2020届山东省泰安第二中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2020届山东省泰安第二中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若，则等于（    ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】D

【解析】

,选D.

2．若，则复数在复平面上对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.

详解：因为，

，

所以复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．设某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据用最小二乘法建立回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ）

A．具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本的中心

C．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该中学某女生身高增加160cm，则可断定其体重必为50.29kg

【答案】D

【解析】由最小二乘法建立的回归方程可以直接判断得出答案.

【详解】

由最小二乘法建立的回归方程得回归直线一定过样本中心,且由的系数0.85得两个变量为正的线性相关关系,由回归方程式当身高增加1时代入计算增加的体重约为0.85, 当身高增加160时代入计算增加的体重约为50.29,不是一定为50.29,所以可得:ABC正确,D错误.

故选:D.

【点睛】

本题考查了线性回归分析,属于基础题.

4．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.

详解：因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

5．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．

详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为 种 
所以小赵独自去一个景点的可能性为种
因为4 个人去的景点不相同的可能性为 种，
所以 ．
故选：D．

点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．

6．设P是的二面角内一点，垂足，

则AB的长为（   ）

A.           B.         C.         D.  

【答案】C

【解析】解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，

连接AQ、BQ可得直线l⊥平面PAQB，

所以∠AQB是二面角α-l-β的平面角，∠AQB=60°，

故△PAB中，∠APB=180°-60°=120°，PA=4，PB=2，

由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA•PBcos120°，=42+22-2×4×2×(-1 2 ) =28，

所以AB=，故选C．

7．数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。现从中任意选取6人分成两组分配到A,B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是

A．220 B．440 C．255 D．510

【答案】D

【解析】分析：根据题意，分析可得“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，则先分另外三人的编号必须“都大于28”或“都小于8”这两种情况讨论选出其他三人的情况，再将选出2组进行全排列，最后由分步计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，要确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，

则分2种情况讨论选出的情况：

①如果另外三人的编号都大于28，则需要在29—40的12人中，任取3人，有种情况；

②如果另外三人的编号都小于8，则需要在1—7的7人中，任取3人，有种情况.

即选出剩下3人有种情况，

再将选出的2组进行全排列，有种情况，

则编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是种.

故选：D.

点睛：本题考查排列组合的应用，解题的关键是分析如何确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，进而确定分步，分类讨论的依据.

8．函数,其导函数的图象大致为 (   )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果.

【详解】

，

，

令且，

过点，

，

，

当时，故单调递增，

则，

故存在使得，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

当时，故单调递减，

则,

故存在使得，

所以当时，单调递增，

当时，故单调递减，

综上：在单调递减，在上单调递增，在单调递减，

结合图像可知A正确.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，属于中档题.

9．若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（   ）

A． B． C．3 D．1

【答案】D

【解析】分析：由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．

详解：∵，∴随机变量的值只能为，

∴，解得或，

∴．

故选D．

点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量只能取两个值，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．

10．已知函数，如果函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.

详解：函数的定义域为(0, +∞)

①当时，恒成立，令，则，

即在上单调递增，在上单调递减，

则在处取得极小值，符合题意；

②当时，时，

又函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，

在处取得极值.

从而或恒成立，

构造函数，

，

设与相切的切点为，

则切线方程为，

因为切线过原点，则，解得，

则切点为

此时.

由图可知：

要使恒成立，则.

综上所述：.

故选：C.

点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．

11．已知函数与的图象如图所示，则函数（   ）

A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数

C．在区间上减函数 D．在区间上是减函数

【答案】B

【解析】分析：求出函数的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．

详解：，
由图象得：时， ，
故在递增，
故选：B．

点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题．

二、多选题

12．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】由题中条件可转化为至少有两个不相等的实数根,进行一一判断即可得答案.

【详解】

由题意可得,若函数为2倍值函数,需要在定义域内至少有两个不相等的实数根,

A,解得或满足题意;

B解得或满足题意;

C无解,不满足题意;

D解得或满足题意.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查了新定义函数的应用,理解新定义函数并正确的转化是解题的关键,属于一般难度的题.

13．如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(   )

A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值；

C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

【答案】BD

【解析】对于A取的中点为，连接交于点，则，

由，则，从而判断A，对于B，由判断A的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判断；对于D根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，

连接，再由线面垂直的性质定理即可判断；

【详解】

对于A，取的中点为，连接交于点，如图

则，

如果，则,

由于，则,

由于三线共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B，如图，由,

且，

在中，由余弦定理得：

，也是定值，

故是定值，故正确；

对于C，如图

，即,则

若，由于，

且平面，

平面，平面，

，则,

由于，故不成立，故不正确；

对于D，根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，

连接，如图

，则，

且，平面平面

，平面

平面，平面

，

则，,

,

从而,

易知

的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，

表面积是，故D正确；

故选：BD

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

三、填空题

14．己知随机变量服从正态分布，且，则______.

【答案】0.3413

【解析】由正态分布密度曲线的对称性及概率特点直接求解即可.

【详解】

因为随机变量X服从正态分布,且,

所以.

故答案为:0.3413.

【点睛】

本题考查了利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,属于基础题.

15．已知的展开式中的系数是－35，则______.______.

【答案】1    1   

【解析】利用二项展开式的通项求参数,令,求得,令求得,然后可求得

【详解】

由的展开式的通项令得,所以由解得,所以得

令得

令得,

所以

故答案为:1;1.

【点睛】

本题考查了二项展定理的应用,赋值法求参数的应用,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于一般难度的题.

16．点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是_______.

【答案】

【解析】建立空间直角坐标系，则点，，设点的坐标为，则由题意可得，，，计算，再利用二次函数的性质求得它的值域.

【详解】

如图所示：以点D为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，

以所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系，则点，，设点的坐标为，则由题意可得，，，

，

由二次函数的性质可得，当时，取得最小值；

故当或，且或时，取得最大值；

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了空间直角坐标系的在平面向量中的应用，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于中档题.

17．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】构造函数,求导利用题中条件证明函数在定义域上为单调递增函数,然后将不等式转化为进行求解.

【详解】

令,定义域为,所以

因为函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有,所以恒成立,所以恒成立,则函数在定义域上为单调递增函数,

所以由不等式可得即得解得,即不等式的解集为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了导数的应用,利用导数的知识判断函数的单调性,然后利用函数单调性解决不等式的问题,准确的构造函数并转化不等式是解决本题的关键,属于中档题.

四、解答题

18．已知复数满足（其中为虚数单位）

（Ⅰ）求；   

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值。

【答案】（1）；（2）.

【解析】【详解】

分析：(1) ）设，可得，解得从而可得结果；(2) 由（1）知，利用为纯虚数可得，从而可得结果.

详解：（1）设，

由于

则：

解得：

（2）由（1）知

又为纯虚数，

点睛：本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.

19．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，与满足

（1）求的值；

（2）求的展开式中的系数。

【答案】（1）；（2）-20.

【解析】分析：（1）根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程求得m的值；

（2）利用二项展开式的通项公式即可.

详解：（1）由题意知：，又

（2）

含的项：

所以展开式中的系数为

点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

20．已知函数.

（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；

（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】【详解】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，从而可得结果；（2）在内有极大值和极小值，等价于

在内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.

详解：，

（1）∵在处取得极值，

∴，∴，∴，

∴，令，则，

∴，

∴函数的单调递减区间为.

（2）∵在内有极大值和极小值，

∴在内有两不等实根，对称轴，

∴，

即 ，

∴.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.

21．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

1证明：；

2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．

【详解】

1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．

因为E为BC的中点，所以．

又，因此．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

而平面PAD，平面PAD且，

所以平面又平面PAD，

所以．

2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由1知平面PAD，

则为EH与平面PAD所成的角．

在中，，

所以当AH最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此又，所以，

所以．

因为平面ABCD，平面PAC，

所以平面平面ABCD．

过E作于O，则平面PAC，

过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，

在中，，，

又F是PC的中点，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值为．

【点睛】

求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，简记为“作、证、算”．

22．某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。

（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）

①

②

③

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；

（2）将数据不在内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为，求的分布列与数学期望。

【答案】(1) 不满足至少两个不等式，该生产线需检修;(2)见解析.

【解析】分析：（1）根据频率分布直方图得出X落在上的概率，从而得出结论；

（2）根据题意，的可能值为：0,1,2，分别求出对应的概率即可.

详解：（1）由题意知，由频率分布直方图得：

不满足至少两个不等式，该生产线需检修。

（2）由（1）知：

任取一件是次品的概率为：

任取两件产品得到次品数的可能值为：0,1,2

则

的分布列为：

（或）

点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，属于中档题.

23．已知函数在处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】试题分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；（2）将在上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式

试题解析：（1）

∵函数在处的切线与直线平行

∴，解得： ；

（2）由（1）得，∴，即

设，

则

令，得， 列表得：

∴当时， 的极小值为，

又

∵方程在上恰有两个不相等的实数根，

∴即解得： ；

（3）解法（一）

∵，∴

∴，

∴

设，则，令，

则，∴在上单调递减；

∵，∴

∵

∴∴∴

∴当时， ∴

．

解法（二）

∵，∴

∴， ∴∵∴

解得：

∴

设，

则

∴在上单调递减；

∴当时， ∴

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值