试卷 2021年广西贵港市港南区中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年广西贵港市港南区中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广西贵港市港南区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数为（　　）
A． B． C．﹣2021 D．2021
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．x6÷x3＝x2 C．＝2 D．a2（﹣a2）＝a4
5．（3分）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（　　）元．
A．140 B．120 C．160 D．100
6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．（3分）下列命题中真命题是（　　）
A．内错角相等
B．反比例函数y＝的图象性质是y随x的增大而减小
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．数0.00000069可以表示6.9×10﹣6
8．（3分）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　）

A．2 B． C． D．1
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）

A．2：1 B．：1 C．3：2 D．2：
11．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，满足BE＝CF．则AE+AF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．（3分）计算：＝　 　．
14．（3分）分解因式：x2+3x＝　 　．
15．（3分）一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是　 　．
16．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是　 　．

17．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　 　．

18．（3分）如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
19．（5分）计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
20．（5分）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1，1，2三个数中任选一个合适的数代入求值．
21．（5分）已知，在△ABC中，BC＝2．
（1）用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠ABC＝60°，则BP＝　 　．

22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且BD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标．

23．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
本数（本）
频数（人数）
频率
5
a
0.2
6
18
0.36
7
14
b
8
8
0.16
合计
c
1
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．

24．（8分）资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．
（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？
25．（8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝，求线段BP的长．

26．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．

27．（10分）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E，F分别是BC，AB上的点，且DF⊥AE，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD中＝k（k为常数），将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGH，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接CH，当k＝时，若tan∠CGH＝，GF＝2，求CP的长．


2021年广西贵港市港南区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数为（　　）
A． B． C．﹣2021 D．2021
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣．
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．因为的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B．因为的被开方数中含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C．＝，它的被开方数中含有可以开方的因数9，所以它不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D．符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：＝（247+253+247+255+263）÷5＝253，
这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．x6÷x3＝x2 C．＝2 D．a2（﹣a2）＝a4
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝x3，错误；
C、原式＝2，正确；
D、原式＝﹣a4，错误，
故选：C．
5．（3分）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（　　）元．
A．140 B．120 C．160 D．100
【分析】设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润＝售价﹣进价建立方程求出其解即可．
【解答】解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得
0.8×200＝x+40，
解得：x＝120．
故选：B．
6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
7．（3分）下列命题中真命题是（　　）
A．内错角相等
B．反比例函数y＝的图象性质是y随x的增大而减小
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．数0.00000069可以表示6.9×10﹣6
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B、反比例函数y＝的图象性质是在每个象限上，y随x的增大而减小，原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
D、数0.00000069可以表示6.9×10﹣7，原命题是假命题；
故选：C．
8．（3分）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数可得a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式1﹣x＞2x﹣5，得：x＜2，
则不等式组的解集为a＜x＜2，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的整数解为1、0、﹣1，
则﹣2≤a＜﹣1，
故选：B．
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　）

A．2 B． C． D．1
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠COD＝60°，在Rt△COD中，利用直角三角形30度的性质易求OD．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）

A．2：1 B．：1 C．3：2 D．2：
【分析】由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE＝DC

又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
11．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，满足BE＝CF．则AE+AF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接DE，
根据正方形的性质及BE＝CF，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，
∴AE+AF＝AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE＝A′E，
即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，
AA′＝2AB＝4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′＝，
故AE+AF的最小值为．
故选：D．

12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAB，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．（3分）计算：＝　　．
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为．
14．（3分）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
15．（3分）一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是　　．
【分析】用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，
∴摸出编号为偶数的球的概率为，
故答案为：．
16．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是　13　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
17．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　8﹣8　．

【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．
【解答】解：连接AE，
∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，
∴sin∠AED＝，
∴∠AED＝45°，
∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，
∴AD＝DE＝2，
∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，
故答案为：8﹣8．

18．（3分）如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为　3　．

【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，求出k的值．
【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝＝＝tan60°＝，
∴＝（）2＝3，
∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝×|xy|＝，
∴S△EOC＝，即×OE×CE＝，
∴k＝OE×CE＝3，
故答案为：3．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
19．（5分）计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
20．（5分）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1，1，2三个数中任选一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将a＝2代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：÷（a+1）+
＝•+
＝+
＝
∵a≠1且a≠﹣1，
∴当a＝2时，原式＝＝5．
21．（5分）已知，在△ABC中，BC＝2．
（1）用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠ABC＝60°，则BP＝　2　．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；
（2）根据∠ABC＝60°，结合（1）得BP平分∠ABC，PD是BC的垂直平分线，即可求出BP的长．
【解答】解：（1）如图，

点P即为所求；
（2）∵∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBD＝30°，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴∠PDB＝90°，BD＝DC＝BC＝，
∴BP＝＝2，
故答案为：2．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且BD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）由BD⊥x轴，OD＝2，即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵BD⊥x轴，OD＝2，
∴点D的横坐标为2，
将x＝2代入，得y＝4，
∴B（2，4），
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，2）、B（2，4）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线AB的函数解析式为y＝x+2；

（2）∵点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，B（2，4），
即S△PBC＝CP×2＝6，
∴CP＝6，
∵C（0，2），
∴P（0，8）或P（0，﹣4）．
23．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
本数（本）
频数（人数）
频率
5
a
0.2
6
18
0.36
7
14
b
8
8
0.16
合计
c
1
（1）统计表中的a＝　10　，b＝　0.28　，c＝　50　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．

【分析】（1）根据百分比＝计算即可；
（2）求出a组人数，画出直方图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）由题意c＝18÷0.36＝50，
∴a＝50×0.2＝10，b＝＝0.28，
故答案为10，0.28，50．

（2）条形统计图如图所示．


（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数＝＝6.4（本）

（4）该校八年级共有1200名学生，该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数有1200×＝528（名）．
24．（8分）资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．
（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？
【分析】（1）先设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍列出不等式，求出a的取值范围，再设总费用为w元，根据一台电子白板和一台台式电脑的价格列出w与a的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案．
【解答】解：（1）设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，
根据题意得：，解得：．
答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；

（2）设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，
根据题意得：24﹣a≤3a，
解得：a≥6，
设总费用为w元，则w＝9000a+3000（24﹣a）＝6000a+72000，
∵6000＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴a＝6时，w有最小值．
答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
25．（8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝，求线段BP的长．

【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，
即＝，
解得：BP＝．

26．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．

【分析】（1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3即可；
（2）求出C坐标及BC解析式，BC与对称轴交点即为M，AC+BC即是△AMC的最小周长；
（3）设P（m，0），用m表示出△FCG的三边长，分类列方程求解．
【解答】解（1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）连接BC交直线DE于M′，如答图1：

抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，
∴C（0，﹣3），A（1，0），B（3，0），且顶点D（2，1），对称轴x＝2，
∴AC＝，BC＝3，
△AMC的周长最小，即是AM+CM最小，而M在对称轴上，
∴AM＝BM，AM+CM最小就是BM+CM最小，
此时M与M′重合，AM+CM最小值即是BC的长度即AM+CM最小值为3，
∴△AMC的周长最小为3+，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝1，
∴M（2，1）；
（3）设P（m，0），
∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，
∴F（m，﹣m2+4m﹣3），G（m，m﹣3），
而C（0，﹣3），
∴CF2＝m2+（﹣m2+4m）2，CG2＝m2+m2＝2m2，FG2＝（﹣m2+3m）2，
△FCG是等腰三角形，分三种情况：
①CF＝CG时，m2+（﹣m2+4m）2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，
m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，
∴m＝5，P（5，0），
②CF＝FG时，m2+（﹣m2+4m）2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，0），
③CG＝FG时，2m2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣或m＝3+，
∴P（3﹣，0）或P（3+，0），
总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）．
27．（10分）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E，F分别是BC，AB上的点，且DF⊥AE，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD中＝k（k为常数），将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGH，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接CH，当k＝时，若tan∠CGH＝，GF＝2，求CP的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAE＝∠ADF，进而得出△ABE∽△DAF，即可得出结论；
（2）过点G作GM⊥AB于M，同（1）的方法，判断出△ABE∽△GMF，即可得出结论；
（3）由（2）结论求出AE，再利用等角的余角相等判断出∠BFE＝∠PEC＝∠PGH，进而根据三角函数表示出BE＝3n，BF＝4n，EF＝5n，进而得出AB＝9n，利用勾股定理求出n，得出和BE＝3，AB＝9，求出CE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，
∴CB＝DA＝4，
∴∠ABE＝∠DAF＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴；


（2）如图②中，
过点G作GM⊥AB于点M．
∵GF⊥AE，
∴∠GMF＝90°＝∠ABE，
∴∠AFO+∠FGM＝90°，
∵GF⊥AE，
∴∠AOF＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD＝BC，
∴；

（3）
由（2）知，，
∵k＝，GF＝2，
∴AE＝3，
由折叠知，∠PHG＝∠PEF＝90°，
∵∠BCD＝∠ABE＝90°，
∴∠PGH+∠GPH＝90°，
∵∠GPH＝∠CPE，
∴∠PGH+∠CPE＝90°，
∵∠PEC+∠CPE＝90°，
∴∠PGH＝∠PEC，
∵∠PEC+∠BEF＝90°，
∴∠PGF+∠BEF＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BFE＝∠PGH，
∵tan∠CGH＝，
∴tan∠BFE＝＝，
设BE＝3n，BF＝4n，根据勾股定理得，EF＝5n，
由折叠知，EF＝AF＝5n，
∴AB＝9n，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴（9n）2+（3n）2＝（3）2，
∴n＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵，
∴BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵∠PGH＝∠PEC，
∴tan∠PEC＝tan∠PGH＝，
在Rt△PCE中，CE＝3，tan∠PEC＝＝，
∴，
∴CP＝．