高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-4第十二章 机械波3 波长、频率和波速教学设计及反思

课时12.3　波长、频率和波速

　　1.知道波长、周期、频率、波速的概念和物理意义。

2.掌握波长、频率和波速的关系式,并能应用这些关系式解答有关问题。

3.明确机械波传播过程中的周期性、多解性形成的原因和结果。

重点难点:波长、频率和波速三个物理量及这三个物理量之间的关系。

教学建议:波长、频率和波速是描述波的特性的物理量,要让学生理解它们。教学中可通过波动箱模拟、演示波源振动一个周期形成的波形,并结合多媒体动画课件来帮助学生认识波长。在学生认识波长、频率和波速三者的关系后,应进一步加深对波动图象的认识。

导入新课:我们拿着绳子的一端上下振动,绳波在绳子上传播。如果改变振动的快慢,即改变机械振动的周期,那么所形成的绳波在绳子上传播的速度改变了吗?波的传播速度与哪些因素有关呢?

1.波长(λ)

(1)定义:在波动中,振动相位总是相同的两个①相邻质点间的距离。

(2)特征:在横波中,两个②相邻波峰或两个③相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中,两个④相邻密部中央或两个相邻疏部中央之间的距离等于波长。

2.周期(T)和频率(f)

(1)定义:波的周期(或频率)即⑤波源的周期(或频率)。

(2)规律:在波动中,各个质点的振动周期(或频率)是⑥相同的,它们都等于⑦波源的振动周期(或频率)。

(3)关系:周期(T)和频率(f)⑧互为倒数(或乘积等于1),即f=。

(4)时空关系:在⑨一个周期的时间内,振动在介质中传播的距离等于一个波长。

3.波速(v)

(1)定义:机械波在介质中传播的速度称为波速。波速等于⑩传播距离(或一个波长)和传播时间(或一个周期)的比值。

(2)定义式:v=,它又等于波长和频率的乘积,公式为v=λf。这两个公式虽然是从机械波得到的,但也适用于电磁波。

(3)决定因素:机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定,在不同的介质中,波速不同,另外,波速还与温度有关。

1.在波长的定义中为什么要有“相邻”一词?

解答:波的传播具有周期性,振动相位总是相同的点有很多。

2.在波动中,各质点的振动频率与波源的频率有何关系?

解答:频率相同。

3.机械波的传播速度由什么决定?

解答:由介质本身的性质决定。

主题1:波长

问题:(1)在一个波长内,如果两个质点在某个时刻位移是相同的,那么这两个质点间的距离是不是一定等于波长?为什么?

(2)如果两个质点相对平衡位置的位移总是相同的,那么这两个质点间的距离是不是一定等于波长?为什么?

解答:(1)不一定;有些质点在某个时刻位移是相同的,但过一段时间后,位移就不一定相同了,所以这样的两个质点间的距离就不一定等于一个波长。

(2)不一定;相对平衡位置的位移总是相同的两个质点间的距离可能是一个波长,也可能是整数个波长。

知识链接:相距若干整数波长的两个质点相对平衡位置的位移总是相等,而且振动速度的大小和方向也相同。

　　主题2:周期和频率

问题:(1)波的周期(或频率)与传播波的介质有关吗?

(2)根据波长和周期的概念,在波传播过程中怎样把时间和空间联系在一起?

解答:(1)由于波的周期(或频率)就是波源质点振动周期(或频率),所以波的周期(或频率)应由波源决定,与传播波的介质无关。

　　(2)经过一个周期,波源完成一次全振动,在介质中正好形成一个完整的波形,即在一个周期的时间内,振动在介质中传播一个波长。反之,振动在介质中传播一个波长,所用时间一定是一个周期。

知识链接:每隔一个波长距离,波形就重复出现;每隔一个周期,波形恢复原来的形状,这就是波的“空间周期性”和“时间周期性”。

　　主题3:波速

问题:(1)能不能说波速与波长成正比,与频率成正比(或与周期成反比)?

(2)波速与质点的振动速度有什么不同?

(3)波从一种介质进入另一种介质,波长、周期(或频率)和波速会发生变化吗?波速公式v=λf还成立吗?

解答:(1)不能。波速仅由介质本身性质决定,与波长、周期(或频率)、振幅都无关。

(2)波速是振动形式匀速传播出去的速度,始终沿着波的传播方向,在同一介质中大小保持不变;质点振动速度是质点在平衡位置附近做振动的速度,大小、方向均随时间改变。

(3)波从一种介质进入另一种介质,一般来说波长和波速会发生变化,但周期(或频率)是不变的。波速公式v=λf依然成立。

知识链接:同一类机械波在同—介质中的传播速度是相同的,与波的频率无关,即机械波的传播速度由介质本身决定。

1.(考查对波速的理解)下列对波速的理解正确的是(　　)。

A.波速表示振动在介质中传播的快慢

B.波速表示介质质点振动的快慢

C.波速表示介质质点迁移的快慢

D.波速跟波源振动的快慢无关

【解析】机械振动在介质中传播的快慢用波速表示,它的大小由介质本身的性质决定,与介质质点的振动速度是两个不同的概念,与波源振动快慢无关,故A、D选项正确;波速不表示质点振动的快慢,介质质点也不随波迁移,因此B、C选项错误。

【答案】AD

【点评】波速表示振动在介质中传播的快慢,它由介质性质决定,与波源无关。

2.(考查对v=λf的理解)对于机械波,关于公式v=λf的说法中正确的是(　　)。

A.v=λf适用于一切波

B.由v=λf知,f增大,则波速v也增大

C.v、λ、f三个量中,对同一列波来说,在不同介质中传播时保持不变的只有f

D.由v=λf知,波长是2 m的声音比波长是4 m的声音传播速度小2倍

【解析】公式v=λf适用于一切波,无论是机械波还是电磁波,A项正确;机械波的波速由介质本身决定,与波长λ、频率f无关,所以B、D两项错;对同一列波,其频率由波源决定,与介质无关,故C项正确。

【答案】AC

【点评】公式v=λf适用于一切波,波速由介质决定,频率由波源决定,波长由频率与波速共同决定。

3.(考查波形图与波的有关规律)一简谐横波沿x轴正方向传播,某时刻其波形如图所示。下列说法正确的是(　　)。

A.由波形图可知该波的波长

B.由波形图可知该波的周期

C.经周期后质点P运动到Q点

D.经周期后质点R的速度变为零

【解析】由题可知,此图是波动图象,由图可以直接看出波长,A对;但得不到周期,B错;又因为知道波的传播方向,则可以得出各质点的振动方向,但质点不会随着波向前传播,所以C错;经周期后质点R到达最低点,速度为0,D对。

【答案】AD

【点评】根据波的图象可以得到波长、振幅、该时刻各质点的位移等信息。

4.(考查图象的综合应用)如图所示,图甲为一列沿水平方向传播的简谐横波在t=0时的波形图,图乙是这列波中质点P的振动图象,那么:

(1)该波的传播速度为　　　　m/s。 

(2)该波的传播方向为　　　　(填“向左”或“向右”)。  

【解析】(1)波的周期T=2 s,波长λ=1 m,波速v==0.5 m/s。

(2)由图乙可知在t=0时,P点沿y轴正方向运动,结合图甲判断波是向左传播的。

【答案】(1)0.5　(2)向左

【点评】根据波速公式,并结合各图象的物理意义确定波的传播情况。

拓展一:对波长的深入理解

1.图示是一列简谐波在某一时刻的波形图象,下列说法中正确的是(　　)。

A.质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同

B.质点B、F在振动过程中位移总是相同

C.质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长

D.质点A、I在振动过程中位移总是相同,它们的平衡位置间的距离是一个波长

【分析】从相位角度定义,波长就是“振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离”,注意“总是相同”“相邻”这些条件。如果从位移角度理解就是“相对平衡位置的位移总是相等的相邻质点间的距离”。

【解析】从图象中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零,由于波的传播方向是向右的,容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的,而质点C、G的速度方向是向上的,因而这五个点的位移不总是相同,A项错误;质点B、F是处在相邻波峰的两个点,它们的振动步调完全相同,在振动过程中位移总是相等,B项正确;质点D、H是处在相邻波谷的两个点,它们的平衡位置之间的距离等于一个波长,C项正确;虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同,振动步调也完全相同,但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点,所以它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长),D项错误。

【答案】BC

【点拨】在理解波长的概念时,要注意切不可把“在波动中,振动相位总是相同的质点”“在波动中某一时刻位移相等的质点”与“在波动中,振动相位总是相同的两个相邻质点”混为一谈,另外,还要注意“相邻”二字,不要把波长的概念理解为“在振动中位移总是相同的质点间的距离”。

　　拓展二:波长、频率和波速的决定因素

2.简谐机械波在给定的介质中传播时,下列说法中正确的是(　　)。

A.振幅越大,则波传播的速度越快

B.振幅越大,则波传播的速度越慢

C.在一个周期内,振动质点走过的路程等于一个波长

D.振动的频率越高,则波传播一个波长的距离所用的时间越短

【分析】本题考查机械波的波长、波速、频率的制约因素。它们都和振幅无关,频率由波源决定,波速由介质决定,波长由频率、波速两者决定。

【解析】波速的大小由介质本身的性质决定,与振幅无关,所以A、B均错;由于振动质点做简谐运动,在一个周期内,振动质点走过的路程等于振幅的4倍,所以C选项错误;根据经过一个周期T ,振动在介质中传播的距离等于一个波长,所以振动的频率越高,则波传播一个波长的距离所用的时间越短,D选项正确。

【答案】D

【点拨】波速v==λf是表示波传播规律的一个基本公式。在机械波中,波的周期和频率由波源的周期和频率决定,在波传播过程中是不变的,波速是由介质本身的性质决定的,在不同介质中传播的速度不同。所以波从一种介质进入另一种介质时,周期和频率不变,波长与波在介质中的波速成正比。

　　拓展三:波长、周期和波速的关系与波的图象的综合

3.如图所示的图象中,实线是一列简谐横波在某一时刻的图象,经过t=0.2 s后这列波的图象如图中虚线所示,求这列波的波速。

【分析】关于波速的计算问题,需要注意多解问题。给了某时刻的波形图和0.2 s后的波形图,但不知道波的传播方向,它可能向左传播也可能向右传播;对于每个可能的传播方向,时间与周期的关系也不确定,例如,如果向右传播,0.2 s可能是个周期,也可能是1个周期、2个周期、…,需要考虑所有可能的情况。

【解析】此题波速有多种可能的原因有两个:一个是传播方向的不确定;一个是时间t和周期T的大小关系不确定。

设波沿x轴正方向传播,t=0.2 s可能是(n+)(n=0,

1,2,…)个周期,即t=(n+)T1

周期T1==

波速v1===5(4n+1) m/s(n=0,1,2,…)

设波沿x轴负方向传播,t=0.2 s可能是(n+)(n=0,1,2,…)个周期,即t=(n+)T2

周期T2==

波速v2===5(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)。

【答案】若波沿x轴正方向传播,v1=5(4n+1) m/s(n=0,1,2,…);若波沿x轴负方向传播,v2=5(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)

【点拨】引起多解的原因:(1)波的传播方向不确定;(2)波的周期性;(3)质点振动方向不明确。有时候上述多解成因交织在一起,使得问题更隐蔽复杂,学习时一定要弄清多解成因。

一、物理百科

耳朵怎样分辨不同的声音?

对只有一个单一频率的声音(纯音),沿基底膜移动的行波有一振幅最大点(共振点),使基底膜产生形变,其位置因频率而变,高频靠近基部,低频靠近蜗顶。

对非单一频率的复音(从人声到乐器发出的声音都是如此),情况就比较复杂了。在这种情况下,沿基底膜分布的共振点很多,受到刺激的听神经也就很多。听神经发出的电脉冲与声波的周期有一定的同步关系,听神经上许多纤维发出的电脉冲因而可与声音频率一致,这便是耳蜗频率分析的时间机理。例如,钢琴C大调Do键发出的声音是由264赫兹的基音以及频率为基音2倍、3倍、4倍……的泛音组成的。这时在基底膜的多个点发生形变,但是从基底膜向大脑发送的神经冲动出现一些相当明显的峰值,峰值的重复频率和基音是一致的。这同样适用于多个音符组成的和弦,如三和弦、四和弦等。那些由音乐中泛音,或者按照传统的和声原则合成的听起来悦耳的音符(如纯五度音程的Do—So)都具有明显的周期性;那些听起来不和谐的音符(比如增四度音程的Do—Fa)的周期性则很弱或完全没有周期性。在这种情况下,大脑不再通过产生神经冲动的听觉神经的位置,而是通过接收到的电脉冲的重复频率来判断音高。也就是说,为了确定一个声音以及它的和谐性,大脑必须接收清晰的信号,从某种意义上讲,它必须能够“数得清数”。这种解释使人想起了18世纪著名的数学家和哲学家莱布尼兹说过的一句话:“音乐是不会数数的大脑进行的一种数数的算术练习。”

二、备用试题

1.对公式v=λf的理解,以下说法中正确的是(　　)。

A.由v=λf可知,波速与频率成正比

B.波速v由介质决定,频率f由波源决定

C.v=λf适用于横波,不适用于纵波

D.不同频率的声音在空气中传播时的速度可能不同

【解析】机械波在介质中的传播速度由介质决定,与振源的频率无关,而频率由振源决定,故B选项正确,A、D选项错误;v=λf适用于任何机械波在介质中传播的波速计算,故C选项错误。

【答案】B

2.一列简谐波在两时刻的波形如图中实线和虚线所示,由图可确定这列波的(　　)。

A.周期

B.波速

C.波长

D.频率

【解析】由题中所给的波形图能够确定这列波的波长为4 m。

【答案】C

3.一简谐横波以4 m/s的波速沿x轴正方向传播。已知t=0时的波形如图所示,则(　　) 。

A.波的周期为1 s

B.x=0处的质点在t=0时向y轴负方向运动

C.x=0处的质点在t=s时速度为0

D.x=0处的质点在t=s时速度值最大

【解析】由波的图象知波长λ=4 m,所以周期T==1 s,A项正确;由波的传播方向和质点振动方向之间的关系知,此

时x=0处的质点向y轴负方向运动,B项正确;质点运动时越接近平衡位置速度越大,t=s=时,x=0处的质点已运动到x轴下方,其振动速度既不为零,也不是最大值,C、D均错。

【答案】AB

4.如图所示,实线是某时刻的波形图,虚线是0.2 s后的波形图。

(1)若波向左传播,求它传播的最小距离。

(2)若波向右传播,求它的最大周期。

(3)若波速是35 m/s,求它的传播方向。

【解析】(1)由图可知λ=4 m,若波向左传播,传播距离最小值Δx=λ=3 m。

(2)若波向右传播,Δx=nλ+λ,所用时间Δt=nT+=0.2 s,T= s

所以当n=0时,有最大周期Tmax=0.8 s。

(3)Δx=Δt·v=0.2×35 m=7 m=λ+3,所以波向左传播。

【答案】(1)3 m　(2)0.8 s　(3)向左传播

1.关于波长,下列说法正确的是(　　)。

A.机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长

B.在波形图上位移相同的相邻两质点之间的距离等于一个波长

C.在波形图上速度最大且方向相同的相邻两质点间的距离等于一个波长

D.在波形图上振动情况总是相同的两点间的距离等于一个波长

【解析】机械振动在一个周期内向远处传播一个完整的波形,故A正确;由波形图可知,在一个完整波形上,位移相同的质点间的距离不一定等于一个波长,故B选项错误;速度最大且方向相同的质点,在波形图上位于平衡位置上,若两质点相邻,则正好是一个完整波形的两个端点,所以C选项正确;振动情况总是相同的两点间的距离是波长λ的整数倍,故D选项不正确。

【答案】AC

2.关于波的周期,下列说法正确的是(　　)。

A.质点的振动周期就是波源的周期

B.波的周期是由波源驱动力的频率决定的

C.波的周期与形成波的介质的密度有关

D.经历整数个周期,波形图重复出现,只是波峰向前移动了一段距离

【解析】波的周期性是由质点振动的周期性决定的,故A选项正确;波的周期等于波源驱动力的周期,与介质无关,故B选项正确,C选项错误;D选项正是波的周期性的体现,故D选项正确。

【答案】ABD

3.关于简谐机械波在给定的介质中传播,下列说法正确的是(　　)。

A.波速与频率成正比,与波长成正比

B.振幅越大,波速越大

C.在一个周期内,振动的质点走过的路程等于一个波长

D.周期越大,波长越大

【解析】机械波的波速由介质本身决定,频率由波源决定,波长由波速及频率共同决定,所以A错。波速不是由波长和频率决定的,波速与振幅没有关系,选项B错误;质点不随波迁移,只是在平衡位置上下振动,选项C错误;由于v由介质决定,对于一确定的介质,v不变,所以T越大,波长越大,D正确。

【答案】D

4.图示为一列简谐横波的波动图象。已知波速v=60 m/s,且沿x轴正方向传播,从图中可知(　　)。

A.各质点振幅为2 cm,波长为24 m,周期为2.5 s

B.在x=6 m处质点的位移为零,速度方向沿x轴正方向

C.在x=18 m处质点的位移为零,速度最大

D.在x=24 m处质点的位移为2 cm,振动周期为0.4 s

【解析】由v=得T==0.4 s,横波质点振动的方向与传播方向垂直,故A、B选项错误,C、D选项正确。

【答案】CD

5.用手握住较长软绳的一端连续上下抖动,形成一列简谐横波。某一时刻的波形图如图所示,绳上a、b两质点均处于波峰位置。下列说法正确的是(　　)。

A.a、b两质点之间的距离为半个波长

B.a、b两质点开始起振时刻相差半个周期

C.b质点完成全振动的次数比a质点多一次

D.b质点完成全振动的次数比a质点少一次

【解析】a、b两质点是波上相邻的两波峰,其间距为一个波长,波在传播时,在一个周期里传播一个波长,所以波的前端从a质点到b质点需要一个周期的时间,a质点比b质点提前一个周期起振,所以b质点完成的全振动次数比a少一次。故正确选项只有D。

【答案】D

6.如图所示,一列简谐横波沿x轴传播,实线为t1=0时的波形图,此时P质点向y轴负方向运动;虚线为t2=0.01 s时的波形图。已知周期T>0.01 s。

(1)波沿x轴　　　　(填“正”或“负”)方向传播。 

(2)求波速。

【解析】(2)由题意知,λ=8 m,波形向右平移1 m

则t2-t1=T

又v=

联立解得:v=100 m/s。

【答案】(1)正　(2)100 m/s

7.如图所示,位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S,产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波。若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2,则(　　)。

A.f1=2f2,v1=v2 B.f1=f2,v1=0.5v2

C.f1=f2,v1=2v2 D.f1=0.5f2,v1=v2

【解析】波的频率与波源的振动频率相同,与介质无关,所以f1=f2,由图知λ1=L,3λ2=L,得λ1=2λ2,由v=λf,得v1=2v2,故选项C正确。

【答案】C

8.如图所示,一列横波以10 m/s的速率沿水平方向传播,某时刻的波形图如图中实线所示,经过Δt后的波形图如图中虚线所示。已知2T>Δt>T(T为这列波的周期)。由此可知Δt可能是(　　)。

A.0.3 s　　B.0.5 s　　C.0.6 s　　D.0.7 s

【解析】根据v=,则T=0.4 s。当此波向右传播时Δt=T+T=0.7 s,当波向左传播时Δt=T+T=0.5 s。

【答案】BD

9.图示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波,实线为t=0时刻的波形图,虚线为t=0.6 s时刻的波形图,波的周期T>0.6 s,则(　　)。

A.波的周期为2.4 s

B.在t=0.9 s时,P点沿y轴正方向运动

C.经过0.4 s,P点经过的路程为4 m

D.在t=0.5 s时,Q点到达波峰位置

【解析】本题考查波形图象及图象上某点的振动情况,由题意知T=0.6 s,所以T=0.8 s,A错;t=0.9 s时P点沿y轴负方向运动,B错;经过0.4 s,P点经过的路程为2A=0.4 m,C错;Q点先向下运动,经t=0.5 s恰好到达波峰位置,D正确。

【答案】D

10.图甲为一列横波在t=0时的波动图象,图乙为该波中x=2 m处质点P的振动图象,下列说法正确的是(　　)。

A.波速为4 m/s

B.波沿x轴负方向传播

C.在t=0.5 s时,质点P的动能最大

D.在t=2.5 s时,质点P振动路程为1.8 cm

【解析】根据v== m/s=4 m/s,可知A选项正确;根据上下坡法可知,质点P向上运动,应该处于下坡路上,所以该波是向右传播的,B错误;在t=0.5 s时,质点P又回到平衡位置,所以动能最大,C正确;在t=2.5 s时,质点P振动路程为s=×0.8 cm=2 cm,D错误。

【答案】AC

11.已知在t1时刻某简谐横波的波形如图中实线所示。在时刻t2,该波的波形如图中虚线所示,t2-t1=0.02 s。

(1)求该波可能的传播速度。

(2)若已知T< t2-t1<2T,且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上,求可能的波速。

【解析】(1)如果这列简谐横波是向右传播的,在(t2-t1)时间内波形向右匀速传播了(n+)λ,所以波速v==100(3n+1) m/s(n=0,1,2,…);同理可得,若该波是向左传播的,则可能的波速v=100(3n+2) m/s(n=0,1,2,…)。

(2)在t1时刻,P质点速度向上,说明波向左传播,T<t2-t1<2T,说明这段时间内波只可能是向左传播了个波长,所以速度是唯一的,即v=500 m/s。

【答案】(1)若波向右传播,v=100(3n+1) m/s (n=0,1,2,…);若波向左传播,v=100(3n+2) m/s(n=0,1,2,…)

(2)500 m/s

12.一列简谐波沿x轴正方向传播,t=0时波形如图甲所示,已知在0.6 s末,质点A恰好第四次(图中为第一次)出现波峰。

(1)该简谐波的波长、波速分别为多少?

(2)经过多长时间x=5 m处的质点P第二次出现波谷?

(3)如果以该机械波传到质点P开始计时,请在图乙中画出质点P的振动图象,并标明必要的横、纵坐标值,至少画出一个周期的图象。

【解析】(1)由图甲可知λ=2 m

质点A从图示位置到第四次出现波峰历时3个周期,则T= s=0.2 s

由波速公式可得:v==10 m/s。

(2)质点A处的波峰第一次传到质点P所用时间为t1== s=0.45 s

从质点P第一次出现波峰开始还需半个周期才第二次出现波谷,即t2==0.1 s

质点P第二次出现波谷的时间为t=t1+t2=0.45 s+0.1 s=0.55 s。

(3)由图甲可以看出,在t=0时,x=2 m处的质点刚开始振动,并且振动方向向下,故机械波传到质点P时, 质点P起振方向也是向下的。因此可画出质点P的振动图象如图丙所示。

丙

【答案】(1)2 m　10 m/s　(2)0.55 s　 (3)如图丙所示