第21讲 三角函数高考选择填空压轴题专练-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

第21讲 三角函数高考选择填空压轴题专练

A组

一、选择题

1.（2019天津卷理）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（  ）

A.            B.           C.              D.

【答案】C

【解析】因为是奇函数，所以，.
将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，即，因为的最小正周期为，所以，得，
所以，.若，即，即，
所以，.故选C．

2．已知奇函数的导函数的部分图象如图所示， 是最高点，且是边长为的正三角形，那么（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由奇函数， 是边长为的正三角形，可得， 是最高点且， 得A=,所以

3．设函数（其中），若函数图象的一条对称轴为，那么（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】， 是对称轴，则， ，又，则，故选A．

4．在中,角所对的边分别为，若 ，则当角 取得最大值时， 的周长为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意可得：

据此可得：，

由均值不等式的结论： ,

当且仅当时等号成立，此时角B取得最大值.

据此可知： ，即△ABC时顶角为120°的等腰三角形，

结合余弦定理可得的周长为.本题选择C选项.

5．已知中， 的对边长度分别为，已知点为该三角形的外接圆圆心，点分别为边的中点，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图：

在三角形中，同理，所以

=： ： ，由正弦定理，可得= ，选D.

6．在中， ，则的值所在区间为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】设 ， ，中 中， ，化为 ，令 ，则 ， 可得 在 上递增， ， ，故选A.

7．在中， ， ，则 (   )

A. 6    B. 7    C. 8    D. 9

【答案】B

【解析】因为，所以，则，即，

即，即；

由正弦定理，得，则

；故选B.

8．在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是(     )

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有： ，令与重合，及得，∵，∴．故选C．

记忆：三角形的四心与向量关系：

（1）是重心，

是平面内任一点， 是重心．

（2）是垂心，

若是垂心，则．

（3）是外心，

若是外心，则．

若是外心，则对于平面内任意点，均有： ．

（4）是内心

是内心，是内心．

二、填空题

9．函数（）的最大值是          ．

【答案】1

【解析】

，，那么，当时，函数取得最大值1.

10．已知，且， ，则____．

【答案】

【解析】令f(x)=x3+sinx,则f(−x)=−x3−sinx，∴f(x)为奇函数,且f(x)在为单调函数，

∵f(x)=m,f(y)=−m，∴x+y=0，∴.故答案为： .

11．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】 对任意 ，都有 ，要使 取得最小值，尽可能多让 取得最高点，考虑 ， ，按下图取值可满足

条件， 最小值为 ，故答案为 .

12．在中，角的对边分别为， ， ，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由题意得，又因为，可知。又，由正弦定理可得， = =（其中），。所以。填。

13．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则__________．

【答案】或2

【解析】由题意，又，∴，又， ， ，当时， ，由于函数在上单调，所以， ， ，所以，即，

B组

一、选择题

1.（2019全国Ⅲ卷理）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点；②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增；④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A． ①④    B． ②③     C． ①②③     D． ①③④

【答案】D

【解析】当时，，

因为在有且仅有5个零点，所以，所以，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，
当时，，若在单调递增，
则，即，因为，故③正确．故选D．

2．已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是（   ）

A.     B.      C.     D.

【答案】D

【解析】 ，

, 函数 在区间内没有零点

 (1) ，则 ，则 ，取 ，   ；

（2），则 ，解得： ，取 ， ；综上可知： 的取值范围是，选.

3．已知函数，若存在实数， ， ， 满足 ，且，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】画出函数的图象， ， ， ， ， ， ，由于，则 ， 为上单调增函数，因为 ，则 ，有 ，所以由此可得： 的取值范围是，选A.

4．已知函数，满足，则满足题意的的最小值为（        ）

A.     B.     C. 1    D. 2

【答案】C

【解析】由题意可得：

则： ，

据此有： 或，

则： 或，

结合可得，令， .

本题选择C选项.

5．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】因为函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，所以 ， 的取值范围为，故选C.

6．已知，则角所在的区间可能是（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】令，则，又由，得，解得，舍去，则， 在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时， 排除B，只有C答案满足，故选C.

7．已知函数的图象如图所示，若，且，则（    ）

A. 1    B.     C.     D. 2

【答案】A

【解析】由及图形知，又，所以， ，取，即，所以，故选A．

8．已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】, 的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于， ， ， ,

， ，则， ，选

二、填空题

9．若的图象向右平移个单位后与自身重合，且的一个对称中心为，则的最小正值为__________．

【答案】24

【解析】由题意可知的周期为T,满足，即，由的一个对称中心为可得。所以为最小值。

10．在中，角， ， 的对边分别为， ， ， 是与的等差中项且， 的面积为，则的值为__________．

【答案】

【解析】由 是 以 的等差中项，得 .  由正弦定理，得 ，由 所以 .  由 ，得 .  由余弦定理，得 ，即 ，故答案为 .

11．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为， ， ，其面积，这里．已知在中， ， ，则面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知 ，且 则

，当且仅当 即时，

，且，符合题意

12．已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】，由，解得， 是其子集，故，解得，由于，故令可求得的最大值为.

13．在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】由，得因为在三角形中，所以即， = ， ，所以。填1.

C组

一、选择题

1．如图，三角形中， ， ，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】 设，则，

 由正弦定理可得，

所以  所以时， 取得的最大值，故选C.

2．在中，角所对的边分别为，且，则的最小值是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】∵2sinCcosB＝2sinA＋sinB，又A＝π－(B＋C)，∴cos C ＝－．

∵c＝3ab，∴9 a²b²＝c²＝a²＋b²－2 ab cos C＝a²＋b²＋ab≥3ab．解得ab≥．所以选B．

3．已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且，则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意， ，所以，由， ，不妨设，则， ， ， ，从中选两个有6种选法，和大于5的有和，其他4个和不超过5，因此所求概率为，故选D．

4．已知函数向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意得

由， 在上的值域为．

即最小值为，最大值为，则，得．综上的取值范围是．

5．如图，把画有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、两点之间的空间距离为，则（    ）

A. -2    B.     C. -1    D.

【答案】C

【解析】设函数 的周期为 ,由 有 ,所以 ,在折叠后的图象中, ,解出 ,所以  ,则 ,选C.

6．已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②， 对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有（　）

A. ①②    B. ③④    C. ②③    D. ①④

【答案】C

【解析】函数变形为，不可能通过左右平移变为奇函数，所以 ①错。时， 成立，所以②对。，即分别为最大值1与最小值-1，所以成立，所以③对。即， ，所以④错。选C.

二、填空题

7．已知函数，若为函数的一个零点，则__________．

【答案】

【解析】由 ，化简可得，又，得,又得，所以，故

此时：

8．已知三个内角， ， 的对应边分别为， ， ，且， ．当取得最大值时， 的值为____．

【答案】

【解析】设的外接圆半径为，则 .

, ,

.

, ，则当，即： 时， 取得最大值为，此时中，     .

9．中，角， ， 的对边分别为， ， ，若，则 取值范围是__________．

【答案】

【解析】由正弦定理可知． ，又，则， ，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填．

10．如图，在扇形中， ， ，点为弧上任意一点， 为上一点，且， ，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由 ，得 ，

在 中，由正弦定理，得 ，

设 ，则 易知函数 在 上递增，在 上递减，所以当 时， 取得最大值 ，又 ，即 的取值范围为 ，故答案为.

11．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为__________．

【答案】

【解析】设半圆圆心为设， =

，即求最大值。，导数等于0只有一个极值点，即，所以。填。

12．在中， 分别是角的对边，且满足，则__________．

【答案】13

【解析】解：由题意可知： ， 可得： ，

可得： ，

则： ，

据此有： .

13．函数（， ）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间（）上的值域为，则__________．

【答案】

【解析】因为 ，又由 ，再由 ，所以，则 ，函数在区间（）上的值域为，必有 ，故答案为 .

14．在中， ， ， 分别是角， ， 的对边， 的面积为， ，则__________．

【答案】

【解析】由题意可知， ，由余弦定理： ，可得，又由正弦定理可得。答案：2