第13讲 立体几何选择填空压轴题专练

 第13讲 立体几何选择填空压轴题专练

A组

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1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】记该正方体为，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱，，与平面所成的角都相等，如图，

连接，，，因为三棱锥是正三棱锥，所以，，与平面所成的角都相等，分别取，，，，，的中点，，，，，，连接，．，，，，易得，，，，，六点共面，平面与平面平行，且截正方体所得截面的面积最大，又，所以该正六边形的面积为，所以截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A．

2．如图，矩形中， ， 为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（   ）

A. 与平面垂直的直线必与直线垂直

B. 异面直线与所成角是定值

C. 一定存在某个位置，使

D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值

【答案】C

【解析】取CD的中点F，连BF,MF,如下图：

可知面MBF// ,所以A对。取中点G,可知，如下图，可知B对。

点A关于直线DE的对为F,则面，即过O与DE垂直的直线在平面上。故C错。

三棱锥外接球的球心即为O点，所以外接球半径为。故D对。选C

3．如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是

A．｜BM｜是定值                 B．点M在某个球面上运动

C．存在某个位置，使DE⊥A1 C     D．存在某个位置，使MB//平面A1DE

【答案】C

【解析】取CD中点F，连接MF，BF，则MF//A1D且MF=A1D,FB//ED 且FB=ED所以，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB是定值，所以 M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确．由MF//A1D与 FB//ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．故答案为：①②④．

4．如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线， ， 上，则在下列命题中，错误的是(    )

A. 是正三棱锥                             B. 直线与平面相交

C. 直线与平面所成的角的正弦值为       D. 异面直线和所成角是

【答案】C

【解析】①如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，

又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，过O作底面ABC的垂线，垂足为N，

连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，

同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，

∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．

②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则B正确，

③由上图知：直线与平面所成的角的正弦值为,则C错误

④异面直线和所成角是，故D正确.

二、填空题

5．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

【答案】

【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则.，

三棱锥的体积 .

令，则，令， ，，

.

6．已知求的直径是该球球面上的点， ，则棱锥 的体积为__________．

【答案】

【解析】设球心为,因为,所以, .

7．在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】由题可得：球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上，又二面角的大小为120°，取AB的中点为M，SB的中点为N，故,又,过M做MH=GO，且MH垂直底面，所以， ,故球的半径为,所以球的表面积为

8．已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．

【答案】6

【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则

9．在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．

【答案】

【解析】由图可知，

该三棱锥的底面是底为4，高为1的三角形，高为2，故其体积为，故答案为.

10．如图，在棱长为2的正四面体中， 分别为直线上的动点，且.若记中点的轨迹为，则等于____________.（注： 表示的测度，在本题， 为曲线、平面图形、空间几何体时， 分别对应长度、面积、体积.）

【答案】

【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，即 ，又，即 ，代入上式得 ，即，即的轨迹为半径为的圆，周长为 .

B组

一、选择题

1．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为(   )

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

将平面 延展与 交于 连结 ，并延长与 延长线交于 ，平面交 于 ， 可知 等于 与 成角,，由正方体的性质可知 ， ，故选 .

2．四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

根据三视图还原几何体为一个四棱锥，平面 平面，由于为等腰三角形，四边形为矩形， ，过的外心 作平面 的垂线，过矩形的中心作平面的垂线

两条垂线交于一点为四棱锥外接球的球心，在三角形 中， ，则 ， ，

， ， ， ， .选C.

3．如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：

①与所成的角为②∥平面 

③        ④平面∥平面

其中正确判断的序号是（    ）．

A. ① ③    B. ② ③    C. ① ② ④    D. ② ③ ④

【答案】C

【解析】

把正方体的平面展开图还原成正方体 ，得：①与所成的角为正确； ② 不包含于平面 平面 平面 ，故②正确； ③ 与 是异面直线，故③不正确； ④ 平面 ，所以平面 平面 ，故 ④ 正确 ，正确判断的序号是① ② ④，故选C.

4．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】如图，底面是等腰直角三角形， 是中点，所以外接球圆心在上，设外接球半径为，所以有，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.

故本题正确答案为A.

5．三棱锥中，侧棱底面， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题，侧棱底面， ， ， ，则根据余弦定理可得 ， 的外接圆圆心

三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为

6．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】以点D为原点，DA、DC、 分别为 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P坐标为 ，则 设 的夹角为，所以 ，所以当 时， 取最大值 。当 时， 取最小值。因为 。故选D。

7．已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为球与各面相切，所以直径为2，且的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为正三角形的外接圆，由正弦定理知，所以面积，选D．

8．已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】作于，连接，因为，所以平面，作于，所以，从而，要使体积最大，则要最大，则要求最大，而，所以在时， 最大，所以， 是中点， ，所以，故选A．

二、填空题

9． 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．

【答案】

【解析】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．

10．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

【答案】24π

【解析】如图，正四棱锥的体积，在直角三角形中， 所以表面积为

11．球为正方体的内切球， ， 分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________．

【答案】

【解析】

设与球面交于 两点，过球心与 的截面如图，因为， 分别为棱的中点，所以可得 ，根据正方体的性质可得，球为正方体的内切球，可得 ，由勾股定理得，故答案为 .

12．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．

【答案】

【解析】设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大 ，且最大值为.

13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（     ）                                    

  A．圆    B．抛物线    C．双曲线    D．椭圆

【答案】B

【解析】作，为垂足，则平面，作为垂足，由三垂线定理得.以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，依题意可得.由可得，即化简可得.选.

C组

一、选择题

1．在直四棱柱 中，底面为菱形， 分别是的中点， 为的中点且，则的面积的最大值为（    ）

A.     B. 3    C.     D.

【答案】B

【解析】由直四棱柱 中，底面为菱形， 分别是的中点， 为的中点且，可得为等腰三角形，设 ，则 ，因为，由余弦定理得 ，可得 ， 的面积为等于的 ， 的面积的最大值为 ，故选B.

2．三棱锥的体积为， 底面，且的面积为4，三边的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】∵三棱锥的体积为且的面积为4，∴，由底面，所以球心到底面的外接圆圆心的距离为1，另， ，两式相除，由正弦定理知底面的外接圆半径为1，所以三棱锥的外接球的半径为，表面积为，故选B.

3．已知矩形， ，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）．设二面角的大小为，直线， 与平面所成的角分别为则（    )

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图，作于E， 是在平面内的射影，连接，易知，在矩形中，作于E，延长交于，由点必落在上，由知，从而，即，故选D．

4．如图所示，正方体的棱长为， 分别为和上的点， ，则与平面的位置关系是（    ）

A. 相交    B. 平行    C. 垂直    D. 不能确定

【答案】B

【解析】如下图，连接BN交AD于点E,连， ，所以与平面平行，选B.

5．如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为 ，显然，当 移动到对角线 的中点 时， 取得唯一最大值，所以排除 ；当在 上时，分别过 作底面的垂线，垂足分别为 ，则 ，故选B.

二、填空题

6．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．

【答案】

【解析】如图：，内切球的半径为： ，所以正方体棱长为，取的靠B的三等分点H连接CD,DH，则NB⊥面DHC，所以M的轨迹为DHC与内切球的交线，由正方体棱长为可得O到面DCH的距离为，所以截面圆的半径为，所以M的轨迹长度为：

7．如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．

①当时， 平面；②当时， 平面；

③的最大值为；④的最小值为.

【答案】①②

【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得， ，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时， ，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.

8．一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为_______

【答案】8

【解析】正视图为内切一个圆,且r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根据勾股定理解得x=6,即PA=6,AB=8,PB=10,所以长轴为8.填8.

【点睛】

对于直角三角形的内切圆有如下性质，如图AD=AE,BD=BF,CE=CF.即同一点引出的切线长相等。

9．已知空间四边形中， ， ， ，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．

【答案】

【解析】如图：由于 是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=， 。填。

10．将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点分另的中点，则下列命题中正确的是__________．（将正确的命题序号全填上）

①；        ②是异面直线与的公垂线；

③平面；        ④垂直于截面．

【答案】②③④

【解析】如图：

由题意得， 与 是异面直线，故①不正确；由等腰三角形的中线性质得 面 ，又面 ， ，且 ，故 ②正确；由三角形中位线定理可得 ，在根据线面平行的判定定理可得平面，故③正确；由面得， ，又 面 ，故④正确，故答案为②③④.

11．已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时， 与夹角大小为__________．

【答案】

【解析】 由题意得，取中点，

则 ，

因为，所以在以为球心的球面上，

所以，因为，所以，所以与的夹角为.