人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式同步测试题

这是一份人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式同步测试题，共6页。

[A组 学业达标]
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．
答案：C
2．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是( )
A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－b
C．|a|x＞|a|y D．(a－b)x＞(a－b)y
解析：当a≠0时，|a|＞0，|a|x＞|a|y，当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y，故选C.
答案：C
3．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．x|y|＞z|y| D．xy＞xz
解析：由题意知三数和为0，则最大数必大于0，最小数必小于0，其他数待定．可知x＞0，z＜0，又y＞z，则xy＞xz.
答案：D
4．已知M＝x2－3x＋7，N＝－x2＋x＋1，则( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．M，N的大小与x的取值有关
解析：因为M＝x2－3x＋7，N＝－x2＋x＋1，M－N＝(x2－3x＋7)－(－x2＋x＋1)＝2x2－4x＋6＝2(x－1)2＋4＞0，所以M＞N，故选B.
答案：B
5．设m，n∈R，给出下列结论：①m＜n＜0⇒m2＜n2；②ma2＜na2⇒m＜n；③eq \f(m,n)＜a⇒m＜na；④m＜n＜0⇒eq \f(n,m)＜1.其中正确的结论有( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．③④
解析：①m＜n＜0⇒m2＞n2；②ma2＜na2，可得m＜n，且a2≠0；③eq \f(m,n)＜a，n＞0时，得m＜na，n＜0时，得m＞na；④由m＜n＜0，得eq \f(1,n)＜eq \f(1,m)＜0，∴1＞eq \f(n,m).综上可得，②④正确．
答案：B
6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)
解析：这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，
x∈N*.
答案：5x－2(19－x)≥80，x∈N*
7．已知－1＜2x－1＜1，则eq \f(2,x)－1的取值范围是________．
解析：－1＜2x－1＜1⇒0＜x＜1⇒eq \f(1,x)＞1⇒eq \f(2,x)＞2⇒eq \f(2,x)－1＞1.
答案：(1，＋∞)
8．给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则eq \f(c,a)＜eq \f(c,b)；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N*，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).
其中正确命题的序号是________．
解析：①当ab＜0时，eq \f(c,a)＜eq \f(c,b)不成立，故①不正确；
②当c＜0时，a＜b，故②不正确；
③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；
④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，
两边同乘以eq \f(1,c－ac－b)，得0＜eq \f(1,c－b)＜eq \f(1,c－a)，
又a＞b＞0，∴eq \f(a,c－a)＞eq \f(a,c－b)＞eq \f(b,c－b)，故④正确．
答案：④
9．已知－2＜a≤3,1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围；
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
解析：(1)|a|∈[0,3]；(2)－1＜a＋b＜5；
(3)依题意得－2＜a≤3，－2＜－b≤－1，相加得－4＜a－b≤2；
(4)由－2＜a≤3得－4＜2a≤6 ①，
由1≤b＜2得－6＜－3b≤－3 ②，
由①②得，－10＜2a－3b≤3.
10．已知a，b为正实数，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))与eq \r(a)＋eq \r(b)的大小．
解析：法一：(作差法)(eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a)))－(eq \r(a)＋eq \r(b))
＝(eq \f(a,\r(b))－eq \r(b))＋(eq \f(b,\r(a))－eq \r(a))
＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a))＝eq \f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))
＝eq \f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab)).
∵a，b为正实数，∴eq \r(a)＋eq \r(b)＞0，eq \r(ab)＞0，(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，
∴eq \f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，
∴eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b).
法二：(作商法)eq \f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq \f(\r(b)3＋\r(a)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b))
＝eq \f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq \f(a＋b－\r(ab),\r(ab))
＝eq \f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq \f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1.
∵eq \f(b,\r(a))＋eq \f(a,\r(b))＞0，eq \r(a)＋eq \r(b)＞0，
∴eq \f(b,\r(a))＋eq \f(a,\r(b))≥eq \r(a)＋eq \r(b).
法三：(平方后作差)
∵(eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a)))2＝eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)＋2eq \r(ab)，
(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)，
∴(eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a)))2－(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝eq \f(a＋ba－b2,ab).
∵a＞0，b＞0，∴eq \f(a＋ba－b2,ab)≥0，
又eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))＞0，eq \r(a)＋eq \r(b)＞0，故eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b).
[B组 能力提升]
11．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2) D．－eq \f(π,2)＜α－β＜0
解析：从题中－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)可分离出三个不等式：－eq \f(π,2)＜α＜eq \f(π,2) ①，－eq \f(π,2)＜β＜eq \f(π,2) ②，α＜β ③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－eq \f(π,2)＜－β＜eq \f(π,2) ④，根据同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.
由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0.
答案：B
12．若0＜m＜1，则( )
A．lgm(1＋m)＞lgm(1－m)
B．lgm(1＋m)＞0
C．1－m＞(1＋m)2
D．(1－m)eq \f(1,3)＞(1－m)eq \f(1,2)
解析：∵0＜m＜1，∴函数y＝lgmx在(0，＋∞)上是减函数．又1＋m＞1－m＞0，
∴lgm(1＋m)＜lgm(1－m)，A不正确．
∵0＜m＜1，∴1＋m＞1，
∴lgm(1＋m)＜0，B不正确．
∵0＜m＜1，∴0＜1－m＜1,1＋m＞1，
∴1－m＜(1＋m)2，C不正确．
∵0＜m＜1，∴0＜1－m＜1，
∴函数y＝(1－m)x是R上的减函数．又eq \f(1,3)＜eq \f(1,2)，
∴(1－m)eq \f(1,3)＞(1－m)eq \f(1,2)，D正确．
答案：D
13．若a＝eq \f(ln 2,2)，b＝eq \f(ln 3,3)，c＝eq \f(ln 5,5)，则a，b，c的大小关系是________．(由小到大排列)
解析：因为a－b＝eq \f(3ln 2－2ln 3,6)＝eq \f(ln 8－ln 9,6)＜0，所以a＜b.
因为a－c＝eq \f(5ln 2－2ln 5,10)＝eq \f(ln 32－ln 25,10)＞0，所以a＞c.
所以c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
14．设x，y为实数，且满足3≤xy2≤8,4≤eq \f(x2,y)≤9，则eq \f(x3,y4)的最大值是________．
解析：∵4≤eq \f(x2,y)≤9，∴16≤eq \f(x4,y2)≤81 ①.
∵3≤xy2≤8，∴eq \f(1,8)≤eq \f(1,xy2)≤eq \f(1,3) ②.
由①②可得2≤eq \f(x4,y2)·eq \f(1,xy2)≤27，
即2≤eq \f(x3,y4)≤27.
∴eq \f(x3,y4)的最大值为27.
答案：27
15．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq \f(1,xy)≤eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋xy.
证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，
所以x＋y＋eq \f(1,xy)≤eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上面不等式中的右端减左端，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
16．设f(x)＝1＋lgx3，g(x)＝2lgx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
解析：f(x)－g(x)＝1＋lgx3－2lgx2＝lgx eq \f(3x,4)，
①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜1，,\f(3x,4)＞1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1，,0＜\f(3x,4)＜1，))
即1＜x＜eq \f(4,3)时，lgx eq \f(3x,4)＜0，
所以f(x)＜g(x)．
②当eq \f(3x,4)＝1，即x＝eq \f(4,3)时，lgx eq \f(3x,4)＝0，
即f(x)＝g(x)．
③当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜1，,0＜\f(3x,4)＜1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1，,\f(3x,4)＞1，))
即0＜x＜1，或x＞eq \f(4,3)时，lgx eq \f(3x,4)＞0，
即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜eq \f(4,3)时，f(x)＜g(x)；
当x＝eq \f(4,3)时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞eq \f(4,3)时，f(x)＞g(x)．