还剩27页未读，
继续阅读
所属成套资源：小升初数学攻克难点真题解析（共14份）
成套系列资料，整套一键下载
小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用
展开
这是一份小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用，共30页。试卷主要包含了数的整除特征，带余除法，数字问题，同余定理，约数个数与约数和定理，位值原则，数字和问题，整除性质等内容，欢迎下载使用。
数论
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（ ）
A． 323532 B． 38380 C． 978768
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是 ．
3．（2014•长沙县）一个四位数11 既能被25整除，又能被9整除．
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个．
A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
E． 1229
7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是 ．
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 页．
9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是 ．
10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是 ．
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
难点三、数字问题
12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ ）名．
A． 19 B． 20 C． 18 D． 21
13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= ．
15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了 次．
16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？
难点四、同余定理
17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A． 78 B． 88 C． 98 D． 90
难点五、约数个数与约数和定理
18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个
19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数． ． （判断对错）
20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 个因数．
难点六、位值原则
21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 21
23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是 ．
24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是 ．
25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．
26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．
27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．
难点七、数字和问题
28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）
A． 360 B． 340 C． 350 D． 无法求出
29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？
难点八、整除性质
31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（ ）份，每份是米．
A． 18 B． 54 C． 6
32．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数． ．（判断对错）
难点九、奇偶性问题
33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使x﹣1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（ ）
A． p，q都是偶数 B． p，q都是奇数 C． p是奇数，q是偶数 D． p是偶数，q是奇数
34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是 色．
35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是 （填奇数或偶数）．
36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．
（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．
难点十、质数与合数问题
37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是 ．
38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？
难点十一、公约数与公倍数问题
40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生 人，女生 人．
41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书 本．
（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费 元．（用含有x的式子表示）
42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔 米又有一盏不必移动．
43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长 厘米，一共能截成 段．
44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买来 个苹果．
45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
难点十二、整数的裂项与拆分
46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是 ．
47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是 排．
难点十三、数的整除特征
48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．
难点十四、二元一次方程组的求解
49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？
50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．
51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？
难点十五、等量关系与方程
52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．
参考答案与试题解析
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（ ）
A． 323532 B． 38380 C． 978768
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小 数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．
解答： 解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故A正确；
B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故B错误；
C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故C错误．
故选：A．
点评： 掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是 285714 ．
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四捨五入）得1998，再将1998乘143，得出答案．
解答： 解：
先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．
故答案为：285714．
点评： 此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．
3．（2014•长沙县）一个四位数11 25 既能被25整除，又能被9整除．
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求出9、25的最小公倍数是：9×25=225；然后求出是225的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．
解答： 解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，
9、25的最小公倍数是：9×25=225，
因为225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，
所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，
故答案为：25．
点评： 此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是225的倍数．
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答．
解答： 解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，
又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，
再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，
设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，
可得26≤m≤53，
因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7，
在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，
又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数，
19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，
所以m=37或52，
所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，
经检验正好满足题意，
答：所求的四位数是1409或1979．
点评： 根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个．
A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
解答： 解：
所以2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2=12，
12×1+1=13，13不满足5个5个地数却少4个；
12×2+1=25，25不满足5个5个的数却少4个；
12×3+1=37，37不满足5个5个的数却少4个；
12×4+1=49，49不满足5个5个的数却少4个；
12×5+1=61，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：C．
点评： 此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
E． 1229
考点： 带余除法；等差数列．
专题： 数的整除．
分析： 本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．
解答： 解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个），
所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2
=110×11
=1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：C．
点评： 本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是 52 ．
考点： 带余除法．
分析： 由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
解答： 解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，
（105﹣1）÷2=52，
答：这个自然数最小是52．
故答案为：52．
点评： 此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 324 页．
考点： 带余除法．
分析： 设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．
解答： 解：设页数为x，①320＜x＜400；
②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有n=18．
320＜18×18=324＜360．
故答案为：324．
点评： 此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是 23或46 ．
考点： 带余除法．
专题： 数的整除．
分析： 根据题意，可设除数是A，商是B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到AB+21=251，然后再将AB的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．
解答： 解：设除数是A，商是B，
AB+21=251，
AB=230，
230=2×5×23，
因为余数小于除数，
所以这个两位数的除数可能为：23或2×23=46；
即这个两位数的除数可能为：23或46；
故答案为：23或46．
点评： 此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=商×除数+余数；3、分解质因数．
10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是 6a+5 ．
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．
解答： 解：依题意可知，这个数是a×6+5=6a+5．
故答案为：6a+5．
点评： 考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为 x，则根据甲数除以乙数商 2 余 17，得甲数=2x+17．又根据乙数的 10 倍除以甲数商3余45得10x=3（2x+17）+45，列出方程并解方程，即可得解．
解答： 解：设乙数为x，则甲数为2x+17
10x=3（2x+17）+45
10x=6x+51+45
4x=96
x=24
2x+17=2×24+17=65．
答：甲数是 65，乙数是 24．
点评： 灵活应用余数的性质“被除数=除数×商+余数”来解决实际问题．
难点三、数字问题
12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ ）名．
A． 19 B． 20 C． 18 D． 21
考点： 数字问题．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．[来源:学.科.网]
解答： 解：个位上是数字7的有：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；
十位上有7的数字有：70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；
其中77重复，所以一共有：
10+10﹣1=19（个）
答：号码布上有数字7的运动员有19名．
故选：A．
点评： 解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．
13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．
解答： 解：1、2、3、4、5、…、n的和为，
当n=16时，==136＜149
当n=17时，==153＞149，
因为多加了一个数，所以n=16，
多加的数就是：149﹣136=13．
故选：A．
点评： 本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．
14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= 2856 ．
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 一个四位数扩大到3倍后，变成了，通过分析，设abc是x，则3（2000+x）=10x+8，据此解答即可．
解答： 解：设abc是x，则有
3（2000+x）=10x+8
6000+3x=10x+8
5992=7x
x=856
所以这个四位数是2856．
故答案为：2856．
点评： 找出题目突破口：设abc是x，找出等量关系式3（2000+x）=10x+8是解题的关键．
15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了 180 次．
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题应通过分类来解决：当百位为2时；当十位为2时；当个位为2，其他各数位各有几种情况，进而解决问题．
解答： 解：由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．
当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有10×10=100种；
当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有4×10=40种；
当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有4×10=40种；
所以共有100+40+40=180次．
答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．
故答案为：180．
点评： 本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．
16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，五个连续自然数的和是：（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4），然后根据题意列方程解答即可．
解答： 解：设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，
x﹣[（x﹣4）+（x+4）]×=18
x﹣x=18
x=36
x=36
（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4）=5x=36×5=180
答：这五个偶数的和是180．
点评： 根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键．
难点四、同余定理
17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A． 78 B． 88 C． 98 D． 90
考点： 同余定理．
专题： 余数问题．
分析： 除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．
解答： 解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；
A、7+8=15；
15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；
BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．
88÷3=29…1；
98÷3=32…2；
88除以3余1，所以88符合要求．
故选：B．
点评： 本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．
难点五、约数个数与约数和定理
18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 整除性问题．
分析： 根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．
解答： 解：105=3×5×7，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，
答：它的约数共有8个．
故选：C．
点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数． × ． （判断对错）
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 整除性问题．
分析： 根据找一个数的因数的方法进行解答即可．
解答： 解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；
故答案为：×．
点评： 解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．
20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 6 个因数．
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 压轴题．
分析： 因为N最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和=4，则组成加法算式的另一个因数是4﹣1=3；这说明N是3的整倍数．196=N+另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除N外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出N+=196，求出N的值即可解决问题．
解答： 解：因为N最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：4﹣1=3，
由此可知：N是3的倍数，
因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，
所以：N+=196，
N=196，
N=147，
147=3×7×7，
所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．
故答案为：6．
点评： 根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．
难点六、位值原则
21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 位值原则．
专题： 整数的认识．
分析： 设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）=27，进而得出x﹣y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．
解答： 解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得：
（10x+y）﹣（10y+x）=27
10x+y﹣10y﹣x=27
9x﹣9y=27
x﹣y=3，
则x﹣3=y，y+3=x，
因为x、y为小于10的正整数，
所以x=9，8，7，6，5，4；
对应的y=6，5，4，3，2，1
所以10x+y=96，85，74，63，52，41共有6个．
答：满足条件的两位数共有6个．
故选：D．
点评： 对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．
22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 21
考点： 位值原则．
专题： 压轴题；综合填空题．
分析： 设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，原来的数是：x×10+x=x，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是x，个位上数字是x，交换位置后这个数是：10x+x，然后根据新数﹣原数=18列方程解答．
解答： 解：设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，
则：（10x+x）﹣（x×10+x）=18，
x﹣x=18，
3x=18，
x=6，
十位是：6×=4，
则原来这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；
故选：B．
点评： 根据十位上的数字是个位上数字的，设原来数字个位上的数是x，用未知数表示出十位上的数，进而表示出这个数是解答本题的关键．
23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是 85 ．
考点： 位值原则．
专题： 探索数的规律．
分析： 设这个两位数是x，这两个三位数的差是666，可知较大的三位数大于666，因此将1放在该两位数后面得到的三位数较大．
则有（10x+1）﹣（100+x）=666，解方程即可．
解答： 解：设原来的两位数是x，由题意得：
（10x+1）﹣（100+x）=666，
9x=765，
x=85．
答：原来的两位数是85．
故答案为：85．
点评： 此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母来表示数字，通过列出等式来解决．
24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是 14、25、36、47、58、69 ．
考点： 位值原则．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可以设原数为AB，新数则为BA，A、B≥1，根据题意，得：BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=127；推得B﹣A=3．即原来个位比十位大2的数均符合题意，据此即可推出答案．
解答： 解：设原数为AB，新数为BA，A、B≥1，有
BA﹣AB
=10B+A﹣（10A+B）
=9B﹣9A
=9（B﹣A）
=27；
推得B﹣A=3．即原来个位比十位大3的数均符合题意，有：
14、25、36、47、58、69 这6个．
故答案为：14、25、36、47、58、69．
点评： 此题解答的关键是由后来的两位数，推出：个位数字﹣十位数字=27÷9=3．
25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．
考点： 位值原则．
分析： 设个位是a，十位a+1，百位17﹣a﹣a﹣1=16﹣2a．根据题意列出方程：100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解这个方程，求出个位数字，然后再求十位与百位数字，解决问题．
解答： 解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16﹣2a，
根据题意列方程100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，
解得a=6，则a+1=7，16﹣2a=4；
答：原数为476．
点评： 解决位值问题，一般要用字母表示各位数字，通过解方程求得．
26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．
考点： 位值原则．
专题： 压轴题．
分析： 设这个六位数为x，因为它的6倍还是6位数，所以其左边第一位一定为1；由于x的1～6倍的数的数字原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，所以1肯定也在个位出现过，而只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以x的个位为7，又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2．则这几个数在x的1～6倍数中个位肯定出现，则在其它位数也定出现，即这个六位数及其它1～6倍的数都是由7、4、1、8、5、2这六个数字组成，只是顺序不一样．由此可得这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过．1+2+4+5+7+8=27，根据位值原则可知，这六个六位的和为100000×27+10000×27+1000×27+100×27+27=2999997，即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997，x=142857．即这个六位数为142857．
解答： 解：设这个六位数为x，据题意可知其左边第一位一定为1；
则只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以x的个位为7；
又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2；
7、4、1、8、5、这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过，
1+2+4+5+7+8=27，根据位值原则可知，这六个六位的和为：
100000×27+10000×27+1000×27+100×27+27=2999997，[来源:Z,xx,k.Com]
即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997，x=142857；
所以这个六位数为142857．
点评： 完成本题的关健是先据条件分析出首尾两个数是几，再逐步分析出其它数字，然后据位值原则进行解答．
27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．
考点： 位值原则．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可设原来的两位数是ab，则有a+b=12，10a+b﹣54=10b+a，由此即可推出a、b的值，进而解决问题．
解答： 解：设原来的两位数是ab，则有：
a+b=12，①
10a+b﹣54=10b+a，②
由②得：
9（a﹣b）=54，
a﹣b=6，③
①+②得：
2a=18，
a=9，
则b=3．
因此，原来的两位数是93．
答：原来的两位数是93．
点评： 此题采用了用字母代替数的方法，根据题意，列出等式，通过化简，解决问题．
难点七、数字和问题
28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）
A． 360 B． 340 C． 350 D． 无法求出
考点： 数字和问题．
分析： 根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连续自然数，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数也就出来了，求和即可．
解答： 解：5个连续自然数的和是315，那么中间的数是315÷5=63，这5个连续的数是61、62、63、64、65；
紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、67、68、69、70，和为：66+67+68+69+70=340．
故选：B．
点评： 此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数．
29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
考点： 数字和问题．
分析： 本题可更理解为把100最多能分解为多少个不同加数的和，就先找到10个小朋友平均每人分几个100÷10=10个，因为10是偶数，所以中间两个是9和11，故100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
解答： 解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，
因为共有10个不同的加数．
所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
点评： 完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答．
30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？
考点： 数字和问题．
专题： 压轴题．
分析： 从1开始的若干个连续的奇数为等差数列，因为擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为2008，则此等差数列的和为奇数，奇数数列从1加到2n﹣1的和据高斯求和公式可表示为：（1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008，又因为442=1936＜2008，452=2025＞2008；所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17．
解答： 解：奇数数列从1加到2n﹣1的和为：
（1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008，
又因为442=1936＜1998，452=2025＞2008；
所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17．
答：擦去的奇数是17．
点评： 考查了数字和问题，本题要在了解高斯求和公式的基础分析完成．
难点八、整除性质
31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（ ）份，每份是米．
A． 18 B． 54 C． 6
考点： 整除性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，就是求米里面有几个米，由此列式解答并作出选择．
解答： 解：÷=6（份）．
故选：C．
点评： 此题关键是理解题意，就是求一个数里面有几个另一个数，用除法计算．
32．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数． 正确 ．（判断对错）
考点： 整除性质．
专题： 压轴题．
分析： 设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2．其和为：a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
解答： 解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为：
a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1）．
所以，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
故答案为：正确．
点评： 本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出个连续自然数的和是3的倍数的．
难点九、奇偶性问题
33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使x﹣1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（ ）
A． p，q都是偶数 B． p，q都是奇数 C． p是奇数，q是偶数 D． p是偶数，q是奇数
考点： 奇偶性问题．
专题： 奇数偶数问题．[来源:学,科,网]
分析： 由于偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，1998是偶数，则1998y是偶数，199与3是奇数，又偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，n是偶数，又x﹣1998y=n，所以x一定是偶数，所以199x是偶数，199x+3y=m，又m奇数，199x是偶数，所以3y是奇数，则y是奇数．
解答： 解：由于1998y一定是偶数，
又n是偶数，x﹣1998y=n，
所以x是偶数．
由于199x是偶数，m奇数，
又199x+3y=m，
所以3y是奇数，则y是奇数．
又x=p，y=q，
所以p是偶数，q是奇数．
故选：D．
点评： 本题考查了学生对于数的奇偶数的理解与应用．
34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是 黑 色．
考点： 奇偶性问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据此黑白相间的方格纸，知道：“行数+列数=奇数”时为白色，“行数+列数=偶数”时为黑色，而19+93为偶数，由此即可得出答案．
解答： 解：因为，行数+列数=奇数时，方格为白色，
行数+列数=偶数时，方格为黑色，
而19+93=112，112为偶数，
所以（19，93）这一格是黑色；
故答案为：黑．
点评： 解答此题的关键是，根据所给出的数表，找出方格纸的黑、白相间的规律，利用奇偶性即可解答．
35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是 偶数 （填奇数或偶数）．
考点： 奇偶性问题．
分析： 据题意可知，在121+122+…+170中共有奇数（170+1﹣121）÷2=25（个），所以121+122+…+170是25个奇数之和再加上一些偶数，其和为奇数，同理可求出在41+42+…+98中共有奇数29个，其和为奇数，所以奇数减奇数，其差为偶数．
解答： 解：在121+122+…+170中共有奇数（170+1﹣121）÷2=25（个），
所以121+122+…+170，其和为奇数；
在41+42+…+98中共有奇数（98+1﹣21）÷2=29（个），其和为奇数．
故答案为：偶数．
点评： 本题关健是先求出式中两括号中数据的和是偶数还是奇数之后才能确定它们的差的奇偶性．
36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．
（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．
考点： 奇偶性问题．
专题： 压轴题．
分析： （1）本题可据数的奇偶性进行分析，如图从P点到A点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．
（2）某人进入水中时脱鞋，上岸时穿鞋，从每从水中到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2，即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上，脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中，在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，所以B点一定在水中．
解答： 解：（1）如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．
答：A点处于水中．
（2）由于从进入水中再到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2，
即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上；
脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中；
在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，
所以B点一定在水中．
答：B点一定在水中．
点评： 本题主要考查了通过数的奇偶性判断位置的能力．
难点十、质数与合数问题
37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是 89 ．
考点： 质数与合数问题．
专题： 数性的判断专题．
分析： 先找到两位数的质数，要想三个质数的和最小，那么我们在选择质数时也要尽可能选择小进行分析：①三个质数十位分别是1、2、3；②三个质数十位分别是1、2、4；依此排查即可求解．
解答： 解：两位数的质数有：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
要想三个质数的和最小，那么我们在选择质数时也要尽可能选择小：
①三个质数十位分别是1、2、3，这样个位就不能选1、2、3这三个数字，那么只能选17、29，但此时31、37、都出现了之前选过的数字，所以找不到满足条件的；
②三个质数十位分别是1、2、4，这样个位就不能选1、2、4这三个数字，那么可以选13、17（与13不能同时选）、23（与13不能同时选）、29、43（与13、23不能同时选）、47（与17不能同时选），所以有13、29、47或者17、29、43这两种选择，由于13+29+47=89，17+29+43=89，89是质数，满足条件．
综上所述，这三个质数的和是，这三个质数分别为13、29、47或者17、29、43．
故答案为：89．
点评： 考查了质数与合数问题，关键是巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97．
38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
考点： 质数与合数问题．
专题： 数的整除．
分析： ①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为2、3、7，2、3、7都是质数；
②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有23，37，73；
③因为2+3+7=12，12能被3整除，所以由2、3.7按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数；
故满足要求的质数有2、3、7、23、37、73这五个．
解答： 解：有6个质数，分别是2、3、7、23、37、73．
答：其中有5个质数：2、3、7、23、37、73．
点评： 本题采用边列举、边排除的策略求解．在抽二张卡片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：23，27，32，37，72，73．再将三个合数27，32，72排除即可．
39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？
考点： 质数与合数问题．
专题： 压轴题．[来源:学科网]
分析： 由题意，例如：在2、3、4、5、6、7、8、9、10这9个数中，有4个质数，这也是最多的，因为任意连续9个自然数中至少有4个偶数，剩下的五个奇数中至少有一个是3的倍数．
解答： 解：这个问题依据两个事实：
（1）除2之外，偶数都是合数；
（2）九个连续自然数中，一定含有5的倍数．以下分两种情况讨论：
①九个连续自然数中最小的大于5，这时其中至多有5个奇数，而这5个奇数中一定有一个是5的倍数，即其中质数的个数不超过4个；
②九个连续的自然数中最小的数不超过5，有下面几种情况：
1，2，3，4，5，6，7，8，9；
2，3，4，5，6，7，8，9，10；
3，4，5，6，7，8，9.10，11；
4，5，6，7，8，9，10，11，12；
5，6，7，8，9，10，11，12，13；
这几种情况中，其中质数个数均不超过4．
综上所述，在九个连续自然数中，至多有4个质数．
答：九个连续自然数中，至多有4个质数．
点评： 本题考查了质数的意义以及对数的列举能力，分析判断能力等．
难点十一、公约数与公倍数问题
40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生 20 人，女生 24 人．
考点： 公约数与公倍数问题；找一个数的倍数的方法．
专题： 比和比例；约数倍数应用题．
分析： 本题可先根据男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例为5：6，如果男生有5人的话，女生有6人，班里共5+6=11人，所以班里人的总数一定是11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人，然后，再根据男女生比求出男生有多少人，从而求解．
解答： 解：男女生比例为5：6，所以班内人数总数一定为5+6=11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人．
男生有：44×=20（人）；
女生有：44﹣20=24（人）．
答：这个班男生有20人，女生有24人．
故答案为：20，24．
点评： 本题的关健是根据男女生的比例及人数范围确定好全班人数是多少．
41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书 70 本．
（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费 0.31x+30 元．（用含有x的式子表示）
考点： 公约数与公倍数问题；用字母表示数．
专题： 压轴题；用字母表示数；约数倍数应用题．
分析： （1）由于书的本数一定是整数，故书架存书的数目一定是5和7的公倍数，在100以内，5和7的公倍数只有35和70，由于书的数目在60﹣100之间，故有书70本；
（2）先求出用电高峰时段用电x千瓦时的电费，又因为6月份的用电量为100千瓦时，所以用电低谷时段的用电量是（100﹣x）千瓦时，由此算出用电低谷时段的电费，最后把用电高峰时段的电费与用电低谷时段的电费加起来就是要求的答案．
解答： 解：（1）5和7的最小公倍数是35，
因为存书的本数在60～100本，则应为：35×2=70（本）；
答：书架上存书70本；
（2）设电高峰时段用电x千瓦时的电费，
0.61×x+（100﹣x）×0.30，
=0.61x+30﹣0.3x，
=0.31x+30（元），
答：他家6月份需付电费0.31x+30元，
故答案为：70；0.31x+30．
点评： （1）解答此题应明确即求60～100之间的5和7的最小公倍数，根据是互质数的两个数的最小公倍数即这两个数的成乘积，解答即可．
（2）解答此题的关键是，把所给出的字母当做已知数，再根据基本的数量关系解决问题．
42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔 120 米又有一盏不必移动．
考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 由题意可知：不必移动的路灯距离起点的距离的米数既是40的倍数，又是60的倍数，是40与60的公倍数．40与60的最小公倍数是120，所以第一盏不必移动的路灯距离起点120米，以后每隔120米的那盏都不必移动．
解答： 解：因为40和60的最小公倍数是120，
所以至少再隔120米又有一盏不必移动；
答：至少再隔120米又有一盏不必移动．
故答案为：120．
点评： 解决此题的关键是求出40和60的最小公倍数，从而问题得解．
43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长 60 厘米，一共能截成 10 段．
考点： 公约数与公倍数问题；求几个数的最大公因数的方法．
分析： 求120、180、300的最大公因数就是每段最长厘米数，然后用总厘米数除以每段厘米数可得段数．
解答： 解：120=2×2×2×3×5，
180=2×2×3×3×5，
300=2×2×3×5×5，
2×2×3×5=60（厘米），
（120+180+300）÷60，
=600÷60，
=10（段）．
答：每段最长60厘米，一共可以截10段．
故答案为：60，10．
点评： 考查了公约数问题，解答该题关键是会求三个数的最大公因数，并用它解决实际问题．
44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买来 48 个苹果．
考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 先求出2、3、4的最小公倍数，再找到2、3、4的公倍数在40～50之间的数即为所求．
解答： 解：因为4÷2=2，
所以2、3、4的最小公倍数即为3、4的最小公倍数，
3、4的最小公倍数是3×4=12，
因为12×4=48，苹果总数在40～50之间，
所以一共买来48个苹果．
故答案为：48．
点评： 此题考查了公倍数问题，解答该题关键是会求三个数的最小公倍数，并用它解决实际问题．
45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
考点： 公约数与公倍数问题；植树问题．
分析： 共有（53﹣1）=52个间隔，总长45×52=2340米，45，60的最小公倍数180，2340÷180=13个，
由于2340也是180的倍数，所以中间还有13﹣1=12根不必移动．
解答： 解：从甲地到乙地一共长：45×（53﹣2）=2340（米），
45和60的最小公倍数是：180；
2340÷180﹣1，
=12（根）；
答：中间还有12跟不必移动．
点评： 此题应先算出从甲地到乙地的总长度，然后找出45和60的最小公倍数，进而根据题意，列出算式，解答即可．
难点十二、整数的裂项与拆分
46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是 9 ．
考点： 整数的裂项与拆分．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 根据自然数的意义知道，相邻的两个自然数相差1，设最小的是X，最大的是X+10，这11个连续的自然数的和是（X+X+10）×11÷2，又它们的和是154，列出方程，求出X即可．
解答： 解：设最小的是X，最大的是X+10，有题意得：
（X+X+10）×11÷2=154
（2X+10）×11=308
2X+10=28
2X=18
X=9
故答案为：9．
点评： 此题主要考查连续自然数的特点，即每相邻两个自然数相差1．
47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是 23 排．
考点： 整数的裂项与拆分．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 把391分解因数为：391=17×23=1×391，因为23﹣17=6，391﹣1=390，所以小红的电影票是23排17号．
解答： 解：根据391=17×23=1×391，可得：
23﹣17=6，391﹣1=390，
因为座位号比排数小6，
所以只有23﹣17=6，符合要求，所以小红的电影票是23排17号．
故答案为：23．
点评： 本题是比较简单的整数的裂项与拆分，关键是把391拆成两个自然数的积，再根据已知条件去掉不符合要求的数．
难点十三、数的整除特征
48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 如果一个数能被9整除，这个数的各位数字之和就能被9整除，据此解答．
解答： 解：因为1+1+2+4=8，
在1～9这几个数中，
只有8+5+5=18能被9整除，
因此A=5．
答：A等于5．
点评： 本题考查了数的整除特征．解答的关键在于了解一个数能被9整除的特征．
难点十四、二元一次方程组的求解
49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据题意，设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米，则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米，然后根据速度×时间=路程，分别求出两个港口之间的距离，列出二元一次方程组，求出船在静水中的速度和水流速度即可．
解答： 解：设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米，
则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米，
所以
因此
解得．
答：船在静水中的速度是每小时25千米，水流速度是每小时5千米．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据题意，设每袋大米的重量是x千克，每袋面粉的重量是y千克，则6袋大米和3袋面粉的重量是6x+3y千克，6袋大米和5袋面粉的重量是6x+5y千克，然后根据6袋大米和3袋面粉共重330千克，5袋面粉和6袋大米共重390千克，列出二元一次方程组，求出每袋大米和每袋面粉的重量即可．
解答： 解：根据题意，设每袋大米的重量是x千克，每袋面粉的重量是y千克，
则6袋大米和3袋面粉的重量是6x+3y千克，6袋大米和5袋面粉的重量是6x+5y千克，
所以，
②﹣①，可得2y=60，
解得y=30…③，
③代入①，可得x=40，
因此每袋大米重量是40千克，每袋面粉的重量是30千克．
答：每袋大米重量是40千克，每袋面粉的重量是30千克．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据每个儿子结果分的一样多，可以设每个儿子分X两白银，这位父亲总共有z两白银，有Z÷x个儿子，那么：第一个儿子分得银两x=100+；第二个儿子分得银两 x=200+由以上列式得出，x=900（两），Z=8100（两）．所以这位父亲一共有8100/900个儿子，即9个儿子．
解答： 解：因为每个儿子分的一样多，设每个儿子分x元，这位父亲总共有Z元，根据题意可得方程组：
由上式可得：
100+
有：1000+z﹣100=2000+z﹣x﹣200
900+z=1800+z﹣x
x=900
把x=900代入方程组中的第一个方程，可以求得z=8100，
所以这位父亲有儿子：8100÷900=9（个），
答：这位父亲一共有财产8100元，有9个儿子，每个儿子分得900元．
点评： 考查二元一次方程组的应用；得到老大和老二分得遗产的等量关系式是解决本题的突破点．
难点十五、等量关系与方程
52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．
考点： 等量关系与方程．
专题： 称球问题．
分析： 设在右边第5格处必须挂x克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，然后杠杆平衡原理，列出方程，求出x的值，即可求出在右边第5格处必须挂多少克砝码．
解答： 解：设在右边第5格处必须挂x克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，
则（20×4）×1=5x
5x=80
5x÷5=80÷5
x=16
答：在右边第5格处必须挂16克砝码，才能使平衡架平衡．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键；此题还考查了杠杆平衡原理的应用．
数论
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（ ）
A． 323532 B． 38380 C． 978768
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是 ．
3．（2014•长沙县）一个四位数11 既能被25整除，又能被9整除．
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个．
A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
E． 1229
7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是 ．
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 页．
9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是 ．
10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是 ．
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
难点三、数字问题
12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ ）名．
A． 19 B． 20 C． 18 D． 21
13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= ．
15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了 次．
16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？
难点四、同余定理
17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A． 78 B． 88 C． 98 D． 90
难点五、约数个数与约数和定理
18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个
19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数． ． （判断对错）
20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 个因数．
难点六、位值原则
21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 21
23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是 ．
24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是 ．
25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．
26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．
27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．
难点七、数字和问题
28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）
A． 360 B． 340 C． 350 D． 无法求出
29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？
难点八、整除性质
31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（ ）份，每份是米．
A． 18 B． 54 C． 6
32．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数． ．（判断对错）
难点九、奇偶性问题
33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使x﹣1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（ ）
A． p，q都是偶数 B． p，q都是奇数 C． p是奇数，q是偶数 D． p是偶数，q是奇数
34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是 色．
35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是 （填奇数或偶数）．
36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．
（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．
难点十、质数与合数问题
37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是 ．
38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？
难点十一、公约数与公倍数问题
40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生 人，女生 人．
41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书 本．
（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费 元．（用含有x的式子表示）
42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔 米又有一盏不必移动．
43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长 厘米，一共能截成 段．
44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买来 个苹果．
45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
难点十二、整数的裂项与拆分
46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是 ．
47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是 排．
难点十三、数的整除特征
48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．
难点十四、二元一次方程组的求解
49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？
50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．
51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？
难点十五、等量关系与方程
52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．
参考答案与试题解析
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（ ）
A． 323532 B． 38380 C． 978768
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小 数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．
解答： 解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故A正确；
B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故B错误；
C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故C错误．
故选：A．
点评： 掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是 285714 ．
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四捨五入）得1998，再将1998乘143，得出答案．
解答： 解：
先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．
故答案为：285714．
点评： 此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．
3．（2014•长沙县）一个四位数11 25 既能被25整除，又能被9整除．
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求出9、25的最小公倍数是：9×25=225；然后求出是225的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．
解答： 解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，
9、25的最小公倍数是：9×25=225，
因为225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，
所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，
故答案为：25．
点评： 此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是225的倍数．
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答．
解答： 解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，
又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，
再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，
设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，
可得26≤m≤53，
因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7，
在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，
又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数，
19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，
所以m=37或52，
所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，
经检验正好满足题意，
答：所求的四位数是1409或1979．
点评： 根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个．
A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
解答： 解：
所以2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2=12，
12×1+1=13，13不满足5个5个地数却少4个；
12×2+1=25，25不满足5个5个的数却少4个；
12×3+1=37，37不满足5个5个的数却少4个；
12×4+1=49，49不满足5个5个的数却少4个；
12×5+1=61，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：C．
点评： 此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
E． 1229
考点： 带余除法；等差数列．
专题： 数的整除．
分析： 本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．
解答： 解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个），
所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2
=110×11
=1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：C．
点评： 本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是 52 ．
考点： 带余除法．
分析： 由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
解答： 解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，
（105﹣1）÷2=52，
答：这个自然数最小是52．
故答案为：52．
点评： 此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 324 页．
考点： 带余除法．
分析： 设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．
解答： 解：设页数为x，①320＜x＜400；
②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有n=18．
320＜18×18=324＜360．
故答案为：324．
点评： 此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是 23或46 ．
考点： 带余除法．
专题： 数的整除．
分析： 根据题意，可设除数是A，商是B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到AB+21=251，然后再将AB的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．
解答： 解：设除数是A，商是B，
AB+21=251，
AB=230，
230=2×5×23，
因为余数小于除数，
所以这个两位数的除数可能为：23或2×23=46；
即这个两位数的除数可能为：23或46；
故答案为：23或46．
点评： 此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=商×除数+余数；3、分解质因数．
10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是 6a+5 ．
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．
解答： 解：依题意可知，这个数是a×6+5=6a+5．
故答案为：6a+5．
点评： 考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为 x，则根据甲数除以乙数商 2 余 17，得甲数=2x+17．又根据乙数的 10 倍除以甲数商3余45得10x=3（2x+17）+45，列出方程并解方程，即可得解．
解答： 解：设乙数为x，则甲数为2x+17
10x=3（2x+17）+45
10x=6x+51+45
4x=96
x=24
2x+17=2×24+17=65．
答：甲数是 65，乙数是 24．
点评： 灵活应用余数的性质“被除数=除数×商+余数”来解决实际问题．
难点三、数字问题
12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ ）名．
A． 19 B． 20 C． 18 D． 21
考点： 数字问题．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．[来源:学.科.网]
解答： 解：个位上是数字7的有：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；
十位上有7的数字有：70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；
其中77重复，所以一共有：
10+10﹣1=19（个）
答：号码布上有数字7的运动员有19名．
故选：A．
点评： 解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．
13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．
解答： 解：1、2、3、4、5、…、n的和为，
当n=16时，==136＜149
当n=17时，==153＞149，
因为多加了一个数，所以n=16，
多加的数就是：149﹣136=13．
故选：A．
点评： 本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．
14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= 2856 ．
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 一个四位数扩大到3倍后，变成了，通过分析，设abc是x，则3（2000+x）=10x+8，据此解答即可．
解答： 解：设abc是x，则有
3（2000+x）=10x+8
6000+3x=10x+8
5992=7x
x=856
所以这个四位数是2856．
故答案为：2856．
点评： 找出题目突破口：设abc是x，找出等量关系式3（2000+x）=10x+8是解题的关键．
15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了 180 次．
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题应通过分类来解决：当百位为2时；当十位为2时；当个位为2，其他各数位各有几种情况，进而解决问题．
解答： 解：由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．
当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有10×10=100种；
当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有4×10=40种；
当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有4×10=40种；
所以共有100+40+40=180次．
答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．
故答案为：180．
点评： 本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．
16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？
考点： 数字问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，五个连续自然数的和是：（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4），然后根据题意列方程解答即可．
解答： 解：设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，
x﹣[（x﹣4）+（x+4）]×=18
x﹣x=18
x=36
x=36
（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4）=5x=36×5=180
答：这五个偶数的和是180．
点评： 根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键．
难点四、同余定理
17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A． 78 B． 88 C． 98 D． 90
考点： 同余定理．
专题： 余数问题．
分析： 除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．
解答： 解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；
A、7+8=15；
15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；
BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．
88÷3=29…1；
98÷3=32…2；
88除以3余1，所以88符合要求．
故选：B．
点评： 本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．
难点五、约数个数与约数和定理
18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 整除性问题．
分析： 根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．
解答： 解：105=3×5×7，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，
答：它的约数共有8个．
故选：C．
点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数． × ． （判断对错）
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 整除性问题．
分析： 根据找一个数的因数的方法进行解答即可．
解答： 解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；
故答案为：×．
点评： 解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．
20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 6 个因数．
考点： 约数个数与约数和定理．
专题： 压轴题．
分析： 因为N最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和=4，则组成加法算式的另一个因数是4﹣1=3；这说明N是3的整倍数．196=N+另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除N外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出N+=196，求出N的值即可解决问题．
解答： 解：因为N最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：4﹣1=3，
由此可知：N是3的倍数，
因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，
所以：N+=196，
N=196，
N=147，
147=3×7×7，
所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．
故答案为：6．
点评： 根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．
难点六、位值原则
21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 位值原则．
专题： 整数的认识．
分析： 设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）=27，进而得出x﹣y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．
解答： 解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得：
（10x+y）﹣（10y+x）=27
10x+y﹣10y﹣x=27
9x﹣9y=27
x﹣y=3，
则x﹣3=y，y+3=x，
因为x、y为小于10的正整数，
所以x=9，8，7，6，5，4；
对应的y=6，5，4，3，2，1
所以10x+y=96，85，74，63，52，41共有6个．
答：满足条件的两位数共有6个．
故选：D．
点评： 对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．
22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 21
考点： 位值原则．
专题： 压轴题；综合填空题．
分析： 设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，原来的数是：x×10+x=x，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是x，个位上数字是x，交换位置后这个数是：10x+x，然后根据新数﹣原数=18列方程解答．
解答： 解：设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，
则：（10x+x）﹣（x×10+x）=18，
x﹣x=18，
3x=18，
x=6，
十位是：6×=4，
则原来这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；
故选：B．
点评： 根据十位上的数字是个位上数字的，设原来数字个位上的数是x，用未知数表示出十位上的数，进而表示出这个数是解答本题的关键．
23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是 85 ．
考点： 位值原则．
专题： 探索数的规律．
分析： 设这个两位数是x，这两个三位数的差是666，可知较大的三位数大于666，因此将1放在该两位数后面得到的三位数较大．
则有（10x+1）﹣（100+x）=666，解方程即可．
解答： 解：设原来的两位数是x，由题意得：
（10x+1）﹣（100+x）=666，
9x=765，
x=85．
答：原来的两位数是85．
故答案为：85．
点评： 此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母来表示数字，通过列出等式来解决．
24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是 14、25、36、47、58、69 ．
考点： 位值原则．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可以设原数为AB，新数则为BA，A、B≥1，根据题意，得：BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=127；推得B﹣A=3．即原来个位比十位大2的数均符合题意，据此即可推出答案．
解答： 解：设原数为AB，新数为BA，A、B≥1，有
BA﹣AB
=10B+A﹣（10A+B）
=9B﹣9A
=9（B﹣A）
=27；
推得B﹣A=3．即原来个位比十位大3的数均符合题意，有：
14、25、36、47、58、69 这6个．
故答案为：14、25、36、47、58、69．
点评： 此题解答的关键是由后来的两位数，推出：个位数字﹣十位数字=27÷9=3．
25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．
考点： 位值原则．
分析： 设个位是a，十位a+1，百位17﹣a﹣a﹣1=16﹣2a．根据题意列出方程：100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解这个方程，求出个位数字，然后再求十位与百位数字，解决问题．
解答： 解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16﹣2a，
根据题意列方程100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，
解得a=6，则a+1=7，16﹣2a=4；
答：原数为476．
点评： 解决位值问题，一般要用字母表示各位数字，通过解方程求得．
26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．
考点： 位值原则．
专题： 压轴题．
分析： 设这个六位数为x，因为它的6倍还是6位数，所以其左边第一位一定为1；由于x的1～6倍的数的数字原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，所以1肯定也在个位出现过，而只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以x的个位为7，又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2．则这几个数在x的1～6倍数中个位肯定出现，则在其它位数也定出现，即这个六位数及其它1～6倍的数都是由7、4、1、8、5、2这六个数字组成，只是顺序不一样．由此可得这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过．1+2+4+5+7+8=27，根据位值原则可知，这六个六位的和为100000×27+10000×27+1000×27+100×27+27=2999997，即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997，x=142857．即这个六位数为142857．
解答： 解：设这个六位数为x，据题意可知其左边第一位一定为1；
则只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以x的个位为7；
又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2；
7、4、1、8、5、这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过，
1+2+4+5+7+8=27，根据位值原则可知，这六个六位的和为：
100000×27+10000×27+1000×27+100×27+27=2999997，[来源:Z,xx,k.Com]
即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997，x=142857；
所以这个六位数为142857．
点评： 完成本题的关健是先据条件分析出首尾两个数是几，再逐步分析出其它数字，然后据位值原则进行解答．
27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．
考点： 位值原则．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可设原来的两位数是ab，则有a+b=12，10a+b﹣54=10b+a，由此即可推出a、b的值，进而解决问题．
解答： 解：设原来的两位数是ab，则有：
a+b=12，①
10a+b﹣54=10b+a，②
由②得：
9（a﹣b）=54，
a﹣b=6，③
①+②得：
2a=18，
a=9，
则b=3．
因此，原来的两位数是93．
答：原来的两位数是93．
点评： 此题采用了用字母代替数的方法，根据题意，列出等式，通过化简，解决问题．
难点七、数字和问题
28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）
A． 360 B． 340 C． 350 D． 无法求出
考点： 数字和问题．
分析： 根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连续自然数，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数也就出来了，求和即可．
解答： 解：5个连续自然数的和是315，那么中间的数是315÷5=63，这5个连续的数是61、62、63、64、65；
紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、67、68、69、70，和为：66+67+68+69+70=340．
故选：B．
点评： 此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数．
29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
考点： 数字和问题．
分析： 本题可更理解为把100最多能分解为多少个不同加数的和，就先找到10个小朋友平均每人分几个100÷10=10个，因为10是偶数，所以中间两个是9和11，故100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
解答： 解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，
因为共有10个不同的加数．
所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
点评： 完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答．
30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？
考点： 数字和问题．
专题： 压轴题．
分析： 从1开始的若干个连续的奇数为等差数列，因为擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为2008，则此等差数列的和为奇数，奇数数列从1加到2n﹣1的和据高斯求和公式可表示为：（1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008，又因为442=1936＜2008，452=2025＞2008；所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17．
解答： 解：奇数数列从1加到2n﹣1的和为：
（1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008，
又因为442=1936＜1998，452=2025＞2008；
所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17．
答：擦去的奇数是17．
点评： 考查了数字和问题，本题要在了解高斯求和公式的基础分析完成．
难点八、整除性质
31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（ ）份，每份是米．
A． 18 B． 54 C． 6
考点： 整除性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，就是求米里面有几个米，由此列式解答并作出选择．
解答： 解：÷=6（份）．
故选：C．
点评： 此题关键是理解题意，就是求一个数里面有几个另一个数，用除法计算．
32．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数． 正确 ．（判断对错）
考点： 整除性质．
专题： 压轴题．
分析： 设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2．其和为：a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
解答： 解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为：
a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1）．
所以，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
故答案为：正确．
点评： 本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出个连续自然数的和是3的倍数的．
难点九、奇偶性问题
33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使x﹣1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（ ）
A． p，q都是偶数 B． p，q都是奇数 C． p是奇数，q是偶数 D． p是偶数，q是奇数
考点： 奇偶性问题．
专题： 奇数偶数问题．[来源:学,科,网]
分析： 由于偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，1998是偶数，则1998y是偶数，199与3是奇数，又偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，n是偶数，又x﹣1998y=n，所以x一定是偶数，所以199x是偶数，199x+3y=m，又m奇数，199x是偶数，所以3y是奇数，则y是奇数．
解答： 解：由于1998y一定是偶数，
又n是偶数，x﹣1998y=n，
所以x是偶数．
由于199x是偶数，m奇数，
又199x+3y=m，
所以3y是奇数，则y是奇数．
又x=p，y=q，
所以p是偶数，q是奇数．
故选：D．
点评： 本题考查了学生对于数的奇偶数的理解与应用．
34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是 黑 色．
考点： 奇偶性问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据此黑白相间的方格纸，知道：“行数+列数=奇数”时为白色，“行数+列数=偶数”时为黑色，而19+93为偶数，由此即可得出答案．
解答： 解：因为，行数+列数=奇数时，方格为白色，
行数+列数=偶数时，方格为黑色，
而19+93=112，112为偶数，
所以（19，93）这一格是黑色；
故答案为：黑．
点评： 解答此题的关键是，根据所给出的数表，找出方格纸的黑、白相间的规律，利用奇偶性即可解答．
35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是 偶数 （填奇数或偶数）．
考点： 奇偶性问题．
分析： 据题意可知，在121+122+…+170中共有奇数（170+1﹣121）÷2=25（个），所以121+122+…+170是25个奇数之和再加上一些偶数，其和为奇数，同理可求出在41+42+…+98中共有奇数29个，其和为奇数，所以奇数减奇数，其差为偶数．
解答： 解：在121+122+…+170中共有奇数（170+1﹣121）÷2=25（个），
所以121+122+…+170，其和为奇数；
在41+42+…+98中共有奇数（98+1﹣21）÷2=29（个），其和为奇数．
故答案为：偶数．
点评： 本题关健是先求出式中两括号中数据的和是偶数还是奇数之后才能确定它们的差的奇偶性．
36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．
（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．
考点： 奇偶性问题．
专题： 压轴题．
分析： （1）本题可据数的奇偶性进行分析，如图从P点到A点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．
（2）某人进入水中时脱鞋，上岸时穿鞋，从每从水中到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2，即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上，脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中，在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，所以B点一定在水中．
解答： 解：（1）如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．
答：A点处于水中．
（2）由于从进入水中再到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2，
即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上；
脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中；
在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，
所以B点一定在水中．
答：B点一定在水中．
点评： 本题主要考查了通过数的奇偶性判断位置的能力．
难点十、质数与合数问题
37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是 89 ．
考点： 质数与合数问题．
专题： 数性的判断专题．
分析： 先找到两位数的质数，要想三个质数的和最小，那么我们在选择质数时也要尽可能选择小进行分析：①三个质数十位分别是1、2、3；②三个质数十位分别是1、2、4；依此排查即可求解．
解答： 解：两位数的质数有：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
要想三个质数的和最小，那么我们在选择质数时也要尽可能选择小：
①三个质数十位分别是1、2、3，这样个位就不能选1、2、3这三个数字，那么只能选17、29，但此时31、37、都出现了之前选过的数字，所以找不到满足条件的；
②三个质数十位分别是1、2、4，这样个位就不能选1、2、4这三个数字，那么可以选13、17（与13不能同时选）、23（与13不能同时选）、29、43（与13、23不能同时选）、47（与17不能同时选），所以有13、29、47或者17、29、43这两种选择，由于13+29+47=89，17+29+43=89，89是质数，满足条件．
综上所述，这三个质数的和是，这三个质数分别为13、29、47或者17、29、43．
故答案为：89．
点评： 考查了质数与合数问题，关键是巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97．
38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
考点： 质数与合数问题．
专题： 数的整除．
分析： ①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为2、3、7，2、3、7都是质数；
②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有23，37，73；
③因为2+3+7=12，12能被3整除，所以由2、3.7按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数；
故满足要求的质数有2、3、7、23、37、73这五个．
解答： 解：有6个质数，分别是2、3、7、23、37、73．
答：其中有5个质数：2、3、7、23、37、73．
点评： 本题采用边列举、边排除的策略求解．在抽二张卡片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：23，27，32，37，72，73．再将三个合数27，32，72排除即可．
39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？
考点： 质数与合数问题．
专题： 压轴题．[来源:学科网]
分析： 由题意，例如：在2、3、4、5、6、7、8、9、10这9个数中，有4个质数，这也是最多的，因为任意连续9个自然数中至少有4个偶数，剩下的五个奇数中至少有一个是3的倍数．
解答： 解：这个问题依据两个事实：
（1）除2之外，偶数都是合数；
（2）九个连续自然数中，一定含有5的倍数．以下分两种情况讨论：
①九个连续自然数中最小的大于5，这时其中至多有5个奇数，而这5个奇数中一定有一个是5的倍数，即其中质数的个数不超过4个；
②九个连续的自然数中最小的数不超过5，有下面几种情况：
1，2，3，4，5，6，7，8，9；
2，3，4，5，6，7，8，9，10；
3，4，5，6，7，8，9.10，11；
4，5，6，7，8，9，10，11，12；
5，6，7，8，9，10，11，12，13；
这几种情况中，其中质数个数均不超过4．
综上所述，在九个连续自然数中，至多有4个质数．
答：九个连续自然数中，至多有4个质数．
点评： 本题考查了质数的意义以及对数的列举能力，分析判断能力等．
难点十一、公约数与公倍数问题
40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生 20 人，女生 24 人．
考点： 公约数与公倍数问题；找一个数的倍数的方法．
专题： 比和比例；约数倍数应用题．
分析： 本题可先根据男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例为5：6，如果男生有5人的话，女生有6人，班里共5+6=11人，所以班里人的总数一定是11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人，然后，再根据男女生比求出男生有多少人，从而求解．
解答： 解：男女生比例为5：6，所以班内人数总数一定为5+6=11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人．
男生有：44×=20（人）；
女生有：44﹣20=24（人）．
答：这个班男生有20人，女生有24人．
故答案为：20，24．
点评： 本题的关健是根据男女生的比例及人数范围确定好全班人数是多少．
41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书 70 本．
（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费 0.31x+30 元．（用含有x的式子表示）
考点： 公约数与公倍数问题；用字母表示数．
专题： 压轴题；用字母表示数；约数倍数应用题．
分析： （1）由于书的本数一定是整数，故书架存书的数目一定是5和7的公倍数，在100以内，5和7的公倍数只有35和70，由于书的数目在60﹣100之间，故有书70本；
（2）先求出用电高峰时段用电x千瓦时的电费，又因为6月份的用电量为100千瓦时，所以用电低谷时段的用电量是（100﹣x）千瓦时，由此算出用电低谷时段的电费，最后把用电高峰时段的电费与用电低谷时段的电费加起来就是要求的答案．
解答： 解：（1）5和7的最小公倍数是35，
因为存书的本数在60～100本，则应为：35×2=70（本）；
答：书架上存书70本；
（2）设电高峰时段用电x千瓦时的电费，
0.61×x+（100﹣x）×0.30，
=0.61x+30﹣0.3x，
=0.31x+30（元），
答：他家6月份需付电费0.31x+30元，
故答案为：70；0.31x+30．
点评： （1）解答此题应明确即求60～100之间的5和7的最小公倍数，根据是互质数的两个数的最小公倍数即这两个数的成乘积，解答即可．
（2）解答此题的关键是，把所给出的字母当做已知数，再根据基本的数量关系解决问题．
42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔 120 米又有一盏不必移动．
考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 由题意可知：不必移动的路灯距离起点的距离的米数既是40的倍数，又是60的倍数，是40与60的公倍数．40与60的最小公倍数是120，所以第一盏不必移动的路灯距离起点120米，以后每隔120米的那盏都不必移动．
解答： 解：因为40和60的最小公倍数是120，
所以至少再隔120米又有一盏不必移动；
答：至少再隔120米又有一盏不必移动．
故答案为：120．
点评： 解决此题的关键是求出40和60的最小公倍数，从而问题得解．
43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长 60 厘米，一共能截成 10 段．
考点： 公约数与公倍数问题；求几个数的最大公因数的方法．
分析： 求120、180、300的最大公因数就是每段最长厘米数，然后用总厘米数除以每段厘米数可得段数．
解答： 解：120=2×2×2×3×5，
180=2×2×3×3×5，
300=2×2×3×5×5，
2×2×3×5=60（厘米），
（120+180+300）÷60，
=600÷60，
=10（段）．
答：每段最长60厘米，一共可以截10段．
故答案为：60，10．
点评： 考查了公约数问题，解答该题关键是会求三个数的最大公因数，并用它解决实际问题．
44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买来 48 个苹果．
考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 先求出2、3、4的最小公倍数，再找到2、3、4的公倍数在40～50之间的数即为所求．
解答： 解：因为4÷2=2，
所以2、3、4的最小公倍数即为3、4的最小公倍数，
3、4的最小公倍数是3×4=12，
因为12×4=48，苹果总数在40～50之间，
所以一共买来48个苹果．
故答案为：48．
点评： 此题考查了公倍数问题，解答该题关键是会求三个数的最小公倍数，并用它解决实际问题．
45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
考点： 公约数与公倍数问题；植树问题．
分析： 共有（53﹣1）=52个间隔，总长45×52=2340米，45，60的最小公倍数180，2340÷180=13个，
由于2340也是180的倍数，所以中间还有13﹣1=12根不必移动．
解答： 解：从甲地到乙地一共长：45×（53﹣2）=2340（米），
45和60的最小公倍数是：180；
2340÷180﹣1，
=12（根）；
答：中间还有12跟不必移动．
点评： 此题应先算出从甲地到乙地的总长度，然后找出45和60的最小公倍数，进而根据题意，列出算式，解答即可．
难点十二、整数的裂项与拆分
46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是 9 ．
考点： 整数的裂项与拆分．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 根据自然数的意义知道，相邻的两个自然数相差1，设最小的是X，最大的是X+10，这11个连续的自然数的和是（X+X+10）×11÷2，又它们的和是154，列出方程，求出X即可．
解答： 解：设最小的是X，最大的是X+10，有题意得：
（X+X+10）×11÷2=154
（2X+10）×11=308
2X+10=28
2X=18
X=9
故答案为：9．
点评： 此题主要考查连续自然数的特点，即每相邻两个自然数相差1．
47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是 23 排．
考点： 整数的裂项与拆分．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 把391分解因数为：391=17×23=1×391，因为23﹣17=6，391﹣1=390，所以小红的电影票是23排17号．
解答： 解：根据391=17×23=1×391，可得：
23﹣17=6，391﹣1=390，
因为座位号比排数小6，
所以只有23﹣17=6，符合要求，所以小红的电影票是23排17号．
故答案为：23．
点评： 本题是比较简单的整数的裂项与拆分，关键是把391拆成两个自然数的积，再根据已知条件去掉不符合要求的数．
难点十三、数的整除特征
48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 如果一个数能被9整除，这个数的各位数字之和就能被9整除，据此解答．
解答： 解：因为1+1+2+4=8，
在1～9这几个数中，
只有8+5+5=18能被9整除，
因此A=5．
答：A等于5．
点评： 本题考查了数的整除特征．解答的关键在于了解一个数能被9整除的特征．
难点十四、二元一次方程组的求解
49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据题意，设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米，则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米，然后根据速度×时间=路程，分别求出两个港口之间的距离，列出二元一次方程组，求出船在静水中的速度和水流速度即可．
解答： 解：设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米，
则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米，
所以
因此
解得．
答：船在静水中的速度是每小时25千米，水流速度是每小时5千米．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据题意，设每袋大米的重量是x千克，每袋面粉的重量是y千克，则6袋大米和3袋面粉的重量是6x+3y千克，6袋大米和5袋面粉的重量是6x+5y千克，然后根据6袋大米和3袋面粉共重330千克，5袋面粉和6袋大米共重390千克，列出二元一次方程组，求出每袋大米和每袋面粉的重量即可．
解答： 解：根据题意，设每袋大米的重量是x千克，每袋面粉的重量是y千克，
则6袋大米和3袋面粉的重量是6x+3y千克，6袋大米和5袋面粉的重量是6x+5y千克，
所以，
②﹣①，可得2y=60，
解得y=30…③，
③代入①，可得x=40，
因此每袋大米重量是40千克，每袋面粉的重量是30千克．
答：每袋大米重量是40千克，每袋面粉的重量是30千克．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？
考点： 二元一次方程组的求解．
专题： 列方程解应用题．
分析： 根据每个儿子结果分的一样多，可以设每个儿子分X两白银，这位父亲总共有z两白银，有Z÷x个儿子，那么：第一个儿子分得银两x=100+；第二个儿子分得银两 x=200+由以上列式得出，x=900（两），Z=8100（两）．所以这位父亲一共有8100/900个儿子，即9个儿子．
解答： 解：因为每个儿子分的一样多，设每个儿子分x元，这位父亲总共有Z元，根据题意可得方程组：
由上式可得：
100+
有：1000+z﹣100=2000+z﹣x﹣200
900+z=1800+z﹣x
x=900
把x=900代入方程组中的第一个方程，可以求得z=8100，
所以这位父亲有儿子：8100÷900=9（个），
答：这位父亲一共有财产8100元，有9个儿子，每个儿子分得900元．
点评： 考查二元一次方程组的应用；得到老大和老二分得遗产的等量关系式是解决本题的突破点．
难点十五、等量关系与方程
52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．
考点： 等量关系与方程．
专题： 称球问题．
分析： 设在右边第5格处必须挂x克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，然后杠杆平衡原理，列出方程，求出x的值，即可求出在右边第5格处必须挂多少克砝码．
解答： 解：设在右边第5格处必须挂x克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，
则（20×4）×1=5x
5x=80
5x÷5=80÷5
x=16
答：在右边第5格处必须挂16克砝码，才能使平衡架平衡．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键；此题还考查了杠杆平衡原理的应用．
相关试卷
【精品】小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用： 这是一份【精品】小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用，共30页。试卷主要包含了数的整除特征，带余除法，数字问题，同余定理，约数个数与约数和定理，位值原则，数字和问题，整除性质等内容，欢迎下载使用。
小升初数学攻克难点真题解析-空间与图形全国通用： 这是一份小升初数学攻克难点真题解析-空间与图形全国通用，共41页。试卷主要包含了长方形，角的度量，镜面对称，角的概念及其分类，长方形的周长，数对与位置，旋转，平移等内容，欢迎下载使用。
小升初数学攻克难点真题解析-有关圆、圆锥、圆柱的应用题全国通用： 这是一份小升初数学攻克难点真题解析-有关圆、圆锥、圆柱的应用题全国通用，共35页。试卷主要包含了有关圆的应用题，关于圆锥的应用题，关于圆柱的应用题等内容，欢迎下载使用。
