第19讲 三角变换及综合应用-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

这是一份第19讲 三角变换及综合应用-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析:，且
，
又，且
从而
故选C．
2、若，则为（ ）
A．5 B．-1 C．6 D．
答案A
解析：由题可知
两式联立可得
3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析：，，解得：，
从而．故选C．
4、若都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
答案A
解析：都是锐角，且，，所以，，从而，故选A．
二、填空题
5、已知，且，则的值为________．
答案
解析：.由，平方得，进而得，，由于
，代入得
6、若、均为锐角，且，，则 ．
答案
解析：由于都是锐角，所以，又，，
所以，，．
三、解答题
7、已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求的取值范围.
解析：（1）因为，所以，所以.
所以.
（2）.
由正弦定理，得.所以或.
因为，所以,所以
因为 ，所以所以.
8、已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求．
解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则。
所以，。
9、在△中，角的对边分别是，已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积，求的值．
解析：（1）,
由正弦定理，得，
化简，得﹒﹒
又,．
（2）, ，．
，﹒①
，由余弦定理得，，②
由①②，得，从而（舍去负值），.
10、已知满足．
（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；
（2）已知三个内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值．
解析：（1） ，所以，令，得
的单调递增区间是
（2），∴，
又，∴，∴．
在中由余弦定理有，
可知（当且仅当时取等号），∴，即面积的最大值为．
B组
选择题
1、已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析：因为，结合及，得，又，所以,所以.故选D．
2、若，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析：，整理，得，解得或．又，所以.故选C．
3、已知,则等于 （ ）
A． B． C． D．
答案D
解析：由已知，得，即，所以．因为，所以.故选D．
4、已知均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析：由题意得，因为，则，又均为锐角，所以，所以
，又均为锐角，所以，所以，故选C.
填空题
5、已知,那么的值是 ．
答案
解析：利用和差角公式将，展开，，，可求得，，两式相除有，代入可求得其值为.
6、在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为 .
答案
解析：因为，
所以，
由正弦定理得，，
设中点为，则， ①
又由余弦定理得②，①②得，由①得，所以，故答案为.
三、解答题
7、已知函数.
（Ⅰ）若是某三角形的一个内角，且求角的大小；
（Ⅱ）当时，求的最小值及取得最小值时的集合.
解析：（Ⅰ）
.由即
所以或
解得或
因为是某三角形的一个内角, 所以，所以或.
（Ⅱ）由（1）知，因为， 所以
所以，所以当且仅当，即时，取得最小值，
即的最小值为，此时的取值集合为.
8、已知函数．设时取得最大值．
（1）求的最大值及的值；
（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．
解析（1）由题意，．
又，则．故当，即时，．
（2）由（1）知．由，即．又．
则，即．故．
9、设函数其中若且图象的两条对称轴间的最近距离是．
（1）求函数的解析式；
（2）若是的三个内角，且求的取值范围．
解析：（1）由条件，

又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，，．
（2）由，知
是的内角， 从而
由
即.
10、在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.
答案（1）；（2）.
解析：（1），
又∵成等比数列，得，由正弦定理有，
∵，∴，得，即，
由知，不是最大边，∴.
（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，
由余弦定理，得，又，
∴.当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，
由正弦定理，得.∴的面积，
∵，∴，∴.
C组
选择题
1、若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析：由得，即，因为，所以，所以①，平方得②，①②联立再由解得，所以，故选A．
2、函数的一条对称轴方程为，则（ ）
A．B．C．D．
答案B
解析:由已知，函数
的一条对称轴方程为，则，即，所以.
3、在中，已知，给出以下四个论断
① ；② ；③；④
其中正确的是（ ）
(A)①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
答案B
解析：由，因为
，所以，不一定为1，①错；又，所以也不一定等于，③错；而，④正确；因为，
，从而肯定有，所以②正确；综上可知选B.
4、若，且为第二象限角，则（ ）
A、 B、 C、 D、
答案B
解析:由得
所以，即；因为为第二象限角，所以
则.由两角和的正切公式有.故正确答案为B.
填空题
5、已知为第三象限的角，则 .
答案
解析:因为为第三象限角，所以，又所以，于是有
，所以.
6、已知，若，化简______________．
答案
解析：，，
又，则，所以
三、解答题
7、在中，内角所对的边分别为，已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
解析:（Ⅰ）在中，由及，可得，
又由，有,所以 ；
（Ⅱ）在中，由，可得，
所以，
所以 .
8、已知都是锐角，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当取最大值时，求的值．
解析：（Ⅰ）

.
（Ⅱ）
当且仅当即时，
.
9、已知向量，
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）不等式当时恒成立，求的取值范围.
解析：（Ⅰ），所以
即
当时，，，
所以当时，函数的值域是；
（Ⅱ）在时的最小值为1，所以函数，既
；由正弦函数图象易得不等式的解集为．
10、已知．，其中、为锐角，且．
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
解析：（1）由，得，
得，得．
（2），．
，.
当时，．
当时，．
为锐角，.