 1班 3班 2班 4班
乙认为 1班 4班 2班 3班
丙认为 3班 4班 1班 2班
竞赛的结果证明三个人对各班的名次全部猜错了，那么3班获得的名次应该（ ）名．
A． 第一 B． 第二 C． 第三 D． 第四
E． 无法判断
33．（长沙县）某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每个考生给10分底分，那么这次竞赛成绩最多有 种不同的分数．
34．（二七区）如图是一个箭靶，二人比赛射箭．甲射了5箭，一箭落入A圈，三箭落入B圈，一箭落入C圈，共得30环；乙也射了5箭，两箭落入A圈，一箭落入B圈，两箭落入C圈，也得30环．则B圈是 环．
35．（长沙）徐老师，周老师和黄老师三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语，已知：
（1）徐老师比英语的老师年龄大；
（2）周老师和英语老师是邻居；
（3）教数学的老师经常和周老师一起打球．问三位老师各教什么课？
36．（岳麓区）甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师．已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民．
三人各在什么地方工作？各是什么职业？
难点六、时间与钟面
37．（恩施州）小明家的钟每时慢2分，早晨7时按标准时间把钟拨准了，到这个钟指向中午12时时，标准时间是（ ）
A． 12时10分 B． 不到12时10分 C． 超过12时10分 D． 无法确定
38．（长沙）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知0：00时坏表的时间是准确的，那么当坏表是3：00时，实际是（ ）
A． 2：00 B． 2：18 C． 2：24 D． 2：30
39．（长沙）某种表，在7月29日零点比标准时间慢4分半，它一直走到8月5日上午7时，比标准时间快3分，那么这只表时间正确的时刻是 月 日 时．
40．（长沙）现在是10时整，再过 分钟，时针与分针第一次垂直．
41．（长沙）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？
42．（广州）小方每天6点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直角时，小方才回家．问小方几点回到家的？
难点七、智力问题
43．（黔西县）如果每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，那么12人一起从甲地骑车到乙地要（ ）天．
A． 3 B． 1.5 C． 6 D． 12
难点八、最佳方法问题
44．（长沙）某商店规定，3个空汽水瓶换一瓶汽水，某人在这个商店至少需购买 瓶汽水就可以喝到21瓶汽水．
45．（长沙）37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船（无船工），他们要全部渡过河，至少要使用这只小船渡河 次．
46．（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由．
47．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
48．（广州）如图A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走子，每次必须向上或向右走1步或2步，（走两步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜，甲怎样走才能必胜？
难点九、数字分组
49．（长沙）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是 ．
50．（青羊区校级自主招生）把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为 ．
难点十、重叠问题
51．（宝鸡校级自主招生）某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了 角 分．
52．（汉阳区）如图，将两个正三角形重叠作出一个星形，在重叠的图形中再作出一个小星形，即阴影部分，已知大星形的面积是40cm2，那么小星形的面积是 ．
难点十一、钱币问题
53．（驻马店）175元人民币至少由 张纸币组成．
54．（重庆）现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有 元．
55．（浙江）某市出租车的收费标准如下：
里 程 收 费
3千米及3千米以下 8.00元
3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元
3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元
（1）李丽乘出租车从家到外婆家，共付费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？
（2）王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校，他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？
56．（万安县）甲、乙、丙三个商场销售同一种饮料，饮料分为大瓶、小瓶两种规格，按统一定价：大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，它们分别推出三种优惠措施，甲商场：买大瓶送小瓶；乙商场：一律打九折；丙商场：满30元打八折．下面是A，B，C，D四位顾客的购买情况，请你建议此顾客去哪家商店购买花钱最少，填在下表中
顾客 A B C D
购买情况 10小 5大 4大4小 1大2小
选择商场
难点十二、简单规划问题
57．（岳麓区）加工某种零件，需要三道工序．第一道工序的工人，每人每天可以完成48个；第二道工序的工人，每人每天可以完成32个；第三道工序的工人，每人每天可以完成28个．问三道工序至少各有多少工人搭配才算合理？
58．（龙泉驿区）请根据图意说明：如果儿童节要买回一批奖品，你认为应该注意哪些方面？
难点十三、火柴棒问题
59．（武汉）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，使等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
② ．
难点十四、哈密尔顿圈与哈密尔顿链
60．（慈溪市）圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有多少枚棋子．
参考答案与试题解析
难点一、最大与最小
1．（长沙县）一张圆桌有15个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个位置，都将与已经就坐的人为邻，则n的最小值是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题干可得，要保证无论坐哪个座位，都将与已就座的人相邻，而且使就坐的人数最少，应该按如下排列，其规律是：三个座位为一个循环周期，即空座、有人座、空座；那么15个座位正好是15÷3=5个周期；每个周期都有1个有人座，由此即可求得在此人之前已就座的最少有多少人．
解答： 解：15÷3=5（个）
故选：B．
点评： 根据题干得出这排座位中，已有人的座位排列规律是解决此题的关键．
2．（长沙）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（ ）人已经就座．
A． 26 B． 30 C． 40 D． 46
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意可知，欲求在90个座位上至少坐了多少人，才能使后来的这个人无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．我们试想如果把这90个座位从1到90编号，则至少要在2，5，8，11，…，86，89这些座位上有人就坐．那么不难看出，这是一个求公差为3的等差数列项数的题目了．则原来至少有：（89﹣2）÷3+1=30（人）．
解答： 解：由题意可知，当这90个座位的第2，5，8，11，…，86，89上有人已经就座时，满足题意．则
原来就座的人数至少有：
（89﹣2）÷3+1
=87÷3+1
=29+1
=30（人）．
答：原来至少有30人已经就座．
故选：B．
点评： 这是一个难度较高求最小值的应用题．解题关键是根据题意分析并找出规律，灵活运用求等差数列的项的方法来求就座人数的最小值．
3．（长沙）猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去．猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步．问猎犬至少跑（ ）米才能追上兔子．
A． 40 B． 50 C． 60 D． 70
考点： 最大与最小；分数和百分数应用题（多重条件）．
专题： 分数百分数应用题．
分析： 由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米．由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3=a米．从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：a=6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6﹣5=1倍，正好是相差10米，从而求出1倍的，再乘以6就是 猎犬追上兔子的时间．
解答： ：猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米，
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3=a米，
从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：a=6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5，
10÷（6﹣5）×6，
=10×6，
=60（米）；
答：猎犬至少跑60米才能追上兔子．
故选：C．
点评： 此题是灵活考查速度的计算公式，是一道比较难的题目．解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比．
4．（广州）四年级（1）班有46人喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（ ）人．
A． 11 B． 12 C． 13 D． 14
E． 15
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意可知，不喜欢打乒乓球的有46﹣32=14人，不喜欢打羽毛球的有46﹣26=20人；则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有14+20=34人，从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有46﹣34=12人，由此选择即可．
解答： 解：不喜欢打乒乓球的有46﹣32=14（人），不喜欢打羽毛球的有46﹣26=20（人）；
则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有14+20=34（人），
从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的有46﹣34=12（人）．
故选：B．
点评： 解答此题的关键是，在理解题意的基础上，利用最值问题，找准对应的量，列式解答即可．
5．（广州）有一根长为21厘米的铁丝，想办法把它截成n小段（每段的长度均为不小于1的整厘米数），使得其中任意的三段都无法拼成三角形，那么截成的段数n其最大值是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 6
E． 4
考点： 最大与最小．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，然后依此类推，最后每段的总和要不大于21即可．
解答： 解：三角形两边之和大于第三边，设最小的是1，那1，1，2，3，5，6…以此类推，相加的和小于等于21．
而1+1+2+3+5+8=20＜21，
所以n的最大值是：6．
故选：D．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，做题时要注意符合题目条件，题目有一定的难度．
6．（2015•长沙）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的多一些，比少一些．按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 7 次，最多共要运 9 次．
考点： 最大与最小．
分析： 首先把和化为同分母分数，进一步比较它们的大小，剩下中间的分数，找出最大的就是每一次运最多的可能，最小的就是每一次运最少的可能，由此求得次数取整即可．
解答： 解：=，=；
因为运到的货物比这批货物的（）多一些，比（）少一些．
所以运到的货物可以是或；
因此运完这批货物的次数×5＜×5＜×5＜×5，
即＜＜＜；
因此最少次，最多次；
取整就是最少7次，最多9次．
故答案为：7，9．
点评： 解决此题的关键是用同分的方法逐步缩小范围，进一步利用次数这一特殊的数取整解决问题．
7．（长沙县）把17分成若干个自然数的和，其乘积最大的是 486 ．
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，例如6拆成3与3比拆成4与2的两数之积要大，因此大于4的数尽可能拆，并且拆成的数2的个数不要超过2个，若多于2个，比如4个2，2+2+2+2=8=3+3+2，显然有3×3×2＞2×2×2×2，所以尽可能多拆出3来，根据这些规律，即可得出答案．
解答： 解：将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个
根据以上规律，得出，17=3+3+3+3+3+2，
所以，这个乘积最大是：3×3×3×3×3×2=486；
答：其乘积最大的是486；
故答案为：486．
点评： 此题主要考查了拆数的规律，即拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个．
8．（长沙）将1～9这9个数字填入下面的方格，得乘积P，使乘积最小，该怎么填？
P=□□□×□□□×□□□
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 要使乘积最小，首先应该把较小的数填在三个因数的高位上，所以百位填1，2，3；十位填4，5，6，个位填7，8，9，由于无论各个数位上填相应三个数字中的哪一个，这三个因数的和都是相同的：例如，147×258×369与157×249×368这两组数的三个因数的和都是774，我们根据三个数的和相同，差越大乘积反而越小的性质可知，当三个因数的差最大时，它们的乘积最小，据此解答．
解答： 解：因为要使乘积最小，首先应该把较小的数填在三个因数的高位上，
所以百位填1，2，3；十位填4，5，6，个位填7，8，9，
由于无论各个数位上填相应三个数字中的哪一个，
这三个因数的和都是相同的所以147×256×369的乘积最小；
故答案为：147，256，369．
点评： 本题主要是利用三个数的和相同，差越大乘积反而越小进行解答．
9．（慈溪市）4只同样的瓶子分别装有一定数量的油，每瓶和其它各瓶分别合称一次，所得重量的千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知这四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数．那么最重的两瓶内共有油多少千克？
[来源:学科网]
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 每个瓶称三次，故四个瓶子与油的总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3=21（千克），
21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和一奇一偶，而2是偶质数，故空瓶重量和为2千克，油重量和为19千克．
每个空瓶0.5千克，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣0.5×2=12（千克）．
解答： 解：四个瓶子与油的总重量为：
（8+9+10+11+12+13）÷3，
=63÷3
=21（千克）；
符合条件的质数是2（4个瓶的重量）和19（4瓶油的重量）（注：19千克不可能是瓶重，否则2瓶就超过8千克了）．
故最重的两瓶油重：13﹣2÷4×2=13﹣1=12（千克）．
答：最重的两瓶内共有油12千克．
点评： 此题解答的思路是：先求出四个瓶子与油的总重量，再根据“四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数”，推出空瓶重量之和与油的重量之和，进一步求出最重的两瓶内共有油的重量．
难点二、图形划分
10．（长沙）用一张长是7分米，宽3分米的长方形剪出一个最大的圆，像这样的圆最多可以剪（ ）个．
A． 2 B． 1 C． 无数个
考点： 图形划分．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 用3分米作为圆的直径，看看最长边7分米里面有几个3分米，就能画出几个圆，据此解答．
解答： 解：因为7÷3=2…1，所以最多可以剪2个圆．
故选：A．
点评： 解答此类问题，注意用最短边作为圆的直径．
11．（长沙）一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一个平面为四部分，那么六条直线最多分一个平面 22 部分．
考点： 图形划分．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案．
解答： 解：由图可知，
（1）有一条直线时，最多分成2=+1部分；
（2）有两条直线时，最多分成2+2=4=+1部分；
（3）有三条直线时，最多分成1+1+2+3=7=+1部分；…
（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：
m=1+1+…+（n﹣1）+n=+1．
所以画6条直线最多可将平面分成+1=22．
故答案为：22．
点评： 本题考查直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识．
12．（吴中区）如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）．
考点： 图形划分．
专题： 作图题．
分析： 平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等．
解答： 解：如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点，
则不难得出：四边形ABFE和四边形FCDE面积相等．
点评： 此题主要考查中心对称图形的性质，利用割补的方法即可解决．
13．（安图县）用四种不同的方法把平行四边形平均分成面积相等的四等份．
考点： 图形划分．
专题： 作图题；压轴题．[来源:学科网]
分析： 方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分；
方法二：找出平行四边形的上下两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分；
方法三：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分；
方法四：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分；据此即可画图．
解答： 解：根据题干分析画图如下：
点评： 此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质．
14．（渠县）如图：一长方形菜地中有一圆形水池，请你画一条直线将菜地分成大小相同的两块．（保留作图痕迹）
考点： 图形划分．
专题： 压轴题；平面图形的认识与计算．
分析： 根据长方形的性质，过长方形中心的直线把长方形分成面积相等的两部分；根据圆的性质，过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分，所以过长方形的中心与圆心的直线就是所要求作的直线．
解答： 解：如图，找出长方形的中心P，圆心O，
则直线PO就是所要求作的直线．
点评： 本题考查了复杂作图，熟悉过长方形的中心的直线把长方形分成面积相等的两部分是解题的关键．
难点三、排列组合
15．（岳麓区）六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲三个景点游玩，每个学生可选择其中的一个或两个景点，则至少有（ ）位学生游玩的地点是相同的．
A． 7 B． 8 C． 15 D． 16
考点： 排列组合；抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3+3=6种选择，所以抽屉数是6，因此共有6个抽屉供45个学生来选，因为45÷6=7…3，所以
至少有7+1位学生游玩的地点是相同的．
解答： 解：选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3+3=6种选择，
45÷6=7…3
7+1=8（个）
答：至少有8位学生游玩的地点是相同的．
故选：B．
点评： 此题考查了排列组合知识和抽屉原理在实际问题中的灵活应用；关键是建立抽屉数．
16．（长沙）一片钥匙只能开一把锁，现有8片钥匙和8把锁，最多要试验（ ）次能使全部的锁匹配．
A． 36 B． 18 C． 28 D． 7
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把8把锁看成8类，分类完成，第一把锁最多试验7次，最后的一把钥匙不用再试验了，前7个都不是，它一定可以开这把锁了；以此类推，第二把锁试验6次；第三把锁试验5次；第四把锁试验4次；第五把锁试验3次，第六把锁试验2次，第七把锁试验1次，最后的一把锁和一把钥匙，就不用试验了；用加法原理，即可得解．
解答： 解：7+6+5+4+3+2+1=28（次），
答：最多试验28次才能配好全部的钥匙和锁；
故选：C．
点评： 此题考查了排列组合问题，最后的一把锁和一把钥匙不用再试验，是解决此题易错的地方．
17．（天柱县）某县教育局教育股的电话号码是75234□□，还记得最大的数字是7，且每一个数字互不重复．如果拨通该电话，此人最多需试打（ ）次．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 排列组合．
专题： 压轴题；整数的认识．
分析： 根据“最大的数字是7，且每一个数字互不重复．”可知：□里的数只能填0、1、6，那么由这三个数组成的数的填法有6种，据此解答．
解答： 解：根据已知条件可知：□里的数只能填0、1、6，两个□可填：01，06，10，60，16，61，共有6种选择；
答：此人最多需试打6次．
故选：C．
点评： 本题的突破口在于根据已知条件找到符合要求的三个数，然后通过枚举即可得出答案，注意要按顺序列举，防止遗漏．
18．（湖北）如下图所示，有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的l张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有 数字4的3张．把这9张圆形纸片如右图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有（ ）种不同的放法．
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 首先考虑特殊的数字2的位置，（1）当2在左下角时，1如果放置在右下角；（2）如果1不放置在右下角的位置；分两类讨论即可，然后2在右下角与前相同．
解答： 解：首先考虑特殊的数字2的位置，当2在左下角时，1如果放置在右下角，4和3有两种位置．
如果1不放置在右下角的位置，只能紧挨着右下角的两个位置，每种情况都有2种，所以有4种位置，
根据对称性，2在右下角的情况与前相同，
最后共：（4+2）×2=12（种）；
答：一共有12种不同的放法．
故选：D．
点评： 本题先从特例入手，然后分两种情况讨论就容易解决问题．
19．（成都）一把钥匙只能开一把锁，现有5把钥匙5把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，若使全部的钥匙和锁相匹配，试开的次数最多是（ ）
A． 9次 B． 10次 C． 12次 D． 15次
考点： 排列组合．
分析： 次数最多，则假设每次试开锁都到最后一把锁才能相配，第一把锁最多试4次，第2把锁最多试3次，第3把锁最多试2次，第4把锁最多试1次，剩下最后1把不需要试，把所有次数都加起来即可．
解答： 解：4+3+2+1=10（次）．
答：试开的次数最多是10次．
故选B．
点评： 解决此题的关键在于要考虑最坏情况，每次试开锁都到最后一把锁才能相配，用运用类推的方法解答问题．
20．（随州）12个点，一共可以连成（ ）条线段．
A． 12 B． 32 C． 66
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 3个点连成线段的条数：1+2=3（条），
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条），
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条），
…；
由此得出规律：总线段数就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数之和．因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，一次加到几减1，所得的和就是总线段数．
据此规律解答即可．
解答： 解：1+2+3+…+11=66（条）；
答：12个点，一共可以连成66条线段．
故选：C．
点评： 此题属于探索规律的题目，先在草纸上找几个点进行连线，然后得出规律，然后根据规律进行解答．
21．（毕节地区）体育课上，第一排站10名同学，老师想从中找出相邻的2名同学领操，共有（ ）种不同的找法．
A． 5 B． 9 C． 10
考点： 排列组合．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 把要找出的相邻的2名同学看做一个整体，和余下的8名同学组成9个个体，从中选出一个个体，只有9种选法，即可得解．
解答： 解：把相邻的两名同学看做一个整体，9个中选1个，有9种选法；
故选：B．
点评： 把相邻的两名同学看做一个整体是解决此题的关键．
22．（长沙县）一把钥匙只能开一把锁，现有7把钥匙和7把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．最多要试 21 次才能配好全部的钥匙和锁．
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把7把锁看成7类，分类完成，第一把锁最多试验6次，最后的一把钥匙不用再试验了，前6个都不是，它一定可以开这把锁了；以此类推，第二把锁试验5次；第三把锁试验4次；第四把锁试验3次；第五把锁试验2次，第六把锁试验1次，最后的一把锁和一把钥匙，就不用试验了；用加法原理，即可得解．
解答： 解：6+5+4+3+2+1=21（次），
答：最多试验21次才能配好全部的钥匙和锁；
故答案为：21．
点评： 此题考查了排列组合问题，最后的一把锁和一把钥匙不用再试验，是解决此题易错的地方．
23．（天河区）①东东、明明、亮亮三人去看电影，座位号分别是7号、8号、9号，东东不愿意坐在8号位，一共有 4 种不同的坐法．
②已知△+○=43，○+□=92，△+□=65，则○= 35 ．
考点： 排列组合；简单的等量代换问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： ①由于东东不愿意坐在8号位，那么8号就有2种选择，7号有2种选择，9号就有1种选择，根据乘法原理，一共有2×2×1=4种不同的坐法；
②根据“△+○=43，○+□=92”可得：△+2○+□=43+92，然后把△+□=65代入这个式子可得：2○+65=43+92，则○=35．
解答： 解：①2×2×1=4（种），
答：一共有4种不同的坐法．
②因为△+○=43，○+□=92，
所以：△+2○+□=43+92，
把△+□=65代入上式，
可得：2○+65=43+92，
2○=70，
则，○=35．
故答案为：4，35．
点评： ①本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法；注意要先排列特殊的情况即8号．
②本题利用等量替换法把未知数△和ϖ消元是解答的关键．
24．（成都）一条小街上顺次安装10盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除首末两灯以外的8盏灯中的4盏灯，但被关的灯不能相邻，共有 5 种不同的关法．
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题意，先将亮的6盏灯排成一排，可得有5个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的4盏灯插入5个空位，用组合公式分析可得答案．
解答： 解：本题使用插空法，先将亮的6盏灯排成一排，
由题意，两端的灯不能熄灭，则有5个符合条件的空位，
进而在5个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，
有==5种方法，
答：共有5不同的关法．
故答案为：5．
点评： 本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
25．（长沙）有13个队参加篮球赛，比赛分为两个组，第一组7个队，第二组6个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4队分成两组进行淘汰赛，最后两队决出冠亚军．问共需比赛多少场？
考点： 排列组合．
专题： 可能性．
分析： 单循环赛阶段，每两队之间有一场比赛，因此，第一组的7个队进行单循环赛所需比赛场数为==21（场），第二组的6个队进行单循环赛所需比赛场数为==15（场），淘汰赛阶段，4只队伍决出冠亚军所需比赛场数为3场，所以共需：21+15+3=39场．
解答： 解：==21（场），
==15（场），
21+15+3=39（场）
答：共需比赛39场．
点评： 本题考查了排列组合知识，关键是利用分步计数和加法原理计算．
26．（东莞）有三种不同长度的小木棒，如图所示（若干根），能搭出几种不同的长方体或正方体？
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据长方体、正方体的特征来作答．由正方体的棱长相等，根据棱长不同来进行分类．长方体根据相交于一个顶点的三条棱的不同而不同来分类作答．
解答： 解：（1）①搭成棱长是12厘米的正方体；
②搭成棱长是8厘米的正方体；
③搭成棱长是4厘米的正方体；
可搭成3种不同的正方体．
（2）由长方体相交于一个顶点的三条棱的变化，可分别搭成：
①12厘米，12厘米，8厘米的长方体；
②12厘米，12厘米，4厘米的长方体；
③12厘米，8厘米，8厘米的长方体；
④12厘米，8厘米，4厘米的长方体；
⑤8厘米，8厘米，4厘米的长方体；
⑥12厘米，4厘米，4厘米的长方体；
⑦8厘米，4厘米，4厘米的长方体
可搭成7种不同的长方体．
故可以搭成10种不同的正方体或长方体．
答：可以搭成10种不同的长方体或正方体．
点评： 此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征．
难点四、筛选与枚举
27．（广州）袋中有 3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，那么他拿出求的颜色搭配情况一共有（ ）种可能．
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
E． 20
考点： 筛选与枚举．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 解答此题可以从以下一个方面进行讨论分析：（1）6 个球中有3 个红球：0 黄3 白、1 黄2 白、2 黄1 白、3 黄0 白，共4 种；（2）6个球中有2个红球：0黄4白、1 黄3 白、2 黄2 白、3 黄1 白、4 黄0 白，共5种；（3）6个球中有1 个红球：0 黄5 白、1 黄4 白、2 黄3 白、3 黄2 白、4 黄1 白，共5 种；（4）6个球中有0 个红球：1 黄5 白、2 黄4 白、3 黄3 白、4 黄2 白，共4 种．据此把这几种情况加起来即可解答问题．
解答： 解：（1）6 个球中有3 个红球：0 黄3 白、1 黄2 白、2 黄1 白、3 黄0 白，共4 种；
（2）6个球中有2个红球：0黄4白、1 黄3 白、2 黄2 白、3 黄1 白、4 黄0 白，共5种；
（3）6个球中有1 个红球：0 黄5 白、1 黄4 白、2 黄3 白、3 黄2 白、4 黄1 白，共5 种；
（4）6个球中有0 个红球：1 黄5 白、2 黄4 白、3 黄3 白、4 黄2 白，共4 种．
所以一共有：4+5+5+4=18（种）．
故选：C．
点评： 本题考查利用枚举法解决实际问题的灵活应用．
28．（绍兴县）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有以下四个刻度，（如图，单位：厘米）．
那么，用这把直尺能直接量出（ ）个不同的长度．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 筛选与枚举．
专题： 压轴题．
分析： 只要进行列举即可得出结论：能量1厘米，4厘米，10厘米，（4﹣1）厘米，（10﹣4）厘米，（10﹣1）厘米；
解答： 解：1厘米，4厘米，10厘米，3厘米，6厘米，9厘米；
共6个；
故选：D．
点评： 此题较简单，只要进行列举，然后根据列举的数字进行计算，即可得出答案．类比于数线段解决问题也可．
29．（邵阳）张叔叔有10元和5元的人民币若干张，他要从中拿出50元钱，有 6 种不同的拿法．
考点： 筛选与枚举．
专题： 可能性．
分析： 利用列举的方法，组合成50元，从都是5元的开始找，逐渐增加10元的张数，直到都是10元．
解答： 解：（1）5元的10张，5×10=50（元）
（2）5元的8张，10元1张，5×8+10=50（元）
（3）5元6张，10元2张，5×6+10×2=50（元）
（4）5元4张，10元3张，5×4+10×3=50（元）
（5）5元2张，10元4张，5×2+10×4=50（元）
（6）10元5张，10×5=50（元）
答：有6种不同的拿法．
故答案为：6．
点评： 此题也可以设5元的有x张，10元的有y张，列出方程5x+10y=50，据此求出x、y的正整数解的数量即可解答问题．
30．（济南）钱袋中有1分、2分和5分三种硬币，甲从袋中取出三枚，乙从袋中取出两枚，取出的五枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的三枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是 17 分．
考点： 筛选与枚举．
分析： 甲取出的三枚硬币面值的和比乙取出的两枚硬币面值的和少3分，也就是说乙取出的两枚硬币面值的和比甲取出的三枚硬币面值的和多3分，乙取出的两枚硬币面值5，5就是最大了，那么乙也只有 5，1，1 符合；进而得出答案．
解答： 解：乙取2枚（5分），甲取1枚（5分）、2枚（1分）；
5×2+5+1×2=17（分）；
答：取出的钱数的总和最多是17分；
故答案为：17．
点评： 此题应结合题意，进行分析，先得出乙取出的两枚硬币的面值，然后根据题中给出的条件，得出甲取出的三枚硬币的面值，进而计算得出结论．
难点五、逻辑推理
31．（湖北）A，B，C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测．甲说：“A肯定是第一名．”乙说：“A不是最后一名．”丙说：“A肯定不是第一名．”其中只有一人对比赛结果的预测是对的．预测对的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 不能确定
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 由题意知，甲、丙的预测截然相反，必一对一错．因为只有一人对，不论甲、丙谁对，乙必错，所以A是最后一名，再经推论得丙对．
解答： 解：根据题意，甲、丙的预测截然相反，必一对一错．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
因为只有一人对，不论甲、丙谁对，乙必错，所以A是最后一名，
假设甲的预测对，则A是第一名．
那么，乙说：“A不是最后一名．”也对，这与题目中“其中只有一人对比赛结果的预测是对的”相矛盾．
即假设不成立．
所以甲预测错误．则丙预测就是对的．
故选：C．
点评： 本题是一个逻辑推理的经典实例，推理方法是抓住一对截然相反的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一个必错或必对的说法，作为突破点，结论的推导就水到渠成了．
32．（广州）甲、乙、丙对四年级四个班的竞赛成绩作猜测如下表：
第一 第二 第三 第四
甲认为 1班 3班 2班 4班
乙认为 1班 4班 2班 3班
丙认为 3班 4班 1班 2班
竞赛的结果证明三个人对各班的名次全部猜错了，那么3班获得的名次应该（ ）名．
A． 第一 B． 第二 C． 第三 D． 第四
E． 无法判断
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 由于丙认为3班是第一，甲认为三班是第二，乙认为三班是第四，由于三个人对各班的名次全部猜错了，即三班一定不是第一名，第二名，第四名，则3班是第三名．
解答： 解：由于丙认为3班是第一，甲认为三班是第二，乙认为三班是第四全是错的，
则3班一定是第三名．
故选：C．
点评： 完成本题要注意抓住“三个人对各班的名次全部猜错”这一条件，由于只求3班，所以对于其它三个班不要去推理．
33．（长沙县）某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每个考生给10分底分，那么这次竞赛成绩最多有 81 种不同的分数．
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 对于此题首先要明确范围，由于分数最低是0分，因此该学生得到的分数最低是0分，最多是s分，而有一些分数是取不到的，解答此题的关键是判断出取不到的分数，对1题，错1题能得4分，对1题，错2题能得3分，对1题，错3题能得2分，对1题，错4题能得1分，由于低分均能取到，所以考虑高分的情况从11+5=16，对11题以及以下部分均能取到，扣除低分先不计算；
如果已经对12题，而61需要再有5题才可取到，则取不到（62再需要4题，对1道，3道即可取到）；
如果已经对13题，而66、67分别需要5题、4题才能可取到，则取不到；
如果已经对14题，而71、72、73分别需要5题、4题、3题才能取到，则取不到；
如果已经对15题，而76、77、78、79分别需要5题、4题、3题、2题才能取到，则取不到；
得到的分数最低是0分，最高是10+16×5=90（分），而根据题意，71、76、77、81、82、83、86、87、88、89无法取到，所以一共有90+1﹣10=81（种）不同的情况．
解答： 解：对1题，错1题能得4分，对1题，错2题能得3分，对1题，错3题能得2分，对1题，错4题能得1分，[来源:Z.xx.k.Com]
由于低分均能取到，所以考虑高分的情况从11+5=16，对11题以及以下部分均能取到，扣除低分先不计算；
如果已经对12题，而61需要再有5题才可取到，则取不到（62再需要4题，对1道，3道即可取到）；
如果已经对13题，而66、67分别需要5题、4题才能可取到，则取不到；
如果已经对14题，而71、72、73分别需要5题、4题、3题才能取到，则取不到；
如果已经对15题，而76、77、78、79分别需要5题、4题、3题、2题才能取到，则取不到；
得到的分数最低是0分，最高是10+16×5=90（分），
因为71、76、77、81、82、83、86、87、88、89无法取到，
所以一共有90+1﹣10=81（种）不同的情况．
答：这次竞赛成绩最多有 81种不同的分数．
故答案为：81．
点评： 此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分类讨论思想的应用．
34．（二七区）如图是一个箭靶，二人比赛射箭．甲射了5箭，一箭落入A圈，三箭落入B圈，一箭落入C圈，共得30环；乙也射了5箭，两箭落入A圈，一箭落入B圈，两箭落入C圈，也得30环．则B圈是 6 环．
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： A、B、C圈分别表示A、B、C环，根据题干可得：，由此解这个方程组，求出B的值即可解答问题．
解答： 解：A、B、C圈分别表示A、B、C环，根据题干可得：，
②﹣①可得：A﹣2B+C=0，可得A+C=2B，③，
把③代入①可得：2B+3B=30，即5B=30，
则B=6．
答：B圈是6环．
故答案为：6．
点评： 此题考查了利用三元一次方程组解决实际问题的灵活应用．
35．（长沙）徐老师，周老师和黄老师三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语，已知：
（1）徐老师比英语的老师年龄大；
（2）周老师和英语老师是邻居；
（3）教数学的老师经常和周老师一起打球．问三位老师各教什么课？
考点： 逻辑推理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据（1）（2）可得，徐老师和周老师都不是英语老师，所以英语老师只能是黄老师；然后根据（3），可得周老师不是数学老师，因此周老师只能是语文老师，所以徐老师是数学老师，据此解答即可．
解答： 解：根据（1）（2）可得，徐老师和周老师都不是英语老师，
所以英语老师只能是黄老师；
又因为教数学的老师经常和周老师一起打球，
所以周老师不是数学老师，因此周老师只能是语文老师，
所以徐老师是数学老师．
答：英语老师是黄老师，语文老师是周老师，数学老师是徐老师．
点评： 此题主要考查了逻辑推理问题，解答此题的关键是判断出黄老师是英语老师．
36．（岳麓区）甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师．已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民．
三人各在什么地方工作？各是什么职业？
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 条件3和条件4的结果，就是南京工作的是农民、苏州工作的是工人、西安工作的是教师，结合条件2和条件5，得到结果：乙是教师在西安工作，结合条件1，得到结果：甲在苏州工作为工人、丙为农民在南京工作．
解答： 解：因为乙不在苏州工作，那么在苏州工作的是工人，所以乙不是工人；
又因为乙不是农民，所以乙是教师，因为甲不在南京工作，在南京工作的不是教师，所以乙不在南京工作，所以丙在南京工作；
又因为在苏州工作的是工人，所以丙不是工人，是农民，因为乙不在苏州工作，丙在南京工作，所以乙在西安工作；
又因为乙是教师，丙是农民，在南京工作，所以甲是工人，在苏州工作．
答：甲在苏州工作，是工人；乙在西安工作，是教师；丙在南京工作，是农民．
点评： 此题属于逻辑推理问题，在解答时，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断．
难点六、时间与钟面
37．（恩施州）小明家的钟每时慢2分，早晨7时按标准时间把钟拨准了，到这个钟指向中午12时时，标准时间是（ ）
A． 12时10分 B． 不到12时10分 C． 超过12时10分 D． 无法确定
考点： 时间与钟面．
专题： 传统应用题专题．
分析： 早晨7点按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午12点时，时钟共走了5个小时，因闹钟每小时慢2分钟，时钟走5个小时，5个小时就慢了2×5=10（分钟），这10分钟又慢了20秒，实际走的时间应是5个小时10分钟多，据此解答．
解答： 解：早晨7点按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午12点时，时钟共走了5个小时，因闹钟每小时慢2分钟，时钟走5个小时，5个小时就慢了2×5=10（分钟），这10分钟又慢了20秒，实际走的时间应是5个小时10分钟多，即超过12时10分；
故选：C．
点评： 本题的关键是时钟上走了5小时，实际走了5小时10分，每小时慢2分钟，这10分钟又慢了一些．
38．（长沙）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知0：00时坏表的时间是准确的，那么当坏表是3：00时，实际是（ ）
A． 2：00 B． 2：18 C． 2：24 D． 2：30
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 坏表与标准时间的比是（60+18）：60=13：10，从0：00到3：00坏表经过了3小时，可设标准时间经过了x小时，根据坏表与标准时间的比，可求出实际的时间，据此解答．
解答： 解：设标准时间经过了x小时
（60+18）：60=3：x
13：10=3：x
13x=30
x=2
2时≈2小时18分，所以这时的时刻是2：18．
答：实际时刻是2：18．
故选：B．
点评： 本题的重点是根据坏表与标准时间的比一定，列出方程再进行解答．
39．（长沙）某种表，在7月29日零点比标准时间慢4分半，它一直走到8月5日上午7时，比标准时间快3分，那么这只表时间正确的时刻是 8 月 2 日 9 时．
考点： 时间与钟面．
分析： 据题意可知，7月29日零点至8月5日上午7点共24×7+7=175小时，这段时间误差为4.5+3=7.5×60=450（秒），则每个小时快：450÷175=秒．因为在7月29日零点比标准时间慢4分半，则追上标准时间需要的时间为：4.5×60÷=105小时，一昼夜24小时，105=24×4+9，所以此时8月2日上午9时．
解答： 解：7月29日零点至8月5日上午7点表的误差为：
[（4.5+3）×60]÷（24×7+7）
=450÷175，
=（秒）；
追上标准时间需要的时间为：4.5×60÷=105；
105=24×4+9，
所以此时8月2日上午9时．
故填：8，2，9．
点评： 完成本题的关健是求出在175个小时内每小时的误差是多少．
40．（长沙）现在是10时整，再过 5 分钟，时针与分针第一次垂直．
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 先求出时针和分针每分钟各走多少格子，垂直时两个指针成直角90°；当10时，分针距离时针10个格子，只要分针超过时针5个格子，时针与分针第一次就可以垂直，把5个格子看成路程，时针和分针走的每分钟走的格子数看成速度，用要走的格子数除以它们的速度差即可．
解答： 解：5÷（1﹣）
=5
=5（分钟）
答：再过5分钟，时针与分针第一次垂直．
故答案为：5．
点评： 本题主要考查了学生根据追及问题的计算方法来解答钟面问题的能力．
41．（长沙）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： （1）当时针和分针重合时，分针和时针的位置与7点的距离相等，当时针指向9时，分针指向12，它们相差9×30=270度，根据时间=路程÷速度差，可求出这时的时刻；
（2）时针和分针位于数字“7”的两侧，9点整时，时针与数字7的夹角是6×10=60度，分针与数字7的夹角是6×35=210度，设经过x分钟，两针与7点的距离相等这时时针与数字7的夹角为60+0.5x度，分针与数字7的夹角为210﹣6x度，根据夹角相等可列出方程，求出时间，据此解答．
解答： 解：（1）9×30÷（6﹣0.5）
=9×30÷5.5
=49（分钟）
当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分．
（2）设经过x分钟，两针与7点的距离相等
60+0.5x=210﹣6x
6.5x=150
x=23
当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分．
答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等
点评： 本题的关键是两种情况来进行讨论然后再根据追及问题和列方程的方法进行解答．
42．（广州）小方每天6点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直角时，小方才回家．问小方几点回到家的？
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 分针60分钟走完360°，每分钟走6°，时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°；6时整时，时针与分针组成一共平角，是180°，六点时，分针落后时针180°，先求出分针追上时针需要的时间，这个过程中分针和时针成一次直角；第二次成直角时，分针又比时针多走90°，再求出又走了多少分钟，进而求出经过的总时间．
解答： 解：分针60分钟走完360°，每分钟走6°；
时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°；
六点时，分针落后时针180°（此处以分针为时间单位）；
那么分针追上时针的时间=180°÷（6°﹣0.5°）=（分）；
这段时间成过一次直角；
第二次成直角所需时间=90°÷（6°﹣0.5°）=（分）；
+==49（分）；
答：所以小明是6点49分回家．
点评： 解决本题关键是找出两次成直角分针要比时针多走多少度．
难点七、智力问题
43．（黔西县）如果每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，那么12人一起从甲地骑车到乙地要（ ）天．
A． 3 B． 1.5 C． 6 D． 12
考点： 智力问题．
专题： 压轴题．
分析： 由于每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，路程一定的情况下，时间只和速度有关系，和人数没有关系，则不论几人从甲地骑车到乙地都要3天，所以12人一起从甲地骑车到乙地要3天．
解答： 解：由于每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，
那么12人一起从甲地骑车到乙地也要3天．
故选：A．
点评： 完成本题的关键是要排除惯性思维的影响，看到6与12就想到倍数关系．
难点八、最佳方法问题
44．（长沙）某商店规定，3个空汽水瓶换一瓶汽水，某人在这个商店至少需购买 14 瓶汽水就可以喝到21瓶汽水．
考点： 最佳方法问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 因为3个空瓶换一瓶汽水，先买14瓶汽水，向商店先拿一瓶汽水不付钱，喝完后正好是15个空瓶，可以换15÷3=5（瓶）汽水，由于第十五瓶没付钱，所以商店只给4瓶即可，再向商店先拿2瓶汽水不需要付钱，喝完正好是6个空瓶，可以换6÷3=2（瓶）汽水，由于先前拿的2瓶没付钱，所以这两瓶正好还给店家，据此解答即可．
解答： 解：因为3个空瓶换一瓶汽水，先买14瓶汽水，
向商店先拿一瓶汽水不付钱，喝完后正好是15个空瓶，可以换：
15÷3=5（瓶），
由于第十五瓶没付钱，
5﹣1=4（瓶）
所以商店只给4瓶即可，再向商店先拿2瓶汽水不需要付钱，
喝完正好是6个空瓶，可以换：
6÷3=2（瓶），
由于先前拿的2瓶没付钱，所以这两瓶正好还给店家，
15+4+2=21（瓶）
答：买14瓶汽水即可喝到21瓶汽水．
故答案为：14．
点评： 解答本题巧妙在先喝汽水，再还空瓶，这样节省了钱且顾客手中也无空瓶．
45．（长沙）37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船（无船工），他们要全部渡过河，至少要使用这只小船渡河 9 次．
考点： 最佳方法问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由于一只能载5人的小船（无船工），则前面每趟可以渡5﹣1=4人，最后一次可以渡5人，依此可列算式（37﹣5）÷4+1计算即可求解．
解答： 解：（37﹣5）÷4+1
=32÷4+1
=8+1
=9（次）
故答案为：9．
点评： 考查了事物的简单搭配规律，注意小船返回时至少需要一个同学，这是本题要考虑的问题．
46．（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由．
考点： 最佳方法问题．
专题： 优化问题．
分析： 抓住题干中的两种购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为儿童票比团体票便宜，所以学生尽量购买学生票；据此按分开购票、合购团体票、交叉买票，分别算出应付的钱数进行比较，即可解决问题．
解答： 解：（1）①分开购票，
48×2+48÷2×38，
=96+912，
=1008（元）；
②合购团体票，
25×（38+2），
=25×40，
=1000（元）；
③交叉买票：两位老师和8名同学购买团体票，剩下的38﹣8=30名学生购买儿童票，
25×（2+8）+48÷2×30，
=250+720，
=970（元）；
1008＞1000＞970；
所以，两位老师和8名同学购买团体票，30名学生购买儿童票，最划算．
点评： 选用哪种购票方式与大人和学生的多少有关系，如果学生数多于一定数值则购买儿童票合算，如果成人数多于一定数值则购买团体票合算．
47．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
考点： 最佳方法问题．
专题： 优化问题．
分析： 若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x小时，此时，乙和丙各自步行了：4×x=x千米；甲丙，与乙的距离还是32x，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题．
解答： 解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地．
设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，
甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，
那么甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x（小时）
此时，乙和丙各自步行了：4×x=x（千米）
甲丙，与乙的距离还是32x
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：
32x÷（36﹣4）=x（小时）
乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：
36x+x+4x=36
x=36
x=
所以最短用时：
x+x+x=x=×=（小时）
答：三人同时到达的最短时间为小时．
点评： 此题较复杂，应抓住甲乙丙三人行驶的时间、路程以及他们各自间的距离关系这个关键，进而分析解答即可．
48．（广州）如图A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走子，每次必须向上或向右走1步或2步，（走两步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜，甲怎样走才能必胜？
考点： 最佳对策问题．
专题： 数学游戏与最好的对策问题．
分析： 因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B得步数是定的，共20步，而每次必走1或2步，因此，甲先走一次，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．也就是，不论乙走1步，还是2步，甲总能抢到最后1步．以此类推，如果有若干个3步，只要轮到乙先走，甲一定能设法让最后一步留给自己走．
解答： 解：甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．
点评： 此题属于游戏中取胜的策略问题，解答此题的关键是甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，甲先走，因而甲把握主动，从而有必胜的策略．
难点九、数字分组
49．（长沙）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是 （5、21、22）和（15、14、11） ．
考点： 数字分组．
专题： 传统应用题专题．
分析： 先把14、15、21、22分解质因数，看这六个数中共有哪几个质因数，再分摊在两组中，则两组数乘积相等．
解答： 解：因为14=2×7，15=3×5，21=3×7，22=2×11，所以含有相同质因数的两个数不能在同一组，即两组分别为（5、21、22）和（15、14、11）．
故答案为：（5、21、22）和（15、14、11）．
点评： 解答此题的关键是理解“使两组数的乘积相等”这个条件，实质上是要求两组里所含质因数相同，相同的质因数出现的次数也相同．
50．（青羊区校级自主招生）把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为 16 ．
考点： 数字分组．
分析： 先把这几个数分解质因数：33=3×11，51=3×17，65=5×13，77=7×11，85=5×17，91=7×13，要使积相等，则两组数的公因数一样，33和77不能一组，51和85不能一组，65和91不能一组，等等，总之有相等因数的不能一组，由此求解．
解答： 解：33×91×85=51×65×77，
33+91+85=209，
51+65+77=193，
209﹣193=16；
故答案为：16．
点评： 先把这些数分解质因数，再根据要使积相等，则两组数的公因数一样求解．
难点十、重叠问题
51．（宝鸡校级自主招生）某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了 27 角 6 分．
考点： 重叠问题．
专题： 压轴题．
分析： 按照这样收费标准，如果两人在同一标准下（例如都在24度以下，或都在24度以上），那么交的钱数应该是9分或者是2角的倍数，甲比乙多交了9.6角，显然甲用电在24度以上，乙用电在24度以下．
解答： 解：9分=0.9角，2角=20分；
设甲用电（24+X）度，乙用电（24﹣Y）度，
由题意得：2X+0.9Y=9.6；
根据本题实际情况把9.6分成两部分一部分能被0.9整除，一部分被2整除，只能是6+3.6；
所以此方程的整数解：X=3，Y=4；
则甲共交了：24×9+3×20=216+60=276（分）=27角6分；
故答案为：27，6．
点评： 这题是利用数学知识结合实际情况解答身边的问题．
52．（汉阳区）如图，将两个正三角形重叠作出一个星形，在重叠的图形中再作出一个小星形，即阴影部分，已知大星形的面积是40cm2，那么小星形的面积是 10cm2 ．
考点： 重叠问题．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，通过计算推理得出三角形DEF的面积是三角形AOC的面积的，所以，同理可以得出结论：每一个小阴影部分的三角形的面积都等于每一个大一些的三角形面积的，即12个小正三角形（阴影部分）等于12个大一些正三角形面积的；从而可以求出阴影部分的面积，列式为：40×=10cm2；问题得解．
解答： 解：把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，如图所示：
在12个相等的正三角形中，我们先研究其中两个大小正三角形的面积关系，大正三角形AOC被平均分成了4个小正三角形，每一个小正三角形的面积都相等，所以可以得出：
S△AOC=4S△DEF；
同理，12个小正三角形（阴影部分）的面积和等于12个大一些正三角形面积和的；[来源:学&科&网]
所以：阴影部分的面积为：40×=10（cm2）；
答：小星形的面积是10cm2．
故答案为：10cm2．
点评： 本题需要利用分割法把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，然后先研究其中两个大小正三角形的面积关系，从而得出大小星形的面积关系．
难点十一、钱币问题
53．（驻马店）175元人民币至少由 4 张纸币组成．
考点： 钱币问题．
专题： 简单应用题和一般复合应用题．
分析： 因为我国现有的人民币的面值有100元，50元，20元，10元，5元，2元，1元…，要用最少的纸币组成175元，就尽量用大面值的纸币．
解答： 解：因为175=100+50+20+5，
所以175元人民币至少由4张纸币组成；
故答案为：4．
点评： 解答此题的关键是理解题意，知道我国现有的人民币的面值，由此即可解答．
54．（重庆）现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有 280 元．
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： 因为第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等，所以第一堆中钱数必为（5+2）的倍数，第二堆中伍元与贰元的钱数相等，所以第二堆钱必为20元的倍数（因至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数），但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是（5+2）×20的倍数，由此即可得出答案．
解答： 解：第一堆中钱数必为5+2=7元的倍数，
因为至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数，所以
第二堆钱必为20元的倍数，
但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是：7×20=140（元）的倍数，
所以至少有：2×140=280（元），
答：这叠纸币至少有280元，
故答案为：280．
点评： 解答此题的关键是，根据题意，用求最小公倍数的方法，求出要求的答案．
55．（浙江）某市出租车的收费标准如下：
里 程 收 费
3千米及3千米以下 8.00元
3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元
3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元
（1）李丽乘出租车从家到外婆家，共付费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？
（2）王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校，他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据“共付费17.6元”，知道先去掉8元，就是去掉3千米的路程的收费，以后按每千米1.6元收费的钱数，由此即可求出相应的路程；
（2）可以按单程，每增加1千米，收费1.60元，和按往返，每增加1千米，收费1.20元，两种情况乘车计费，分别算出付费的钱数，即可得出答案．
解答： 解：（1）17.6﹣8=9.6（元），
9.6÷1.6=6（千米），
6+3=9（千米）；
（2）第一种情况：按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算，
（6×2﹣3）×1.2+8=18.8（元），
第二种情况：按3千米以上，单程，每增加1千米，收费1.6计算，
（12﹣6）×1.6+8×2=25.6（元），
18.8＜25.6；
所以，王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算比较合算，
答：李丽家到外婆家相距9千米；王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算比较合算，需付出租车费18.8元．
点评： 解答此题的关键是，理解统计表中的条件，尤其是3千米以上，单程，每增加1千米，及3千米以上，往返，每增加1千米收费情形，解答时一定要分时间段，进行计算．
56．（万安县）甲、乙、丙三个商场销售同一种饮料，饮料分为大瓶、小瓶两种规格，按统一定价：大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，它们分别推出三种优惠措施，甲商场：买大瓶送小瓶；乙商场：一律打九折；丙商场：满30元打八折．下面是A，B，C，D四位顾客的购买情况，请你建议此顾客去哪家商店购买花钱最少，填在下表中
顾客 A B C D
购买情况 10小 5大 4大4小 1大2小
选择商场
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，分别算出四位顾客，到三家商场的购买商品时，花费的钱数，比较钱数的多少，即可做出选择．
解答： 解：顾客A：只买10小瓶，
10×2.5=25（元），
只买10小瓶，不能到甲商场购买，因为甲商场买大瓶才送小瓶，他只买小瓶，
不能到丙商场购买，因为他购买的钱数不到30元，不能享受优惠政策，
只能到乙商场购买；
顾客B：只买5个大瓶，
5×10=50（元），
应该到丙商场购买，
顾客C：买4大瓶4小瓶，
10×4+2.5×4=50（元），
如果选甲就是：10×4=40（元），
如果选丙就是：50×0.8=40（元），
所以选甲也可以丙也可以，
顾客D：买1大瓶和2小瓶，
10+2.5×2=15（元），
如果选甲就是：10+2.5=12.5（元），
如果选乙就是：15×0.9=13.5（元），
所以选甲．
故答案依次为：乙，丙，甲或丙，甲．
点评： 解答此题的关键是，根据四位顾客的购买情况，以及商场的优惠政策，算出怎么样最省钱，就到哪家商场购买．
难点十二、简单规划问题
57．（岳麓区）加工某种零件，需要三道工序．第一道工序的工人，每人每天可以完成48个；第二道工序的工人，每人每天可以完成32个；第三道工序的工人，每人每天可以完成28个．问三道工序至少各有多少工人搭配才算合理？
考点： 简单规划问题．
专题： 优化问题．
分析： 先求出48，32和24的最小公倍数，然后用这个最小公倍数分别除以48，32，24即可．
解答： 解：要想搭配合理，那么每道工序完成的零件个数应该相等，
因为：[48，32，24]=672，所以：
第一道工序至少需要工人672÷48=14（人）
第二道工序至少需要工人672÷32=21（人）
第三道工序至少需要工人672÷28=24（人）
答：第一、二、三道工序至少需要工人分别为14人、21人、24人．
点评： 此题考查了晕用最小公倍数的只是解决实际问题的能力．
58．（龙泉驿区）请根据图意说明：如果儿童节要买回一批奖品，你认为应该注意哪些方面？
考点： 简单规划问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 生活中，通常会遇到一些去商场买东西的问题，这个时候，需要你根据自己所带的钱数与要买的商品的单价和数量进行估算，看带的钱数够不够，才能决定买不买，或者买多少．
解答： 解：买东西的时候，要根据自己带的钱数和要买的商品的单价与数量进行估算，
才能够确定买什么价格的商品，买多少件，比如王老师带了100元钱去商场要买20份六一节奖品，
已知甲种奖品的价格是5元一件，乙种奖品的价格是6元一件，那么王老师应该买那种奖品呢？
因为5×20=100元，正好够用，6×20=120元，买乙种奖品的话，王老师带的钱数就不够了．
点评： 此题考查学生解决实际生活问题的能力，培养了学生统筹安排问题的能力．
难点十三、火柴棒问题
59．（武汉）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，使等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
② ．
考点： 火柴棒问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 由题意可知把算式中的“+5”变成“﹣5”，把取下的火柴棒放在等式的右边，“93”变成“83”，等式仍然成立；
或把“27”取下1根火柴棒，变成“21”，则左边减少了6，把火柴棒放在“53”上，变成“59”，则左边又增加了6；所以等式仍然成立，据此即可解答．
解答： 解：根据数字特点以及运算符号分析可得：移动一根火柴，等式仍然成立：
点评： 对于火柴棒问题，要观察题干，根据数字特点结合运算符号进行分析．
难点十四、哈密尔顿圈与哈密尔顿链
60．（慈溪市）圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有多少枚棋子．
考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
专题： 压轴题；探索数的规律．
分析： 设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（39m﹣1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（39m﹣1）+1+32m=310m﹣1枚．然后分情况讨论32m=310m﹣1必须是14的倍数满足的条件即可．
解答： 解：设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小李拿走了2（39m﹣1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（39m﹣1）+1+32m=310m﹣1枚．
如果N=310m﹣1=59049m﹣1是14（2×7）的倍数，那么m必须是奇数，而59049m﹣1=（7×8435+4）m﹣1=7×8435m+4m﹣1是7的倍数，那么4m﹣1就必须是7的倍数，而m=20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m=21，25，27，29时4m﹣1都不是7的倍数，只有m=23时4m﹣1才是7的倍数，所以当N是14的倍数，则圆周上还有23枚棋子．
点评： 本题关键是根据每次取走的个数是余下的个数的2倍，得出总个数310m﹣1枚，难点是分情况讨论310m﹣1必须是14的倍数满足的条件．
特殊专题
难点一、最大与最小
1．（长沙县）一张圆桌有15个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个位置，都将与已经就坐的人为邻，则n的最小值是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6
2．（长沙）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（ ）人已经就座．
A． 26 B． 30 C． 40 D． 46
3．（长沙）猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去．猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步．问猎犬至少跑（ ）米才能追上兔子．
A． 40 B． 50 C． 60 D． 70
4．（广州）四年级（1）班有46人喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（ ）人．
A． 11 B． 12 C． 13 D． 14
E． 15
5．（广州）有一根长为21厘米的铁丝，想办法把它截成n小段（每段的长度均为不小于1的整厘米数），使得其中任意的三段都无法拼成三角形，那么截成的段数n其最大值是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 6
E． 4
6．（2015•长沙）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的多一些，比少一些．按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 次，最多共要运 次．
7．（长沙县）把17分成若干个自然数的和，其乘积最大的是 ．
8．（长沙）将1～9这9个数字填入下面的方格，得乘积P，使乘积最小，该怎么填？
P=□□□×□□□×□□□
9．（慈溪市）4只同样的瓶子分别装有一定数量的油，每瓶和其它各瓶分别合称一次，所得重量的千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知这四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数．那么最重的两瓶内共有油多少千克？
难点二、图形划分
10．（长沙）用一张长是7分米，宽3分米的长方形剪出一个最大的圆，像这样的圆最多可以剪（ ）个．
A． 2 B． 1 C． 无数个
11．（长沙）一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一个平面为四部分，那么六条直线最多分一个平面 部分．
12．（吴中区）如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）．
13．（安图县）用四种不同的方法把平行四边形平均分成面积相等的四等份．
14．（渠县）如图：一长方形菜地中有一圆形水池，请你画一条直线将菜地分成大小相同的两块．（保留作图痕迹）
难点三、排列组合
15．（岳麓区）六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲三个景点游玩，每个学生可选择其中的一个或两个景点，则至少有（ ）位学生游玩的地点是相同的．
A． 7 B． 8 C． 15 D． 16
16．（长沙）一片钥匙只能开一把锁，现有8片钥匙和8把锁，最多要试验（ ）次能使全部的锁匹配．
A． 36 B． 18 C． 28 D． 7
17．（天柱县）某县教育局教育股的电话号码是75234□□，还记得最大的数字是7，且每一个数字互不重复．如果拨通该电话，此人最多需试打（ ）次．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
18．（湖北）如下图所示，有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的l张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有 数字4的3张．把这9张圆形纸片如右图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有（ ）种不同的放法．
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
19．（成都）一把钥匙只能开一把锁，现有5把钥匙5把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，若使全部的钥匙和锁相匹配，试开的次数最多是（ ）
A． 9次 B． 10次 C． 12次 D． 15次
20．（随州）12个点，一共可以连成（ ）条线段．
A． 12 B． 32 C． 66
21．（毕节地区）体育课上，第一排站10名同学，老师想从中找出相邻的2名同学领操，共有（ ）种不同的找法．
A． 5 B． 9 C． 10
22．（长沙县）一把钥匙只能开一把锁，现有7把钥匙和7把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．最多要试 次才能配好全部的钥匙和锁．
23．（天河区）①东东、明明、亮亮三人去看电影，座位号分别是7号、8号、9号，东东不愿意坐在8号位，一共有 种不同的坐法．
②已知△+○=43，○+□=92，△+□=65，则○= ．
24．（成都）一条小街上顺次安装10盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除首末两灯以外的8盏灯中的4盏灯，但被关的灯不能相邻，共有 种不同的关法．
25．（长沙）有13个队参加篮球赛，比赛分为两个组，第一组7个队，第二组6个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4队分成两组进行淘汰赛，最后两队决出冠亚军．问共需比赛多少场？
26．（东莞）有三种不同长度的小木棒，如图所示（若干根），能搭出几种不同的长方体或正方体？
难点四、筛选与枚举
27．（广州）袋中有 3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，那么他拿出求的颜色搭配情况一共有（ ）种可能．
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
E． 20
28．（绍兴县）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有以下四个刻度，（如图，单位：厘米）．
那么，用这把直尺能直接量出（ ）个不同的长度．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
29．（邵阳）张叔叔有10元和5元的人民币若干张，他要从中拿出50元钱，有 种不同的拿法．
30．（济南）钱袋中有1分、2分和5分三种硬币，甲从袋中取出三枚，乙从袋中取出两枚，取出的五枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的三枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是 分．
难点五、逻辑推理
31．（湖北）A，B，C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测．甲说：“A肯定是第一名．”乙说：“A不是最后一名．”丙说：“A肯定不是第一名．”其中只有一人对比赛结果的预测是对的．预测对的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 不能确定
32．（广州）甲、乙、丙对四年级四个班的竞赛成绩作猜测如下表：
第一 第二 第三 第四
甲认为 1班 3班 2班 4班
乙认为 1班 4班 2班 3班
丙认为 3班 4班 1班 2班
竞赛的结果证明三个人对各班的名次全部猜错了，那么3班获得的名次应该（ ）名．
A． 第一 B． 第二 C． 第三 D． 第四
E． 无法判断
33．（长沙县）某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每个考生给10分底分，那么这次竞赛成绩最多有 种不同的分数．
34．（二七区）如图是一个箭靶，二人比赛射箭．甲射了5箭，一箭落入A圈，三箭落入B圈，一箭落入C圈，共得30环；乙也射了5箭，两箭落入A圈，一箭落入B圈，两箭落入C圈，也得30环．则B圈是 环．
35．（长沙）徐老师，周老师和黄老师三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语，已知：
（1）徐老师比英语的老师年龄大；
（2）周老师和英语老师是邻居；
（3）教数学的老师经常和周老师一起打球．问三位老师各教什么课？
36．（岳麓区）甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师．已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民．
三人各在什么地方工作？各是什么职业？
难点六、时间与钟面
37．（恩施州）小明家的钟每时慢2分，早晨7时按标准时间把钟拨准了，到这个钟指向中午12时时，标准时间是（ ）
A． 12时10分 B． 不到12时10分 C． 超过12时10分 D． 无法确定
38．（长沙）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知0：00时坏表的时间是准确的，那么当坏表是3：00时，实际是（ ）
A． 2：00 B． 2：18 C． 2：24 D． 2：30
39．（长沙）某种表，在7月29日零点比标准时间慢4分半，它一直走到8月5日上午7时，比标准时间快3分，那么这只表时间正确的时刻是 月 日 时．
40．（长沙）现在是10时整，再过 分钟，时针与分针第一次垂直．
41．（长沙）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？
42．（广州）小方每天6点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直角时，小方才回家．问小方几点回到家的？
难点七、智力问题
43．（黔西县）如果每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，那么12人一起从甲地骑车到乙地要（ ）天．
A． 3 B． 1.5 C． 6 D． 12
难点八、最佳方法问题
44．（长沙）某商店规定，3个空汽水瓶换一瓶汽水，某人在这个商店至少需购买 瓶汽水就可以喝到21瓶汽水．
45．（长沙）37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船（无船工），他们要全部渡过河，至少要使用这只小船渡河 次．
46．（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由．
47．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
48．（广州）如图A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走子，每次必须向上或向右走1步或2步，（走两步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜，甲怎样走才能必胜？
难点九、数字分组
49．（长沙）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是 ．
50．（青羊区校级自主招生）把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为 ．
难点十、重叠问题
51．（宝鸡校级自主招生）某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了 角 分．
52．（汉阳区）如图，将两个正三角形重叠作出一个星形，在重叠的图形中再作出一个小星形，即阴影部分，已知大星形的面积是40cm2，那么小星形的面积是 ．
难点十一、钱币问题
53．（驻马店）175元人民币至少由 张纸币组成．
54．（重庆）现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有 元．
55．（浙江）某市出租车的收费标准如下：
里 程 收 费
3千米及3千米以下 8.00元
3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元
3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元
（1）李丽乘出租车从家到外婆家，共付费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？
（2）王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校，他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？
56．（万安县）甲、乙、丙三个商场销售同一种饮料，饮料分为大瓶、小瓶两种规格，按统一定价：大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，它们分别推出三种优惠措施，甲商场：买大瓶送小瓶；乙商场：一律打九折；丙商场：满30元打八折．下面是A，B，C，D四位顾客的购买情况，请你建议此顾客去哪家商店购买花钱最少，填在下表中
顾客 A B C D
购买情况 10小 5大 4大4小 1大2小
选择商场
难点十二、简单规划问题
57．（岳麓区）加工某种零件，需要三道工序．第一道工序的工人，每人每天可以完成48个；第二道工序的工人，每人每天可以完成32个；第三道工序的工人，每人每天可以完成28个．问三道工序至少各有多少工人搭配才算合理？
58．（龙泉驿区）请根据图意说明：如果儿童节要买回一批奖品，你认为应该注意哪些方面？
难点十三、火柴棒问题
59．（武汉）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，使等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
② ．
难点十四、哈密尔顿圈与哈密尔顿链
60．（慈溪市）圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有多少枚棋子．
参考答案与试题解析
难点一、最大与最小
1．（长沙县）一张圆桌有15个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个位置，都将与已经就坐的人为邻，则n的最小值是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题干可得，要保证无论坐哪个座位，都将与已就座的人相邻，而且使就坐的人数最少，应该按如下排列，其规律是：三个座位为一个循环周期，即空座、有人座、空座；那么15个座位正好是15÷3=5个周期；每个周期都有1个有人座，由此即可求得在此人之前已就座的最少有多少人．
解答： 解：15÷3=5（个）
故选：B．
点评： 根据题干得出这排座位中，已有人的座位排列规律是解决此题的关键．
2．（长沙）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（ ）人已经就座．
A． 26 B． 30 C． 40 D． 46
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意可知，欲求在90个座位上至少坐了多少人，才能使后来的这个人无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．我们试想如果把这90个座位从1到90编号，则至少要在2，5，8，11，…，86，89这些座位上有人就坐．那么不难看出，这是一个求公差为3的等差数列项数的题目了．则原来至少有：（89﹣2）÷3+1=30（人）．
解答： 解：由题意可知，当这90个座位的第2，5，8，11，…，86，89上有人已经就座时，满足题意．则
原来就座的人数至少有：
（89﹣2）÷3+1
=87÷3+1
=29+1
=30（人）．
答：原来至少有30人已经就座．
故选：B．
点评： 这是一个难度较高求最小值的应用题．解题关键是根据题意分析并找出规律，灵活运用求等差数列的项的方法来求就座人数的最小值．
3．（长沙）猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去．猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步．问猎犬至少跑（ ）米才能追上兔子．
A． 40 B． 50 C． 60 D． 70
考点： 最大与最小；分数和百分数应用题（多重条件）．
专题： 分数百分数应用题．
分析： 由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米．由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3=a米．从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：a=6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6﹣5=1倍，正好是相差10米，从而求出1倍的，再乘以6就是 猎犬追上兔子的时间．
解答： ：猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米，
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3=a米，
从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：a=6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5，
10÷（6﹣5）×6，
=10×6，
=60（米）；
答：猎犬至少跑60米才能追上兔子．
故选：C．
点评： 此题是灵活考查速度的计算公式，是一道比较难的题目．解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比．
4．（广州）四年级（1）班有46人喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（ ）人．
A． 11 B． 12 C． 13 D． 14
E． 15
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意可知，不喜欢打乒乓球的有46﹣32=14人，不喜欢打羽毛球的有46﹣26=20人；则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有14+20=34人，从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有46﹣34=12人，由此选择即可．
解答： 解：不喜欢打乒乓球的有46﹣32=14（人），不喜欢打羽毛球的有46﹣26=20（人）；
则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有14+20=34（人），
从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的有46﹣34=12（人）．
故选：B．
点评： 解答此题的关键是，在理解题意的基础上，利用最值问题，找准对应的量，列式解答即可．
5．（广州）有一根长为21厘米的铁丝，想办法把它截成n小段（每段的长度均为不小于1的整厘米数），使得其中任意的三段都无法拼成三角形，那么截成的段数n其最大值是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 6
E． 4
考点： 最大与最小．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，然后依此类推，最后每段的总和要不大于21即可．
解答： 解：三角形两边之和大于第三边，设最小的是1，那1，1，2，3，5，6…以此类推，相加的和小于等于21．
而1+1+2+3+5+8=20＜21，
所以n的最大值是：6．
故选：D．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，做题时要注意符合题目条件，题目有一定的难度．
6．（2015•长沙）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的多一些，比少一些．按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 7 次，最多共要运 9 次．
考点： 最大与最小．
分析： 首先把和化为同分母分数，进一步比较它们的大小，剩下中间的分数，找出最大的就是每一次运最多的可能，最小的就是每一次运最少的可能，由此求得次数取整即可．
解答： 解：=，=；
因为运到的货物比这批货物的（）多一些，比（）少一些．
所以运到的货物可以是或；
因此运完这批货物的次数×5＜×5＜×5＜×5，
即＜＜＜；
因此最少次，最多次；
取整就是最少7次，最多9次．
故答案为：7，9．
点评： 解决此题的关键是用同分的方法逐步缩小范围，进一步利用次数这一特殊的数取整解决问题．
7．（长沙县）把17分成若干个自然数的和，其乘积最大的是 486 ．
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，例如6拆成3与3比拆成4与2的两数之积要大，因此大于4的数尽可能拆，并且拆成的数2的个数不要超过2个，若多于2个，比如4个2，2+2+2+2=8=3+3+2，显然有3×3×2＞2×2×2×2，所以尽可能多拆出3来，根据这些规律，即可得出答案．
解答： 解：将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个
根据以上规律，得出，17=3+3+3+3+3+2，
所以，这个乘积最大是：3×3×3×3×3×2=486；
答：其乘积最大的是486；
故答案为：486．
点评： 此题主要考查了拆数的规律，即拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个．
8．（长沙）将1～9这9个数字填入下面的方格，得乘积P，使乘积最小，该怎么填？
P=□□□×□□□×□□□
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 要使乘积最小，首先应该把较小的数填在三个因数的高位上，所以百位填1，2，3；十位填4，5，6，个位填7，8，9，由于无论各个数位上填相应三个数字中的哪一个，这三个因数的和都是相同的：例如，147×258×369与157×249×368这两组数的三个因数的和都是774，我们根据三个数的和相同，差越大乘积反而越小的性质可知，当三个因数的差最大时，它们的乘积最小，据此解答．
解答： 解：因为要使乘积最小，首先应该把较小的数填在三个因数的高位上，
所以百位填1，2，3；十位填4，5，6，个位填7，8，9，
由于无论各个数位上填相应三个数字中的哪一个，
这三个因数的和都是相同的所以147×256×369的乘积最小；
故答案为：147，256，369．
点评： 本题主要是利用三个数的和相同，差越大乘积反而越小进行解答．
9．（慈溪市）4只同样的瓶子分别装有一定数量的油，每瓶和其它各瓶分别合称一次，所得重量的千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知这四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数．那么最重的两瓶内共有油多少千克？
[来源:学科网]
考点： 最大与最小．
专题： 传统应用题专题．
分析： 每个瓶称三次，故四个瓶子与油的总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3=21（千克），
21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和一奇一偶，而2是偶质数，故空瓶重量和为2千克，油重量和为19千克．
每个空瓶0.5千克，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣0.5×2=12（千克）．
解答： 解：四个瓶子与油的总重量为：
（8+9+10+11+12+13）÷3，
=63÷3
=21（千克）；
符合条件的质数是2（4个瓶的重量）和19（4瓶油的重量）（注：19千克不可能是瓶重，否则2瓶就超过8千克了）．
故最重的两瓶油重：13﹣2÷4×2=13﹣1=12（千克）．
答：最重的两瓶内共有油12千克．
点评： 此题解答的思路是：先求出四个瓶子与油的总重量，再根据“四只空瓶的重量之和以及油的质量之和都为质数”，推出空瓶重量之和与油的重量之和，进一步求出最重的两瓶内共有油的重量．
难点二、图形划分
10．（长沙）用一张长是7分米，宽3分米的长方形剪出一个最大的圆，像这样的圆最多可以剪（ ）个．
A． 2 B． 1 C． 无数个
考点： 图形划分．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 用3分米作为圆的直径，看看最长边7分米里面有几个3分米，就能画出几个圆，据此解答．
解答： 解：因为7÷3=2…1，所以最多可以剪2个圆．
故选：A．
点评： 解答此类问题，注意用最短边作为圆的直径．
11．（长沙）一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一个平面为四部分，那么六条直线最多分一个平面 22 部分．
考点： 图形划分．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案．
解答： 解：由图可知，
（1）有一条直线时，最多分成2=+1部分；
（2）有两条直线时，最多分成2+2=4=+1部分；
（3）有三条直线时，最多分成1+1+2+3=7=+1部分；…
（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：
m=1+1+…+（n﹣1）+n=+1．
所以画6条直线最多可将平面分成+1=22．
故答案为：22．
点评： 本题考查直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识．
12．（吴中区）如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）．
考点： 图形划分．
专题： 作图题．
分析： 平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等．
解答： 解：如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点，
则不难得出：四边形ABFE和四边形FCDE面积相等．
点评： 此题主要考查中心对称图形的性质，利用割补的方法即可解决．
13．（安图县）用四种不同的方法把平行四边形平均分成面积相等的四等份．
考点： 图形划分．
专题： 作图题；压轴题．[来源:学科网]
分析： 方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分；
方法二：找出平行四边形的上下两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分；
方法三：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分；
方法四：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分；据此即可画图．
解答： 解：根据题干分析画图如下：
点评： 此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质．
14．（渠县）如图：一长方形菜地中有一圆形水池，请你画一条直线将菜地分成大小相同的两块．（保留作图痕迹）
考点： 图形划分．
专题： 压轴题；平面图形的认识与计算．
分析： 根据长方形的性质，过长方形中心的直线把长方形分成面积相等的两部分；根据圆的性质，过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分，所以过长方形的中心与圆心的直线就是所要求作的直线．
解答： 解：如图，找出长方形的中心P，圆心O，
则直线PO就是所要求作的直线．
点评： 本题考查了复杂作图，熟悉过长方形的中心的直线把长方形分成面积相等的两部分是解题的关键．
难点三、排列组合
15．（岳麓区）六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲三个景点游玩，每个学生可选择其中的一个或两个景点，则至少有（ ）位学生游玩的地点是相同的．
A． 7 B． 8 C． 15 D． 16
考点： 排列组合；抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3+3=6种选择，所以抽屉数是6，因此共有6个抽屉供45个学生来选，因为45÷6=7…3，所以
至少有7+1位学生游玩的地点是相同的．
解答： 解：选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3+3=6种选择，
45÷6=7…3
7+1=8（个）
答：至少有8位学生游玩的地点是相同的．
故选：B．
点评： 此题考查了排列组合知识和抽屉原理在实际问题中的灵活应用；关键是建立抽屉数．
16．（长沙）一片钥匙只能开一把锁，现有8片钥匙和8把锁，最多要试验（ ）次能使全部的锁匹配．
A． 36 B． 18 C． 28 D． 7
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把8把锁看成8类，分类完成，第一把锁最多试验7次，最后的一把钥匙不用再试验了，前7个都不是，它一定可以开这把锁了；以此类推，第二把锁试验6次；第三把锁试验5次；第四把锁试验4次；第五把锁试验3次，第六把锁试验2次，第七把锁试验1次，最后的一把锁和一把钥匙，就不用试验了；用加法原理，即可得解．
解答： 解：7+6+5+4+3+2+1=28（次），
答：最多试验28次才能配好全部的钥匙和锁；
故选：C．
点评： 此题考查了排列组合问题，最后的一把锁和一把钥匙不用再试验，是解决此题易错的地方．
17．（天柱县）某县教育局教育股的电话号码是75234□□，还记得最大的数字是7，且每一个数字互不重复．如果拨通该电话，此人最多需试打（ ）次．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 排列组合．
专题： 压轴题；整数的认识．
分析： 根据“最大的数字是7，且每一个数字互不重复．”可知：□里的数只能填0、1、6，那么由这三个数组成的数的填法有6种，据此解答．
解答： 解：根据已知条件可知：□里的数只能填0、1、6，两个□可填：01，06，10，60，16，61，共有6种选择；
答：此人最多需试打6次．
故选：C．
点评： 本题的突破口在于根据已知条件找到符合要求的三个数，然后通过枚举即可得出答案，注意要按顺序列举，防止遗漏．
18．（湖北）如下图所示，有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的l张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有 数字4的3张．把这9张圆形纸片如右图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有（ ）种不同的放法．
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 首先考虑特殊的数字2的位置，（1）当2在左下角时，1如果放置在右下角；（2）如果1不放置在右下角的位置；分两类讨论即可，然后2在右下角与前相同．
解答： 解：首先考虑特殊的数字2的位置，当2在左下角时，1如果放置在右下角，4和3有两种位置．
如果1不放置在右下角的位置，只能紧挨着右下角的两个位置，每种情况都有2种，所以有4种位置，
根据对称性，2在右下角的情况与前相同，
最后共：（4+2）×2=12（种）；
答：一共有12种不同的放法．
故选：D．
点评： 本题先从特例入手，然后分两种情况讨论就容易解决问题．
19．（成都）一把钥匙只能开一把锁，现有5把钥匙5把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，若使全部的钥匙和锁相匹配，试开的次数最多是（ ）
A． 9次 B． 10次 C． 12次 D． 15次
考点： 排列组合．
分析： 次数最多，则假设每次试开锁都到最后一把锁才能相配，第一把锁最多试4次，第2把锁最多试3次，第3把锁最多试2次，第4把锁最多试1次，剩下最后1把不需要试，把所有次数都加起来即可．
解答： 解：4+3+2+1=10（次）．
答：试开的次数最多是10次．
故选B．
点评： 解决此题的关键在于要考虑最坏情况，每次试开锁都到最后一把锁才能相配，用运用类推的方法解答问题．
20．（随州）12个点，一共可以连成（ ）条线段．
A． 12 B． 32 C． 66
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 3个点连成线段的条数：1+2=3（条），
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条），
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条），
…；
由此得出规律：总线段数就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数之和．因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，一次加到几减1，所得的和就是总线段数．
据此规律解答即可．
解答： 解：1+2+3+…+11=66（条）；
答：12个点，一共可以连成66条线段．
故选：C．
点评： 此题属于探索规律的题目，先在草纸上找几个点进行连线，然后得出规律，然后根据规律进行解答．
21．（毕节地区）体育课上，第一排站10名同学，老师想从中找出相邻的2名同学领操，共有（ ）种不同的找法．
A． 5 B． 9 C． 10
考点： 排列组合．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 把要找出的相邻的2名同学看做一个整体，和余下的8名同学组成9个个体，从中选出一个个体，只有9种选法，即可得解．
解答： 解：把相邻的两名同学看做一个整体，9个中选1个，有9种选法；
故选：B．
点评： 把相邻的两名同学看做一个整体是解决此题的关键．
22．（长沙县）一把钥匙只能开一把锁，现有7把钥匙和7把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．最多要试 21 次才能配好全部的钥匙和锁．
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把7把锁看成7类，分类完成，第一把锁最多试验6次，最后的一把钥匙不用再试验了，前6个都不是，它一定可以开这把锁了；以此类推，第二把锁试验5次；第三把锁试验4次；第四把锁试验3次；第五把锁试验2次，第六把锁试验1次，最后的一把锁和一把钥匙，就不用试验了；用加法原理，即可得解．
解答： 解：6+5+4+3+2+1=21（次），
答：最多试验21次才能配好全部的钥匙和锁；
故答案为：21．
点评： 此题考查了排列组合问题，最后的一把锁和一把钥匙不用再试验，是解决此题易错的地方．
23．（天河区）①东东、明明、亮亮三人去看电影，座位号分别是7号、8号、9号，东东不愿意坐在8号位，一共有 4 种不同的坐法．
②已知△+○=43，○+□=92，△+□=65，则○= 35 ．
考点： 排列组合；简单的等量代换问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： ①由于东东不愿意坐在8号位，那么8号就有2种选择，7号有2种选择，9号就有1种选择，根据乘法原理，一共有2×2×1=4种不同的坐法；
②根据“△+○=43，○+□=92”可得：△+2○+□=43+92，然后把△+□=65代入这个式子可得：2○+65=43+92，则○=35．
解答： 解：①2×2×1=4（种），
答：一共有4种不同的坐法．
②因为△+○=43，○+□=92，
所以：△+2○+□=43+92，
把△+□=65代入上式，
可得：2○+65=43+92，
2○=70，
则，○=35．
故答案为：4，35．
点评： ①本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法；注意要先排列特殊的情况即8号．
②本题利用等量替换法把未知数△和ϖ消元是解答的关键．
24．（成都）一条小街上顺次安装10盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除首末两灯以外的8盏灯中的4盏灯，但被关的灯不能相邻，共有 5 种不同的关法．
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题意，先将亮的6盏灯排成一排，可得有5个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的4盏灯插入5个空位，用组合公式分析可得答案．
解答： 解：本题使用插空法，先将亮的6盏灯排成一排，
由题意，两端的灯不能熄灭，则有5个符合条件的空位，
进而在5个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，
有==5种方法，
答：共有5不同的关法．
故答案为：5．
点评： 本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
25．（长沙）有13个队参加篮球赛，比赛分为两个组，第一组7个队，第二组6个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4队分成两组进行淘汰赛，最后两队决出冠亚军．问共需比赛多少场？
考点： 排列组合．
专题： 可能性．
分析： 单循环赛阶段，每两队之间有一场比赛，因此，第一组的7个队进行单循环赛所需比赛场数为==21（场），第二组的6个队进行单循环赛所需比赛场数为==15（场），淘汰赛阶段，4只队伍决出冠亚军所需比赛场数为3场，所以共需：21+15+3=39场．
解答： 解：==21（场），
==15（场），
21+15+3=39（场）
答：共需比赛39场．
点评： 本题考查了排列组合知识，关键是利用分步计数和加法原理计算．
26．（东莞）有三种不同长度的小木棒，如图所示（若干根），能搭出几种不同的长方体或正方体？
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据长方体、正方体的特征来作答．由正方体的棱长相等，根据棱长不同来进行分类．长方体根据相交于一个顶点的三条棱的不同而不同来分类作答．
解答： 解：（1）①搭成棱长是12厘米的正方体；
②搭成棱长是8厘米的正方体；
③搭成棱长是4厘米的正方体；
可搭成3种不同的正方体．
（2）由长方体相交于一个顶点的三条棱的变化，可分别搭成：
①12厘米，12厘米，8厘米的长方体；
②12厘米，12厘米，4厘米的长方体；
③12厘米，8厘米，8厘米的长方体；
④12厘米，8厘米，4厘米的长方体；
⑤8厘米，8厘米，4厘米的长方体；
⑥12厘米，4厘米，4厘米的长方体；
⑦8厘米，4厘米，4厘米的长方体
可搭成7种不同的长方体．
故可以搭成10种不同的正方体或长方体．
答：可以搭成10种不同的长方体或正方体．
点评： 此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征．
难点四、筛选与枚举
27．（广州）袋中有 3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，那么他拿出求的颜色搭配情况一共有（ ）种可能．
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
E． 20
考点： 筛选与枚举．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 解答此题可以从以下一个方面进行讨论分析：（1）6 个球中有3 个红球：0 黄3 白、1 黄2 白、2 黄1 白、3 黄0 白，共4 种；（2）6个球中有2个红球：0黄4白、1 黄3 白、2 黄2 白、3 黄1 白、4 黄0 白，共5种；（3）6个球中有1 个红球：0 黄5 白、1 黄4 白、2 黄3 白、3 黄2 白、4 黄1 白，共5 种；（4）6个球中有0 个红球：1 黄5 白、2 黄4 白、3 黄3 白、4 黄2 白，共4 种．据此把这几种情况加起来即可解答问题．
解答： 解：（1）6 个球中有3 个红球：0 黄3 白、1 黄2 白、2 黄1 白、3 黄0 白，共4 种；
（2）6个球中有2个红球：0黄4白、1 黄3 白、2 黄2 白、3 黄1 白、4 黄0 白，共5种；
（3）6个球中有1 个红球：0 黄5 白、1 黄4 白、2 黄3 白、3 黄2 白、4 黄1 白，共5 种；
（4）6个球中有0 个红球：1 黄5 白、2 黄4 白、3 黄3 白、4 黄2 白，共4 种．
所以一共有：4+5+5+4=18（种）．
故选：C．
点评： 本题考查利用枚举法解决实际问题的灵活应用．
28．（绍兴县）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有以下四个刻度，（如图，单位：厘米）．
那么，用这把直尺能直接量出（ ）个不同的长度．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 筛选与枚举．
专题： 压轴题．
分析： 只要进行列举即可得出结论：能量1厘米，4厘米，10厘米，（4﹣1）厘米，（10﹣4）厘米，（10﹣1）厘米；
解答： 解：1厘米，4厘米，10厘米，3厘米，6厘米，9厘米；
共6个；
故选：D．
点评： 此题较简单，只要进行列举，然后根据列举的数字进行计算，即可得出答案．类比于数线段解决问题也可．
29．（邵阳）张叔叔有10元和5元的人民币若干张，他要从中拿出50元钱，有 6 种不同的拿法．
考点： 筛选与枚举．
专题： 可能性．
分析： 利用列举的方法，组合成50元，从都是5元的开始找，逐渐增加10元的张数，直到都是10元．
解答： 解：（1）5元的10张，5×10=50（元）
（2）5元的8张，10元1张，5×8+10=50（元）
（3）5元6张，10元2张，5×6+10×2=50（元）
（4）5元4张，10元3张，5×4+10×3=50（元）
（5）5元2张，10元4张，5×2+10×4=50（元）
（6）10元5张，10×5=50（元）
答：有6种不同的拿法．
故答案为：6．
点评： 此题也可以设5元的有x张，10元的有y张，列出方程5x+10y=50，据此求出x、y的正整数解的数量即可解答问题．
30．（济南）钱袋中有1分、2分和5分三种硬币，甲从袋中取出三枚，乙从袋中取出两枚，取出的五枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的三枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是 17 分．
考点： 筛选与枚举．
分析： 甲取出的三枚硬币面值的和比乙取出的两枚硬币面值的和少3分，也就是说乙取出的两枚硬币面值的和比甲取出的三枚硬币面值的和多3分，乙取出的两枚硬币面值5，5就是最大了，那么乙也只有 5，1，1 符合；进而得出答案．
解答： 解：乙取2枚（5分），甲取1枚（5分）、2枚（1分）；
5×2+5+1×2=17（分）；
答：取出的钱数的总和最多是17分；
故答案为：17．
点评： 此题应结合题意，进行分析，先得出乙取出的两枚硬币的面值，然后根据题中给出的条件，得出甲取出的三枚硬币的面值，进而计算得出结论．
难点五、逻辑推理
31．（湖北）A，B，C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测．甲说：“A肯定是第一名．”乙说：“A不是最后一名．”丙说：“A肯定不是第一名．”其中只有一人对比赛结果的预测是对的．预测对的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 不能确定
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 由题意知，甲、丙的预测截然相反，必一对一错．因为只有一人对，不论甲、丙谁对，乙必错，所以A是最后一名，再经推论得丙对．
解答： 解：根据题意，甲、丙的预测截然相反，必一对一错．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
因为只有一人对，不论甲、丙谁对，乙必错，所以A是最后一名，
假设甲的预测对，则A是第一名．
那么，乙说：“A不是最后一名．”也对，这与题目中“其中只有一人对比赛结果的预测是对的”相矛盾．
即假设不成立．
所以甲预测错误．则丙预测就是对的．
故选：C．
点评： 本题是一个逻辑推理的经典实例，推理方法是抓住一对截然相反的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一个必错或必对的说法，作为突破点，结论的推导就水到渠成了．
32．（广州）甲、乙、丙对四年级四个班的竞赛成绩作猜测如下表：
第一 第二 第三 第四
甲认为 1班 3班 2班 4班
乙认为 1班 4班 2班 3班
丙认为 3班 4班 1班 2班
竞赛的结果证明三个人对各班的名次全部猜错了，那么3班获得的名次应该（ ）名．
A． 第一 B． 第二 C． 第三 D． 第四
E． 无法判断
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 由于丙认为3班是第一，甲认为三班是第二，乙认为三班是第四，由于三个人对各班的名次全部猜错了，即三班一定不是第一名，第二名，第四名，则3班是第三名．
解答： 解：由于丙认为3班是第一，甲认为三班是第二，乙认为三班是第四全是错的，
则3班一定是第三名．
故选：C．
点评： 完成本题要注意抓住“三个人对各班的名次全部猜错”这一条件，由于只求3班，所以对于其它三个班不要去推理．
33．（长沙县）某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每个考生给10分底分，那么这次竞赛成绩最多有 81 种不同的分数．
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 对于此题首先要明确范围，由于分数最低是0分，因此该学生得到的分数最低是0分，最多是s分，而有一些分数是取不到的，解答此题的关键是判断出取不到的分数，对1题，错1题能得4分，对1题，错2题能得3分，对1题，错3题能得2分，对1题，错4题能得1分，由于低分均能取到，所以考虑高分的情况从11+5=16，对11题以及以下部分均能取到，扣除低分先不计算；
如果已经对12题，而61需要再有5题才可取到，则取不到（62再需要4题，对1道，3道即可取到）；
如果已经对13题，而66、67分别需要5题、4题才能可取到，则取不到；
如果已经对14题，而71、72、73分别需要5题、4题、3题才能取到，则取不到；
如果已经对15题，而76、77、78、79分别需要5题、4题、3题、2题才能取到，则取不到；
得到的分数最低是0分，最高是10+16×5=90（分），而根据题意，71、76、77、81、82、83、86、87、88、89无法取到，所以一共有90+1﹣10=81（种）不同的情况．
解答： 解：对1题，错1题能得4分，对1题，错2题能得3分，对1题，错3题能得2分，对1题，错4题能得1分，[来源:Z.xx.k.Com]
由于低分均能取到，所以考虑高分的情况从11+5=16，对11题以及以下部分均能取到，扣除低分先不计算；
如果已经对12题，而61需要再有5题才可取到，则取不到（62再需要4题，对1道，3道即可取到）；
如果已经对13题，而66、67分别需要5题、4题才能可取到，则取不到；
如果已经对14题，而71、72、73分别需要5题、4题、3题才能取到，则取不到；
如果已经对15题，而76、77、78、79分别需要5题、4题、3题、2题才能取到，则取不到；
得到的分数最低是0分，最高是10+16×5=90（分），
因为71、76、77、81、82、83、86、87、88、89无法取到，
所以一共有90+1﹣10=81（种）不同的情况．
答：这次竞赛成绩最多有 81种不同的分数．
故答案为：81．
点评： 此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分类讨论思想的应用．
34．（二七区）如图是一个箭靶，二人比赛射箭．甲射了5箭，一箭落入A圈，三箭落入B圈，一箭落入C圈，共得30环；乙也射了5箭，两箭落入A圈，一箭落入B圈，两箭落入C圈，也得30环．则B圈是 6 环．
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： A、B、C圈分别表示A、B、C环，根据题干可得：，由此解这个方程组，求出B的值即可解答问题．
解答： 解：A、B、C圈分别表示A、B、C环，根据题干可得：，
②﹣①可得：A﹣2B+C=0，可得A+C=2B，③，
把③代入①可得：2B+3B=30，即5B=30，
则B=6．
答：B圈是6环．
故答案为：6．
点评： 此题考查了利用三元一次方程组解决实际问题的灵活应用．
35．（长沙）徐老师，周老师和黄老师三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语，已知：
（1）徐老师比英语的老师年龄大；
（2）周老师和英语老师是邻居；
（3）教数学的老师经常和周老师一起打球．问三位老师各教什么课？
考点： 逻辑推理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据（1）（2）可得，徐老师和周老师都不是英语老师，所以英语老师只能是黄老师；然后根据（3），可得周老师不是数学老师，因此周老师只能是语文老师，所以徐老师是数学老师，据此解答即可．
解答： 解：根据（1）（2）可得，徐老师和周老师都不是英语老师，
所以英语老师只能是黄老师；
又因为教数学的老师经常和周老师一起打球，
所以周老师不是数学老师，因此周老师只能是语文老师，
所以徐老师是数学老师．
答：英语老师是黄老师，语文老师是周老师，数学老师是徐老师．
点评： 此题主要考查了逻辑推理问题，解答此题的关键是判断出黄老师是英语老师．
36．（岳麓区）甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师．已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民．
三人各在什么地方工作？各是什么职业？
考点： 逻辑推理．
专题： 逻辑推理问题．
分析： 条件3和条件4的结果，就是南京工作的是农民、苏州工作的是工人、西安工作的是教师，结合条件2和条件5，得到结果：乙是教师在西安工作，结合条件1，得到结果：甲在苏州工作为工人、丙为农民在南京工作．
解答： 解：因为乙不在苏州工作，那么在苏州工作的是工人，所以乙不是工人；
又因为乙不是农民，所以乙是教师，因为甲不在南京工作，在南京工作的不是教师，所以乙不在南京工作，所以丙在南京工作；
又因为在苏州工作的是工人，所以丙不是工人，是农民，因为乙不在苏州工作，丙在南京工作，所以乙在西安工作；
又因为乙是教师，丙是农民，在南京工作，所以甲是工人，在苏州工作．
答：甲在苏州工作，是工人；乙在西安工作，是教师；丙在南京工作，是农民．
点评： 此题属于逻辑推理问题，在解答时，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断．
难点六、时间与钟面
37．（恩施州）小明家的钟每时慢2分，早晨7时按标准时间把钟拨准了，到这个钟指向中午12时时，标准时间是（ ）
A． 12时10分 B． 不到12时10分 C． 超过12时10分 D． 无法确定
考点： 时间与钟面．
专题： 传统应用题专题．
分析： 早晨7点按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午12点时，时钟共走了5个小时，因闹钟每小时慢2分钟，时钟走5个小时，5个小时就慢了2×5=10（分钟），这10分钟又慢了20秒，实际走的时间应是5个小时10分钟多，据此解答．
解答： 解：早晨7点按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午12点时，时钟共走了5个小时，因闹钟每小时慢2分钟，时钟走5个小时，5个小时就慢了2×5=10（分钟），这10分钟又慢了20秒，实际走的时间应是5个小时10分钟多，即超过12时10分；
故选：C．
点评： 本题的关键是时钟上走了5小时，实际走了5小时10分，每小时慢2分钟，这10分钟又慢了一些．
38．（长沙）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知0：00时坏表的时间是准确的，那么当坏表是3：00时，实际是（ ）
A． 2：00 B． 2：18 C． 2：24 D． 2：30
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 坏表与标准时间的比是（60+18）：60=13：10，从0：00到3：00坏表经过了3小时，可设标准时间经过了x小时，根据坏表与标准时间的比，可求出实际的时间，据此解答．
解答： 解：设标准时间经过了x小时
（60+18）：60=3：x
13：10=3：x
13x=30
x=2
2时≈2小时18分，所以这时的时刻是2：18．
答：实际时刻是2：18．
故选：B．
点评： 本题的重点是根据坏表与标准时间的比一定，列出方程再进行解答．
39．（长沙）某种表，在7月29日零点比标准时间慢4分半，它一直走到8月5日上午7时，比标准时间快3分，那么这只表时间正确的时刻是 8 月 2 日 9 时．
考点： 时间与钟面．
分析： 据题意可知，7月29日零点至8月5日上午7点共24×7+7=175小时，这段时间误差为4.5+3=7.5×60=450（秒），则每个小时快：450÷175=秒．因为在7月29日零点比标准时间慢4分半，则追上标准时间需要的时间为：4.5×60÷=105小时，一昼夜24小时，105=24×4+9，所以此时8月2日上午9时．
解答： 解：7月29日零点至8月5日上午7点表的误差为：
[（4.5+3）×60]÷（24×7+7）
=450÷175，
=（秒）；
追上标准时间需要的时间为：4.5×60÷=105；
105=24×4+9，
所以此时8月2日上午9时．
故填：8，2，9．
点评： 完成本题的关健是求出在175个小时内每小时的误差是多少．
40．（长沙）现在是10时整，再过 5 分钟，时针与分针第一次垂直．
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 先求出时针和分针每分钟各走多少格子，垂直时两个指针成直角90°；当10时，分针距离时针10个格子，只要分针超过时针5个格子，时针与分针第一次就可以垂直，把5个格子看成路程，时针和分针走的每分钟走的格子数看成速度，用要走的格子数除以它们的速度差即可．
解答： 解：5÷（1﹣）
=5
=5（分钟）
答：再过5分钟，时针与分针第一次垂直．
故答案为：5．
点评： 本题主要考查了学生根据追及问题的计算方法来解答钟面问题的能力．
41．（长沙）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： （1）当时针和分针重合时，分针和时针的位置与7点的距离相等，当时针指向9时，分针指向12，它们相差9×30=270度，根据时间=路程÷速度差，可求出这时的时刻；
（2）时针和分针位于数字“7”的两侧，9点整时，时针与数字7的夹角是6×10=60度，分针与数字7的夹角是6×35=210度，设经过x分钟，两针与7点的距离相等这时时针与数字7的夹角为60+0.5x度，分针与数字7的夹角为210﹣6x度，根据夹角相等可列出方程，求出时间，据此解答．
解答： 解：（1）9×30÷（6﹣0.5）
=9×30÷5.5
=49（分钟）
当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分．
（2）设经过x分钟，两针与7点的距离相等
60+0.5x=210﹣6x
6.5x=150
x=23
当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分．
答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等
点评： 本题的关键是两种情况来进行讨论然后再根据追及问题和列方程的方法进行解答．
42．（广州）小方每天6点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直角时，小方才回家．问小方几点回到家的？
考点： 时间与钟面．
专题： 时钟问题．
分析： 分针60分钟走完360°，每分钟走6°，时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°；6时整时，时针与分针组成一共平角，是180°，六点时，分针落后时针180°，先求出分针追上时针需要的时间，这个过程中分针和时针成一次直角；第二次成直角时，分针又比时针多走90°，再求出又走了多少分钟，进而求出经过的总时间．
解答： 解：分针60分钟走完360°，每分钟走6°；
时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°；
六点时，分针落后时针180°（此处以分针为时间单位）；
那么分针追上时针的时间=180°÷（6°﹣0.5°）=（分）；
这段时间成过一次直角；
第二次成直角所需时间=90°÷（6°﹣0.5°）=（分）；
+==49（分）；
答：所以小明是6点49分回家．
点评： 解决本题关键是找出两次成直角分针要比时针多走多少度．
难点七、智力问题
43．（黔西县）如果每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，那么12人一起从甲地骑车到乙地要（ ）天．
A． 3 B． 1.5 C． 6 D． 12
考点： 智力问题．
专题： 压轴题．
分析： 由于每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，路程一定的情况下，时间只和速度有关系，和人数没有关系，则不论几人从甲地骑车到乙地都要3天，所以12人一起从甲地骑车到乙地要3天．
解答： 解：由于每人骑车的速度相等，6个人一起从甲地到乙地旅游需3天，
那么12人一起从甲地骑车到乙地也要3天．
故选：A．
点评： 完成本题的关键是要排除惯性思维的影响，看到6与12就想到倍数关系．
难点八、最佳方法问题
44．（长沙）某商店规定，3个空汽水瓶换一瓶汽水，某人在这个商店至少需购买 14 瓶汽水就可以喝到21瓶汽水．
考点： 最佳方法问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 因为3个空瓶换一瓶汽水，先买14瓶汽水，向商店先拿一瓶汽水不付钱，喝完后正好是15个空瓶，可以换15÷3=5（瓶）汽水，由于第十五瓶没付钱，所以商店只给4瓶即可，再向商店先拿2瓶汽水不需要付钱，喝完正好是6个空瓶，可以换6÷3=2（瓶）汽水，由于先前拿的2瓶没付钱，所以这两瓶正好还给店家，据此解答即可．
解答： 解：因为3个空瓶换一瓶汽水，先买14瓶汽水，
向商店先拿一瓶汽水不付钱，喝完后正好是15个空瓶，可以换：
15÷3=5（瓶），
由于第十五瓶没付钱，
5﹣1=4（瓶）
所以商店只给4瓶即可，再向商店先拿2瓶汽水不需要付钱，
喝完正好是6个空瓶，可以换：
6÷3=2（瓶），
由于先前拿的2瓶没付钱，所以这两瓶正好还给店家，
15+4+2=21（瓶）
答：买14瓶汽水即可喝到21瓶汽水．
故答案为：14．
点评： 解答本题巧妙在先喝汽水，再还空瓶，这样节省了钱且顾客手中也无空瓶．
45．（长沙）37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船（无船工），他们要全部渡过河，至少要使用这只小船渡河 9 次．
考点： 最佳方法问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由于一只能载5人的小船（无船工），则前面每趟可以渡5﹣1=4人，最后一次可以渡5人，依此可列算式（37﹣5）÷4+1计算即可求解．
解答： 解：（37﹣5）÷4+1
=32÷4+1
=8+1
=9（次）
故答案为：9．
点评： 考查了事物的简单搭配规律，注意小船返回时至少需要一个同学，这是本题要考虑的问题．
46．（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由．
考点： 最佳方法问题．
专题： 优化问题．
分析： 抓住题干中的两种购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为儿童票比团体票便宜，所以学生尽量购买学生票；据此按分开购票、合购团体票、交叉买票，分别算出应付的钱数进行比较，即可解决问题．
解答： 解：（1）①分开购票，
48×2+48÷2×38，
=96+912，
=1008（元）；
②合购团体票，
25×（38+2），
=25×40，
=1000（元）；
③交叉买票：两位老师和8名同学购买团体票，剩下的38﹣8=30名学生购买儿童票，
25×（2+8）+48÷2×30，
=250+720，
=970（元）；
1008＞1000＞970；
所以，两位老师和8名同学购买团体票，30名学生购买儿童票，最划算．
点评： 选用哪种购票方式与大人和学生的多少有关系，如果学生数多于一定数值则购买儿童票合算，如果成人数多于一定数值则购买团体票合算．
47．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
考点： 最佳方法问题．
专题： 优化问题．
分析： 若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x小时，此时，乙和丙各自步行了：4×x=x千米；甲丙，与乙的距离还是32x，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题．
解答： 解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地．
设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，
甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，
那么甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x（小时）
此时，乙和丙各自步行了：4×x=x（千米）
甲丙，与乙的距离还是32x
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：
32x÷（36﹣4）=x（小时）
乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：
36x+x+4x=36
x=36
x=
所以最短用时：
x+x+x=x=×=（小时）
答：三人同时到达的最短时间为小时．
点评： 此题较复杂，应抓住甲乙丙三人行驶的时间、路程以及他们各自间的距离关系这个关键，进而分析解答即可．
48．（广州）如图A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走子，每次必须向上或向右走1步或2步，（走两步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜，甲怎样走才能必胜？
考点： 最佳对策问题．
专题： 数学游戏与最好的对策问题．
分析： 因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B得步数是定的，共20步，而每次必走1或2步，因此，甲先走一次，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．也就是，不论乙走1步，还是2步，甲总能抢到最后1步．以此类推，如果有若干个3步，只要轮到乙先走，甲一定能设法让最后一步留给自己走．
解答： 解：甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．
点评： 此题属于游戏中取胜的策略问题，解答此题的关键是甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，甲先走，因而甲把握主动，从而有必胜的策略．
难点九、数字分组
49．（长沙）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是 （5、21、22）和（15、14、11） ．
考点： 数字分组．
专题： 传统应用题专题．
分析： 先把14、15、21、22分解质因数，看这六个数中共有哪几个质因数，再分摊在两组中，则两组数乘积相等．
解答： 解：因为14=2×7，15=3×5，21=3×7，22=2×11，所以含有相同质因数的两个数不能在同一组，即两组分别为（5、21、22）和（15、14、11）．
故答案为：（5、21、22）和（15、14、11）．
点评： 解答此题的关键是理解“使两组数的乘积相等”这个条件，实质上是要求两组里所含质因数相同，相同的质因数出现的次数也相同．
50．（青羊区校级自主招生）把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为 16 ．
考点： 数字分组．
分析： 先把这几个数分解质因数：33=3×11，51=3×17，65=5×13，77=7×11，85=5×17，91=7×13，要使积相等，则两组数的公因数一样，33和77不能一组，51和85不能一组，65和91不能一组，等等，总之有相等因数的不能一组，由此求解．
解答： 解：33×91×85=51×65×77，
33+91+85=209，
51+65+77=193，
209﹣193=16；
故答案为：16．
点评： 先把这些数分解质因数，再根据要使积相等，则两组数的公因数一样求解．
难点十、重叠问题
51．（宝鸡校级自主招生）某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了 27 角 6 分．
考点： 重叠问题．
专题： 压轴题．
分析： 按照这样收费标准，如果两人在同一标准下（例如都在24度以下，或都在24度以上），那么交的钱数应该是9分或者是2角的倍数，甲比乙多交了9.6角，显然甲用电在24度以上，乙用电在24度以下．
解答： 解：9分=0.9角，2角=20分；
设甲用电（24+X）度，乙用电（24﹣Y）度，
由题意得：2X+0.9Y=9.6；
根据本题实际情况把9.6分成两部分一部分能被0.9整除，一部分被2整除，只能是6+3.6；
所以此方程的整数解：X=3，Y=4；
则甲共交了：24×9+3×20=216+60=276（分）=27角6分；
故答案为：27，6．
点评： 这题是利用数学知识结合实际情况解答身边的问题．
52．（汉阳区）如图，将两个正三角形重叠作出一个星形，在重叠的图形中再作出一个小星形，即阴影部分，已知大星形的面积是40cm2，那么小星形的面积是 10cm2 ．
考点： 重叠问题．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，通过计算推理得出三角形DEF的面积是三角形AOC的面积的，所以，同理可以得出结论：每一个小阴影部分的三角形的面积都等于每一个大一些的三角形面积的，即12个小正三角形（阴影部分）等于12个大一些正三角形面积的；从而可以求出阴影部分的面积，列式为：40×=10cm2；问题得解．
解答： 解：把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，如图所示：
在12个相等的正三角形中，我们先研究其中两个大小正三角形的面积关系，大正三角形AOC被平均分成了4个小正三角形，每一个小正三角形的面积都相等，所以可以得出：
S△AOC=4S△DEF；
同理，12个小正三角形（阴影部分）的面积和等于12个大一些正三角形面积和的；[来源:学&科&网]
所以：阴影部分的面积为：40×=10（cm2）；
答：小星形的面积是10cm2．
故答案为：10cm2．
点评： 本题需要利用分割法把大星形和小星形都平均分成12个相等的正三角形，然后先研究其中两个大小正三角形的面积关系，从而得出大小星形的面积关系．
难点十一、钱币问题
53．（驻马店）175元人民币至少由 4 张纸币组成．
考点： 钱币问题．
专题： 简单应用题和一般复合应用题．
分析： 因为我国现有的人民币的面值有100元，50元，20元，10元，5元，2元，1元…，要用最少的纸币组成175元，就尽量用大面值的纸币．
解答： 解：因为175=100+50+20+5，
所以175元人民币至少由4张纸币组成；
故答案为：4．
点评： 解答此题的关键是理解题意，知道我国现有的人民币的面值，由此即可解答．
54．（重庆）现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有 280 元．
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： 因为第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等，所以第一堆中钱数必为（5+2）的倍数，第二堆中伍元与贰元的钱数相等，所以第二堆钱必为20元的倍数（因至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数），但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是（5+2）×20的倍数，由此即可得出答案．
解答： 解：第一堆中钱数必为5+2=7元的倍数，
因为至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数，所以
第二堆钱必为20元的倍数，
但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是：7×20=140（元）的倍数，
所以至少有：2×140=280（元），
答：这叠纸币至少有280元，
故答案为：280．
点评： 解答此题的关键是，根据题意，用求最小公倍数的方法，求出要求的答案．
55．（浙江）某市出租车的收费标准如下：
里 程 收 费
3千米及3千米以下 8.00元
3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元
3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元
（1）李丽乘出租车从家到外婆家，共付费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？
（2）王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校，他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据“共付费17.6元”，知道先去掉8元，就是去掉3千米的路程的收费，以后按每千米1.6元收费的钱数，由此即可求出相应的路程；
（2）可以按单程，每增加1千米，收费1.60元，和按往返，每增加1千米，收费1.20元，两种情况乘车计费，分别算出付费的钱数，即可得出答案．
解答： 解：（1）17.6﹣8=9.6（元），
9.6÷1.6=6（千米），
6+3=9（千米）；
（2）第一种情况：按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算，
（6×2﹣3）×1.2+8=18.8（元），
第二种情况：按3千米以上，单程，每增加1千米，收费1.6计算，
（12﹣6）×1.6+8×2=25.6（元），
18.8＜25.6；
所以，王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算比较合算，
答：李丽家到外婆家相距9千米；王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2计算比较合算，需付出租车费18.8元．
点评： 解答此题的关键是，理解统计表中的条件，尤其是3千米以上，单程，每增加1千米，及3千米以上，往返，每增加1千米收费情形，解答时一定要分时间段，进行计算．
56．（万安县）甲、乙、丙三个商场销售同一种饮料，饮料分为大瓶、小瓶两种规格，按统一定价：大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，它们分别推出三种优惠措施，甲商场：买大瓶送小瓶；乙商场：一律打九折；丙商场：满30元打八折．下面是A，B，C，D四位顾客的购买情况，请你建议此顾客去哪家商店购买花钱最少，填在下表中
顾客 A B C D
购买情况 10小 5大 4大4小 1大2小
选择商场
考点： 钱币问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，分别算出四位顾客，到三家商场的购买商品时，花费的钱数，比较钱数的多少，即可做出选择．
解答： 解：顾客A：只买10小瓶，
10×2.5=25（元），
只买10小瓶，不能到甲商场购买，因为甲商场买大瓶才送小瓶，他只买小瓶，
不能到丙商场购买，因为他购买的钱数不到30元，不能享受优惠政策，
只能到乙商场购买；
顾客B：只买5个大瓶，
5×10=50（元），
应该到丙商场购买，
顾客C：买4大瓶4小瓶，
10×4+2.5×4=50（元），
如果选甲就是：10×4=40（元），
如果选丙就是：50×0.8=40（元），
所以选甲也可以丙也可以，
顾客D：买1大瓶和2小瓶，
10+2.5×2=15（元），
如果选甲就是：10+2.5=12.5（元），
如果选乙就是：15×0.9=13.5（元），
所以选甲．
故答案依次为：乙，丙，甲或丙，甲．
点评： 解答此题的关键是，根据四位顾客的购买情况，以及商场的优惠政策，算出怎么样最省钱，就到哪家商场购买．
难点十二、简单规划问题
57．（岳麓区）加工某种零件，需要三道工序．第一道工序的工人，每人每天可以完成48个；第二道工序的工人，每人每天可以完成32个；第三道工序的工人，每人每天可以完成28个．问三道工序至少各有多少工人搭配才算合理？
考点： 简单规划问题．
专题： 优化问题．
分析： 先求出48，32和24的最小公倍数，然后用这个最小公倍数分别除以48，32，24即可．
解答： 解：要想搭配合理，那么每道工序完成的零件个数应该相等，
因为：[48，32，24]=672，所以：
第一道工序至少需要工人672÷48=14（人）
第二道工序至少需要工人672÷32=21（人）
第三道工序至少需要工人672÷28=24（人）
答：第一、二、三道工序至少需要工人分别为14人、21人、24人．
点评： 此题考查了晕用最小公倍数的只是解决实际问题的能力．
58．（龙泉驿区）请根据图意说明：如果儿童节要买回一批奖品，你认为应该注意哪些方面？
考点： 简单规划问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 生活中，通常会遇到一些去商场买东西的问题，这个时候，需要你根据自己所带的钱数与要买的商品的单价和数量进行估算，看带的钱数够不够，才能决定买不买，或者买多少．
解答： 解：买东西的时候，要根据自己带的钱数和要买的商品的单价与数量进行估算，
才能够确定买什么价格的商品，买多少件，比如王老师带了100元钱去商场要买20份六一节奖品，
已知甲种奖品的价格是5元一件，乙种奖品的价格是6元一件，那么王老师应该买那种奖品呢？
因为5×20=100元，正好够用，6×20=120元，买乙种奖品的话，王老师带的钱数就不够了．
点评： 此题考查学生解决实际生活问题的能力，培养了学生统筹安排问题的能力．
难点十三、火柴棒问题
59．（武汉）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，使等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
② ．
考点： 火柴棒问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 由题意可知把算式中的“+5”变成“﹣5”，把取下的火柴棒放在等式的右边，“93”变成“83”，等式仍然成立；
或把“27”取下1根火柴棒，变成“21”，则左边减少了6，把火柴棒放在“53”上，变成“59”，则左边又增加了6；所以等式仍然成立，据此即可解答．
解答： 解：根据数字特点以及运算符号分析可得：移动一根火柴，等式仍然成立：
点评： 对于火柴棒问题，要观察题干，根据数字特点结合运算符号进行分析．
难点十四、哈密尔顿圈与哈密尔顿链
60．（慈溪市）圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有多少枚棋子．
考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
专题： 压轴题；探索数的规律．
分析： 设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（39m﹣1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（39m﹣1）+1+32m=310m﹣1枚．然后分情况讨论32m=310m﹣1必须是14的倍数满足的条件即可．
解答： 解：设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m+2m=3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小李拿走了2（39m﹣1）+1枚棋子，所以原来共有N=2（39m﹣1）+1+32m=310m﹣1枚．
如果N=310m﹣1=59049m﹣1是14（2×7）的倍数，那么m必须是奇数，而59049m﹣1=（7×8435+4）m﹣1=7×8435m+4m﹣1是7的倍数，那么4m﹣1就必须是7的倍数，而m=20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m=21，25，27，29时4m﹣1都不是7的倍数，只有m=23时4m﹣1才是7的倍数，所以当N是14的倍数，则圆周上还有23枚棋子．
点评： 本题关键是根据每次取走的个数是余下的个数的2倍，得出总个数310m﹣1枚，难点是分情况讨论310m﹣1必须是14的倍数满足的条件．
相关试卷
【精品】小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用： 这是一份【精品】小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用，共30页。试卷主要包含了数的整除特征，带余除法，数字问题，同余定理，约数个数与约数和定理，位值原则，数字和问题，整除性质等内容，欢迎下载使用。
【精品】小升初数学攻克难点真题解析-特殊专题全国通用： 这是一份【精品】小升初数学攻克难点真题解析-特殊专题全国通用，共40页。试卷主要包含了最大与最小，图形划分，排列组合，筛选与枚举，逻辑推理，时间与钟面，智力问题，最佳方法问题等内容，欢迎下载使用。
小升初数学攻克难点真题解析-空间与图形全国通用： 这是一份小升初数学攻克难点真题解析-空间与图形全国通用，共41页。试卷主要包含了长方形，角的度量，镜面对称，角的概念及其分类，长方形的周长，数对与位置，旋转，平移等内容，欢迎下载使用。
