第25讲 三角函数与解三角形-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

第25讲 三角函数与解三角形

A组题

一、选择题

1.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

所以，选A.

2. 中，，则（    ）

  A.            B.           C.          D.

【解析】由正弦定理得即，解得．因为所以，所以故选D．

3.在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，

   则的面积是(　　 )  A．3            B.              C.             D．3

【解析】由得　①.由余弦定理及得　②.所以由① ②得，即.所以，故选.

4.设的内角所对边的长分别为，若，

 则角(　　 ) A.           B.           C.            D.

【解析】因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.令，则由余弦定理得，所以故选

5.在直角梯形中，，，，则(　　)

  A.            B.             C.           D.

【解析】由已知条件可得图形，如图，设，在中，，

∴∴，故选.

6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（    ）

       A.             B.             C.            D.

【解析】，由余弦定理可得   ，联立，可得．

7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是(　 　)

 A．　　　　　B．           C．          D．

【解析】由 得 ∵  ∴，由余弦定理得， ∴ ，故选

二、填空题

8.（2019全国Ⅱ卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【解析】：由余弦定理有，
因为，，，所以，

所以，.

9．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为            .

【解析】因为，所以，又，则

        ，又，得，故，.

10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶

   在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山

   的高度          m.

【解析】依题意，，，在中，可得，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，，所以，所以.

三、解答题

11.（2019北京卷）在中，， ， ．

（Ⅰ）求b,c的值；

（Ⅱ）求 的值.

【解析】：（I）由余弦定理，得.

因为，所以.解得，所以.

（II）由得.由正弦定理得.

在中，是钝角，所以为锐角.所以.

所以.

12.(2019全国Ⅰ卷理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

13.（2019天津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.

由余弦定理可得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

从而，，

故.

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为   

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长

【解析】（1）由题设得，即.

由正弦定理得.故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.故的周长为.

15.在中，分别是角的对边，且满足．

（1）求角的大小；

（2）设函数，求函数在区间上的值域．

【解析】（1）在中，∵，∴，

   ∴，∴．

   ∵是的内角，∴，∴，∴．

（2）由（1）可知，∴

  由，∴，∴，∴函数的值域为．

12.已知分别是的角所对的边，且，

.

（1）若的面积等于，求；    （2）若，求的值.

【解析】（1）由余弦定理得，

     的面积和等于，，，联立

 （2），，，

 当时，；

 当时，，由正弦定理得，联立，解得，

 ，，即，又，，综上所述，或.

B组题

一、选择题

1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（    ）

A．钝角三角形    B．直角三角形      C．锐角三角形   D．由增加的长度决定

【解析】设增加同样的长度为，原来三边长为，不妨设，由锐三角形，，新的三角形的三边长为，有，又  故得到新三角形为锐角三角形，故选C.

2.【2016高考新课标3】在中，，边上的高等于,则（    ）

A.            B.           C.           D.

【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．

3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果

     ，则角的取值范围为(　　)

  A.          B.           C.          D.

【解析】由题意得，再由正弦定理得，即

  ∵，∴.又为最大边，∴.因此得角A的取值范围是.故选

4.在中，角所对的边分别为，已知，，则的取值范围为（    ）

A．         B.            C．          D.

【解析】由已知得，解得.由余弦定理，有.又，，故.又，于是有，即有.故选

二、填空题

5.已知分别为的三个内角的对边，且，，则       .

【解析】由知，为锐角，作交于，设，，则，则

   即，，则

6.在中，，且，则的面积为________．

【解析】∵，∴

，即，，

所以．，所以．由得，当时，符合题意．所以．

7.在锐角三角形中，若，则的最小值是       .

【解析】，因此

   ，故所求的最小值为

三、解答题

8.（2019全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

解析（1）由题设及正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．

由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．

因此，面积的取值范围是．

9.在△ABC中， =60°，c=a.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.

【解析】Ⅰ）在△ABC中，因为，，所以由正弦定理得.

（Ⅱ）因为，所以.由余弦定理得，

解得或（舍）.所以△ABC的面积.

10．在中，角的对边分别为，已知

（Ⅰ）证明：；     （Ⅱ）求的最小值.

【解析】由题意知，

化简得， 即.

因为,  所以.

从而.    由正弦定理得.

由知,  所以 ，

当且仅当时，等号成立.   故 的最小值为.

11.已知在中，角所对的边长分别为且满足

．

（1）求的大小；    （2）若，求的长．

【解析】（1）在三角形中，由正弦定理得，

  因为    所以

  即    整理得，

由，可得   所以. 

（2）在三角形中，，由，解得，

    又因为

    所以，

    ，于是由可得，

    ， 所以.

12.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.

（1）证明：；

（2）求的取值范围.

【解析】（1）由及正弦定理，得，，即

  又为钝角，因此，故，即.

 （2）由（1）知，，得，于是

   ，由得

   ，

C组题

一、选择题

1.如图，在中，，，点在线段上，且，则的值为（     ）

A．           B.           C．            D.

【解析】由条件得，.在中，设，则由余弦定理得

     ①  

 因为所以，所以   ②

联立①②解得，所以.在中，故选

2.已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于(　　)

A.          B.       C.        D.

【解析】根据正弦定理及得，，

，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选

3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（   ）

   A．           B.             C．           D.

【解析】取，则，由余弦定理得，在如图所示的等腰三角形中，

可得，又，，∴.

 另解：由得，，即，

∴  故选

4.在中，角所对的边分别为满足，， ，则的取值范围是(     )

 A.       B.       C.         D.

【解析】由得：，则，

由可知：为钝角，

则，

由于，，所以，，故选B.

二、填空题

5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值        .

【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设，则，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值为

6. 的内角的对边分别为，已知，则        .

【解析】由余弦定理得，将已知代入，化简可得，再由正弦定理，可得，再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得，将已知条件代入上式，化简可得，，再由正弦定理，可得，，，，.

，

7.已知满足，，点在外，且，则的取值范围是________．

【解析】由满足，，可得为等边三角形．又点在外，且，设等边边长为，如图1，若与在同侧，设，，在中，，则①，由，得②，①②联立可得，又，∴，∴

，则；

如图2，若与在异侧，设，，在中，则，可得，又，∴，则．综上，的最小值为1，最大值为3，故答案为：．

三、解答题

8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

（I）证明：；

（II）若，求.

【解析】（1）据正弦定理，可设，则

           故，有，变形得

（2）由已知，，根据余弦定理，有. 所以  

  由（1）所以，故

9.    在中，若，且.

   （1）求角的大小；  

   （2）求的面积.

【解析】（1）由题可知：在中，，，因为，所以，即，而向量，是两个不共线向量，所以，所以，因为，所以，在等腰中，，所以，；由上知：，所以，所以，结合，所以，.

（2）由（1）知，则，由正弦定理得：，

    所以，

10. 如图，为平面四边形的四个内角.

（1）证明：

（2）若求的值.

【解析】（1）.

（2）由，得.

由（1），有

连结BD，

在中，有，

在中，有，

所以 ，

则，

于是.    连结AC，同理可得

，于是.

所以 .

.