2021届高考数学（理）培优专题提升训练三角函数与解三角形-

 三角函数与解三角形
A组题
一、选择题
1.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是( )
A． B． C． D．

2. 中，，则（ ）
A. B. C. D.

3.在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，
则的面积是(　　 ) A．3 B. C. D．3

4.设的内角所对边的长分别为，若，
则角(　　 ) A. B. C. D.

5.在直角梯形中，，，，则(　　)
A. B. C. D.

6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.

7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是(　 　)
A．　　　　　B． C． D．


二、填空题
8.（2019全国Ⅱ卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

9．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .

10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶
在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山
的高度 m.


三、解答题
11.（2019北京卷）在中，， ， ．
（Ⅰ）求b,c的值；
（Ⅱ）求 的值.









12.(2019全国Ⅰ卷理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．











13.（2019天津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.














14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长











15.在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．












12.已知分别是的角所对的边，且，
.
（1）若的面积等于，求； （2）若，求的值.









B组题
一、选择题
1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．由增加的长度决定

2.【2016高考新课标3】在中，，边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.

3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果
，则角的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
4.在中，角所对的边分别为，已知，，则的取值范围为（ ）
A． B. C． D.
二、填空题
5.已知分别为的三个内角的对边，且，，则 .

6.在中，，且，则的面积为________．

7.在锐角三角形中，若，则的最小值是 .

三、解答题

8.（2019全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．








9.在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.





10．在中，角的对边分别为，已知
（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的最小值.












11.已知在中，角所对的边长分别为且满足
．
（1）求的大小； （2）若，求的长．











12.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.













C组题
一、选择题
1.如图，在中，，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B. C． D.

2.已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于(　　)
A. B. C. D.
3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（ ）
A． B. C． D.
4.在中，角所对的边分别为满足，， ，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .

6. 的内角的对边分别为，已知，则 .

7.已知满足，，点在外，且，则的取值范围是________．

三、解答题
8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.







9. 在中，若，且.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.






10. 如图，为平面四边形的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.


.


A组题
一、选择题
1.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
所以，选A.
2. 中，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得即，解得．因为所以，所以故选D．
3.在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，
则的面积是(　　 ) A．3 B. C. D．3
【解析】由得　①.由余弦定理及得　②.所以由① ②得，即.所以，故选.
4.设的内角所对边的长分别为，若，
则角(　　 ) A. B. C. D.
【解析】因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.令，则由余弦定理得，所以故选
5.在直角梯形中，，，，则(　　)
A. B. C. D.
【解析】由已知条件可得图形，如图，设，在中，，
∴∴，故选.

6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】，由余弦定理可得 ，联立，可得．
7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是(　 　)
A．　　　　　B． C． D．
【解析】由 得 ∵ ∴，由余弦定理得， ∴ ，故选
二、填空题
8.（2019全国Ⅱ卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【解析】：由余弦定理有，
因为，，，所以，
所以，.

9．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .
【解析】因为，所以，又，则
，又，得，故，.
10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶
在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山
的高度 m.

【解析】依题意，，，在中，可得，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，，所以，所以.
三、解答题
11.（2019北京卷）在中，， ， ．
（Ⅰ）求b,c的值；
（Ⅱ）求 的值.
【解析】：（I）由余弦定理，得.
因为，所以.解得，所以.
（II）由得.由正弦定理得.
在中，是钝角，所以为锐角.所以.
所以.

12.(2019全国Ⅰ卷理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
13.（2019天津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.
由余弦定理可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
从而，，
故.

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
【解析】（1）由题设得，即.
由正弦定理得.故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.故的周长为.
15.在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
【解析】（1）在中，∵，∴，
∴，∴．
∵是的内角，∴，∴，∴．
（2）由（1）可知，∴
由，∴，∴，∴函数的值域为．
12.已知分别是的角所对的边，且，
.
（1）若的面积等于，求； （2）若，求的值.
【解析】（1）由余弦定理得，
的面积和等于，，，联立
（2），，，
当时，；
当时，，由正弦定理得，联立，解得，
，，即，又，，综上所述，或.
B组题
一、选择题
1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．由增加的长度决定
【解析】设增加同样的长度为，原来三边长为，不妨设，由锐三角形，，新的三角形的三边长为，有，又 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.
2.【2016高考新课标3】在中，，边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果
，则角的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题意得，再由正弦定理得，即
∵，∴.又为最大边，∴.因此得角A的取值范围是.故选
4.在中，角所对的边分别为，已知，，则的取值范围为（ ）
A． B. C． D.
【解析】由已知得，解得.由余弦定理，有.又，，故.又，于是有，即有.故选
二、填空题
5.已知分别为的三个内角的对边，且，，则 .
【解析】由知，为锐角，作交于，设，，则，则
即，，则
6.在中，，且，则的面积为________．
【解析】∵，∴
，即，，
所以．，所以．由得，当时，符合题意．所以．
7.在锐角三角形中，若，则的最小值是 .
【解析】，因此

，故所求的最小值为
三、解答题
8.（2019全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
解析（1）由题设及正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．
因此，面积的取值范围是．

9.在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【解析】Ⅰ）在△ABC中，因为，，所以由正弦定理得.
（Ⅱ）因为，所以.由余弦定理得，
解得或（舍）.所以△ABC的面积.
10．在中，角的对边分别为，已知
（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的最小值.
【解析】由题意知，
化简得， 即.
因为, 所以.
从而. 由正弦定理得.
由知, 所以 ，
当且仅当时，等号成立. 故 的最小值为.
11.已知在中，角所对的边长分别为且满足
．
（1）求的大小； （2）若，求的长．
【解析】（1）在三角形中，由正弦定理得，
因为 所以
即 整理得，
由，可得 所以.
（2）在三角形中，，由，解得，
又因为
所以，
，于是由可得，
， 所以.
12.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【解析】（1）由及正弦定理，得，，即
又为钝角，因此，故，即.
（2）由（1）知，，得，于是
，由得
，

C组题
一、选择题
1.如图，在中，，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B. C． D.
【解析】由条件得，.在中，设，则由余弦定理得
①
因为所以，所以 ②
联立①②解得，所以.在中，故选
2.已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】根据正弦定理及得，，
，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选
3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（ ）
A． B. C． D.
【解析】取，则，由余弦定理得，在如图所示的等腰三角形中，
可得，又，，∴.
另解：由得，，即，
∴ 故选
4.在中，角所对的边分别为满足，， ，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】由得：，则，
由可知：为钝角，
则，
由于，，所以，，故选B.
二、填空题
5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .

【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设，则，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值为
6. 的内角的对边分别为，已知，则 .
【解析】由余弦定理得，将已知代入，化简可得，再由正弦定理，可得，再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得，将已知条件代入上式，化简可得，，再由正弦定理，可得，，，，.
，

7.已知满足，，点在外，且，则的取值范围是________．
【解析】由满足，，可得为等边三角形．又点在外，且，设等边边长为，如图1，若与在同侧，设，，在中，，则①，由，得②，①②联立可得，又，∴，∴

，则；

如图2，若与在异侧，设，，在中，则，可得，又，∴，则．综上，的最小值为1，最大值为3，故答案为：．
三、解答题
8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【解析】（1）据正弦定理，可设，则
故，有，变形得

（2）由已知，，根据余弦定理，有. 所以
由（1）所以，故
9. 在中，若，且.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【解析】（1）由题可知：在中，，，因为，所以，即，而向量，是两个不共线向量，所以，所以，因为，所以，在等腰中，，所以，；由上知：，所以，所以，结合，所以，.
（2） 由（1）知，则，由正弦定理得：，
所以，

10. 如图，为平面四边形的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.

【解析】（1）.
（2）由，得.
由（1），有

连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
则，
于是. 连结AC，同理可得
，于是.
所以 .

.