人教版新课标A必修11.2.1函数的概念同步达标检测题

学业分层测评(六)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．对于函数y＝f(x)，以下说法中正确的个数为(　　)

①y是x的函数；②对于不同的x，y值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．

A．0　　　 B．1　　　

C．2　　　 D．3

【解析】　①③正确；②不正确；如f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)．

【答案】　C

2．函数y＝＋的定义域为(　　)

A．{x|x≤1}   B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1或x≤0}   D．{x|0≤x≤1}

【解析】　由题意可知解得0≤x≤1.

【答案】　D

3．下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是(　　)

A．(0,5)∪(10，＋∞)

B．[0,5)∪(10，＋∞)

C．(5,0]∪[10，＋∞)

D．[0,5]∪(10，＋∞)

【解析】　根据区间的定义可知数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}可以用区间[0,5)∪(10，＋∞)表示．故选B.

【答案】　B

4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)

A．1   B．0 

C．－1   D．2

【解析】　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.

∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．

【答案】　A

5．下列四组函数中表示同一函数的是(　　)

A．f(x)＝x，g(x)＝()2

B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2

C．f(x)＝，g(x)＝|x|

D．f(x)＝0，g(x)＝＋

【解析】　∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，

∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.

【答案】　C

二、填空题

6．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f()＝________.

【解析】　∵f(x)＝x2＋x＋1，∴f()＝()2＋＋1＝3＋.

【答案】　3＋

7．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.

【解析】　由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．

【答案】　[1，＋∞)

8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．

【解析】　由题意知即

解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．

【答案】　(0,2)

三、解答题

9．求下列函数的定义域：

(1)y＝＋；

(2)y＝.

【解】　(1)由已知得

∴∴－≤x≤，

∴函数的定义域为.

(2)由|x＋2|－1≠0，得|x＋2|≠1，即x≠－1，且x≠－3，

∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.

(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

【解】　(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；

f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；

f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.

(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)－f(－x)＝0.

证明如下：

∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

∴对任意x∈R，总有f(x)－f(－x)＝0.

[能力提升]

1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)

A．x＝y2＋1   B．y＝2x2＋1

C．x－2y＝6   D．x＝

【解析】　对于选项A，若x＝5，则y＝±2，不满足函数定义中的唯一性．

【答案】　A

2．已知f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，即f(175)＝________.

【解析】　∵f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，∴f(5)＋f(7)＝f(35)，∴m＋n＝f(35)，把y＝35代入得f(5)＋f(35)＝f(175)，∴m＋m＋n＝f(175)，即2m＋n＝f(175)，∴f(175)＝2m＋n.

【答案】　2m＋n

3．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f 的定义域为________．

【解析】　由得

解得0≤x≤.

【答案】　

4．已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；

(2)求证：f(x)＋f是定值；

(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f的值.

【解】　(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＋f＝＋＝1，

f(3)＋f＝＋＝1.

(2)证明：f(x)＋f＝＋

＝＋

＝

＝1.

∴f(x)＋f是定值，且为1.

(3)由(2)知f(x)＋f＝1，∴f(2)＋f＝1，

f(3)＋f＝1，

f(4)＋f＝1，

…，

f(2 016)＋f＝1.

∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.