2021年高考艺术生数学基础复习考点25 空间几何体的体积及表面积（教师版含解析）

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这是一份2021年高考艺术生数学基础复习考点25 空间几何体的体积及表面积（教师版含解析），共39页。教案主要包含了空间几何的体积，空间几何的表面积等内容，欢迎下载使用。

考点25 空间几何体的体积及表面积
知识理解

一．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图

侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l

二．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

考向分析
考向一空间几何的体积
【例1】(2021·陕西咸阳市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面是的中点．

(1)求证：平面；
(2)设点N是的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)∵平面平面，
平面，平面，
是的中点，
，
平面
(2)由(1)知平面，
是的中点，到平面的距离是，
平面，
，
．

【方法总结】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法
对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法
等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积

【举一反三】
1．(2020·江西吉安市·高三其他模拟)在四棱锥中，平面，底面四边形是边长为1的正方形，侧棱与底面成的角是，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：(1)取的中点，连结、，

∵是的中点，∴，且，
∵底面四边形是边长是１的正方形，又是的中点，
∴，且∴，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，又磁面，平面，∴平面.
(2)∵平面，∴是侧棱与底面成的角，
∴，∴是等腰直角三角形，则，
∴.
2．(2021·内蒙古赤峰市·高三月考)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上.

(1)证明：当时，直线平面；
(2)当平面时，求的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：连结与交于点，连结
，，，
，，
又面，面，平面.

(2)解：平面，平面，，
是的中点，面面，
点到面的距离为
到面的距离为
．
3．(2021·安徽芜湖市·高三期末)如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心．

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)连接交于点，连接，则为的中点，
又∵为的中点，∴为的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面；

(2)在中，为重心，则，
在中，，
则．
考向二空间几何的表面积
【例2-1】(2020·全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．
∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，
∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则
棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为
【例2-2】(2020·全国高三专题练习)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为( )

A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A
【方法总结】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

【举一反三】
1．(2020·湖南高三月考)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.

(1)证明：直线平面；
(2)若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)在平面内，因为，所以，
又平面，平面，故平面.
(2)取的中点，连结，.依题四边形为正方形，
因为为等边三角形，所以.
又侧面底面，平面平面，所以底面.
因为底面.
所以，
同理侧面，所以.
设，则，，，.
四棱锥的体积，解得.
取的中点，连结，则，所以.
所以，
，.
所以四棱锥的侧面积为.

2．(2020·全国高三专题练习)如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D＝6，E，F分别是线段AB的两个三等分点．

(1)求证：D1F//平面A1DE；
(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接交于，连接，如图，

分别为，的中点，
,
又平面A1DE，平面A1DE，
D1F//平面A1DE
(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，
所以四棱柱为直四棱柱，
因为在矩形中，BD1⊥B1D，
所以四边形是正方形，
所以,
所以,
又，
所以，
即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为.
3．(2020·上海闵行区·高三一模)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于､的点.

(1)求证：平面；
(2)若，，，求圆柱的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)如图所示：

由已知可知平面，平面，

点是上异于､的点，是的直径，
所以，
又，
∴平面.
(2)在中，，，，
，

圆柱的侧面积为：S侧 .
考向三点面距
【例3】(2021·河南信阳市·高三月考)如图，在长方体中，为中点．

(1)求证：平面；
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)连接交于点，则为中点，连接，
又为中点，故为的中位线，故，
又平面，平面，
所以平面．

(2)由(1)知，平面，
则到平面的距离与到平面的距离相等，连接．
故，
又中，，，．
由余弦定理知：，则，
故，
.
故到平面的距离
即点到平面的距离为．
【举一反三】
1．(2021·安徽蚌埠市·高三二模)如图，已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，，．

(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：在平面中，过作于，交于，连接，
由题意知，且，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．

(2)，，平面，
∴平面，∵平面
∴平面平面，
在平面内过点作交于，
则平面，
∵，
∴，，
设点到平面的距离为，
则由得，
由题意知，，
，
代入，
解得，即点到平面的距离为．
2．(2021·河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．

(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)求点到平面的距离．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)由题意可得，
所以，因此，
在直四棱柱中，平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(Ⅱ)如图，在平面内作，垂足为．
由(Ⅰ)知平面，因为平面平面，
所以平面，所以，
又因为，所以平面．
所以线段的长就是点到平面的距离．
因为，所以．
在平面内，可知，
所以，得，
所以点到平面的距离为．

3．(2021·河南驻马店市·高三期末)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，．

(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)证明：取的中点，连接，．
因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，
所以截面是平行四边形，
则．
因为，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(2)解：连接，，，记到平面的距离为，
则到平面的距离为．
在中，，高为，所以的面积为．
因为三棱锥的高为，所以的体积为．
在中，，，
所以的面积为．
因为的体积与的体积相等，
所以，所以．
故到平面的距离为．

强化练习

1．(2021·安徽高三期末)如图，在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱)中，底面是边长为2的菱形，且，，点E，F分别为，的中点，点G在上．

(1)证明：平面ACE．
(2)求三棱锥B-ACE的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)如图所示：

连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，
连接BF，OE，，则．
∵平面ACE，平面ACE，
∴平面ACE．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面ACE，平面ACE，
∴平面ACE．
∵，∴平面平面ACE，
∵平面，
∴平面ACE．
(2)在中，，，
则AC边上的高为1，，
∴．
又点E到平面ABC的距离为DE，且，
，
∵，
∴．
2．(2021·安徽六安市·高三一模)如图，在四棱锥中，平面ABCD．，，，E是PD的中点．

(1)证明：平面PBC；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：取PC的中点F，连接EF、BF，如图所示：

因为E、F分别为PD，PC的中点，
所以且，
又，，
所以且
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面PBC，平面PBC
所以平面PBC．
(2)因为AB=1，，，
所以，即，
所以，即，
因为E是PD的中点，
所以，
又，所以，所以，
所以，
所以.
3．(2021·陕西西安市·高三一模)如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.

(1)证明：；
(2)若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)M点在上靠近P点的四等分点处.
【解析】(1)连接且E是的中点，.
又平面平面，平面平面平面.
平面平面.
又为菱形，且分别为棱的中点，.
，又平面；
平面.
(2)如图，连接，
设，则，
，
，则，又.
.
解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.

4．(2021·安徽池州市·高三期末)已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如下图.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)在正方体中，易知
.
(2)证明：取的中点分别为，连接，.
因为，分别为，的中点，所以,又是正方体，
所以平面
所以平面，因为平面
所以.
因为，，，
所以，所以，
所以，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以.
连接，，在正方体中，
易知，所以.
又，所以.
又，平面，
所以平面.

5．(2021·六盘山高级中学高三期末)如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点.

(1)求证：；
(2)若为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)如图，连接，

∵为的中点，∴，，
由，，得，
∴，又得
∴，
又∵平面，且平面，
∴，
又∵，
∴平面，
又∵平面，
∴.
(2)如图，取、的中点、，连接、.

易得
∵平面
∴平面，又且
∵，
∴平面
∵，，
∴.
法二：因为为的中点，所以.
6．(2020·江西吉安市·高三其他模拟)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且.

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：连接，
∵为的中点，为的重心，
∴点一定在上，且，
∵为的中点，∴，
又，∴，即，
∴，
则，∵平面，平面，
∴平面；

(2)解：延长，交于，
由题设知，为的中点，
∵是正三角形，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即为三棱锥的高，
∵，∴，
又，，
∴，
故.
7．(2021·陕西宝鸡市·高三一模)如图三棱柱中，底面是边长2为等边三角形，，分别为，的中点，，.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析；(2).
【解析】设，因为，
所以，
因为为的中点，
所以，
所以，即，
所以四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，
因为为的中点，
所以，
所以，，
所以，即，
因为三棱柱底面是等边三角形，为的中点，
所以，又，AB与相交，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面；
(2)由(1)知：平面，所以CE为三棱锥的高，且 ,

，，
所以.
8．(2021·全国高三专题练习)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=1，AC⊥BC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.

(1)求三棱锥A1ABC1的体积；
(2)求证：AC1⊥EG.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACC1A1，
所以B到平面ACC1A1的距离为1，
所以=.
(2)如图所示：
，
在AC上取点D，使CD=CA，连接ED，DG，
因为BE=BA，
所以DEBC，
又BC⊥平面ACC1A1，
所以DE⊥平面ACC1A1.
又AC1⊂平面ACC1A1，
所以DE⊥AC1.
在正方形ACC1A1中，
由CD=CA，A1G=A1A，
得DG⊥AC1.
又DE∩DG=D，
所以AC1⊥平面DEG.
所以AC1⊥EG.
9．(2020·洛阳市教育局中小学教研室高三月考)如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．

(1)求证：；
(2)求三棱柱的侧面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)如图所示：

连接，
∵，
∴侧面是菱形，
∴，
∵侧面底面，且平面平面，
，
∴平面，
又∵平面，
∴，
又，
∴平面，
又平面，
∴；
(2)如上图：设棱的中点为，连，，
则，
∴底面．从而，
由，，
得：，，
∴，
在中，由余弦定理得:，
即，
∴，
由(1)知平面，
∴，，
又，
∴三棱柱的侧面积为．
10．(2020·全国高三专题练习)如图所示，在直三棱柱中，为的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求直三棱柱的表面积.
【答案】(1)证明见解析；(2)60.
【解析】(1)如图所示，设与相交于点，连接，
在中，为的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以；
(2)因为三棱锥的体积为，
可得，
解得，
所以.

11．(2020·全国高三专题练习)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

(1)求正三棱锥的表面积；
(2)求正三棱锥的体积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.

12．(2021·山西吕梁市·高三一模)棱长为的正方体，为中点，为的中点．

(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)见解析；(2).
【解析】
(1)如图，连接，取的中点为，连接，
因为，故，
而平面，平面，故平面，
因为，故，
由正方体可得，故，
而平面，平面，故平面，
因为，而平面，
故平面平面，而平面，故平面.
(2)连接，
因为为的中点，正方体的棱长为2，故，，
.
故.
又，其中为点到平面的距离，
故.
13．(2021·江西新余市·高三期末)在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，．

(1)求证：平面平面；
(2)设为的中点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：∵面面，且平面平面，，面
面，
又面

又因为由已知
且，所以面，又面
∴面面.
(2)中，，取的中点，连，则
∵面面且它们交于面
面
由，由已知可求得，
，，所以.
所以点到平面的距离为.

14．(2020·全国高三专题练习)如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.

(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求直线到平面的距离.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)如图所示，

设的中点为O，的中点为F，连接，，，则.
因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
因为平面，所以，
所以即为直线与平面所成的角.
因为，则，
所以.
在中，，，所以.
在中，，
所以.
(2)解法一：因为点D，E分别为，边的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
由(1)知，平面，又，所以以点O为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得
令，所以.
因为，
设点O到平面的距离为d，
则.
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
解法二：如图，

因为点D，E分别为，边的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面，
所以.
又，，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
因为平面平面，
作交于点G，则平面.
在中，，
所以，.
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
15．(2020·上海高三专题练习)如图，立方体的棱长为，，，分别是，，的中点，求：

(1)到截面的距离；
(2)点到截面的距离．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)到平面的距离即为到平面的距离在平面中，
作，如图所示，连接，

又面，面，则，
又，得面，即的长度即为所求的距离，
则，又，得
即到平面的距离为.
(2)连接，，设到平面的距离为，

则，则，
又，则，故
由，得.
即点到截面的距离为.