2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题（解析版）

这是一份2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题


一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．－11 B．－2 C．2 D．
【答案】C
【解析】利用复数的乘法公式化简式子，结合虚部概念得到结果.
【详解】
，
∴复数的虚部为2，
故选：C
【点睛】
本题考察复数的乘方运算，考查虚部的概念，属于基础题.
2．已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果.
【详解】
因为随机变量的概率分布为 ，
所以，
即，所以，
故.
故选D
【点睛】
本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型.
3．某班有48名学生，一次考试后的数学成绩服从正态分布（注：）平均分为110，标准差为10，理论上说在110分到120分的人数是（ ）
A．8 B．16 C．20 D．32
【答案】B
【解析】正态总体的取值关于x＝110对称，利用P（100＜x＜120）＝0.683，即可得到结果.
【详解】
解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），
P（|x﹣u|＜σ）＝0.683，
∴P（|x﹣110|＜10）＝0.683，
根据正态曲线的对称性知：
位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半
∴理论上说在110分到120分的人数是 （0.683）×48≈16．
故选：B．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，考查密度函数的结构，本题是一个基础题．
4．从5件一等品和3件二等品的8件产品中任取2件，那么概率为的事件是 （ ）
A．恰有一件一等品 B．至少有一件一等品 C．都不是一等品 D．至多一件一等品
【答案】A
【解析】分别求出恰有一件一等品的概率、至少有一件一等品的概率、都不是一等品的概率和至多一件一等品的概率，由此能求出结果．
【详解】
从5件一等品和3件二等品的8件产品中任取2件，
在A中，恰有一件一等品的概率P（A），故A正确；
在B中，至少有一件一等品的概率P（B），故B错误；
在C中，都不是一等品的概率P（C），故C正确；
在D中，至多一件一等品的概率P（D）＝1，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．若二次函数f（x）的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数（x）的图象如右图所示，则函数f（x）图象的顶点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】试题分析：设时，由图可知当时，当时．所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以函数的对称轴为．因为函数的图像与轴有两个异号交点，所以此二次函数的顶点在第四象限．故D正确．
【考点】用导数研究函数的单调性．
6．若，则等于（ ）
A．98 B．28 C．26 D．－98
【答案】D
【解析】对赋值，，，进而可得结果.
【详解】
当时，，
当时，，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查二项展开式的系数和问题，考查赋值法，考查计算能力.
7．设是奇函数 的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果.
【详解】
令，则，
因为当时，有，所以，
即函数在上单调递增；
又是上的奇函数，所以，
所以，
故函数为奇函数，
又，所以，，
由可得，，
即要使成立，只需成立；
作出函数的简图如下：

由图像可得，当时，，即.
故选C
【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型.
8．某单位安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
【答案】D
【解析】先考虑甲有三种方法，然后考虑乙有两种方法，其余五人有种方法，利用乘法计算原理得到结果.
【详解】
根据题意甲只能在2,4,6这三天值班，共三种情况，
又甲、乙二人安排在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择，
其余5人没有限制，有 种情况，
故不同的安排方法有种方法，
故选：D
【点睛】
本题考查分步计数原理，考查简单的带限制条件的排列组合问题，考查分析问题解决问题的能力.
9．将长为的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的骨架，以此骨架做成一个正四棱柱容器，则此容器的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x，表示出体积，求导数，即可求出此四棱柱的高，从而得到体积.
【详解】
解：设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x，
所以体积V＝Sh＝x2（18﹣2x）＝﹣2x3+18x2，
求导，得：V'＝﹣6x2+36x＝﹣6x（x﹣6），
当0＜x＜6时，V是递增的，当x＞6时，V递减，
则x＝6cm，18﹣2x＝6cm时，V的最大值是V＝216cm3
故选：C．
【点睛】
本题考查四棱柱的体积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意总有，则下列大小关系一定正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，得f′(x)−2017f(x)>0，
故g′(x)>0,g(x)在R递增，
故，即，
即，
本题选择A选项.

二、多选题
11．下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】利用导数运算及导数运算法则，即可得到结果．
【详解】
对于A，，则，故错误；
对于B，，则，故正确；
对于C，，则，故错误；
对于D，，则，故错误．
故选：ACD
【点睛】
本题考查导数的运算公式及运算法则，考查计算能力．
12．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在上有极大值 D．在上有极小值
【答案】ABC
【解析】根据条件，构造函数g（x）＝xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．
【详解】
解：由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，
则xf′（x）+f（x），
即[xf（x）]′，
设g（x）＝xf（x），
即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
即在单调递增，在单调递减，
即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1），
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
13．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】利用指数函数的性质与导数知识逐一判断新函数的单调性即可．
【详解】
解：对于A，f（x）＝2﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ex•2﹣x＝（）x为实数集上的增函数；
对于B，f（x）＝3﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ex•3﹣x＝（）x为实数集上的减函数；
对于C，f（x）＝x3，则g（x）＝exf（x）＝ex•x3，
g′（x）＝ex•x3+3ex•x2＝ex（x3+3x2）＝ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上先减后增；
对于D，f（x）＝x2+2，则g（x）＝exf（x）＝ex（x2+2），
g′（x）＝ex（x2+2）+2xex＝ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上是增函数．
故选：AD．
【点睛】
本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．


三、填空题
14．函数在点处的切线方程是______.
【答案】
【解析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．
【详解】
解：函数的导数为，
可得f（x）的图象在点处的切线斜率为k＝，
即有图象在点处的切线方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
15．8个互不相同的小球中，有5个红球，3个白球，现在不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出白球的条件下，第二次也摸出白球的概率是______.
【答案】
【解析】首先第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B，分别求出P（A），P（AB），利用条件概率公式求值．
【详解】
解：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B，
则P（A），P（AB）．
∴P（B|A）．
故答案为：
【点睛】
本题考查了条件概率的求法；利用条件概率公式，只要分别求出第一次摸出红球为事件A的概率，以及第二次摸出红球为事件B，P（AB），利用条件概率公式解答．
16．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则棱与平面所成角的正弦值等于______.
【答案】
【解析】易知：平面平面，在平面中，过点作于O点，
则为棱与平面所成角.
【详解】

连接，易知：平面平面，
在平面中，过点作于O点，
∴为棱与平面所成角，
在中，，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
17．若函数（是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】先将函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，转化为λ有两不等实根，令g（x），则直线y＝λ曲线g（x）有两不同交点，用导数方法判断函数g（x）单调性，作出函数g（x）的大致图象，结合图象即可得出结果．
【详解】
解：为函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，
所以λ有两不等实根，令g（x），
则直线y＝λ与曲线g（x）有两不同交点，
又，
令g′（x）＝0得x＝2，
所以，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
所以g（x）max，
又g（1）＝0，当x＞1时，，
所以，作出g（x）的大致图象如下：

由图象可得：0＜λ，
故答案为：（0，）．
【点睛】
本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形结合的思想处理，属于常考题型．

四、解答题
18．已知虚数满足（为虚数单位）.
（1）求的值;
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设（且），利用模长的定义可构造出方程，整理出，从而求得；（2）整理得到，根据实数的定义求得结果.
【详解】
（1）为虚数，可设（且）
则，即

整理可得：

（2）由（1）知

又
【点睛】
本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.
19．已知且二项式的展开式中，第8项的系数和第10项的系数都小于常数项，求的取值范围.
【答案】
【解析】先求出二项式的通项公式，根据条件建立不等式组，即可得到的取值范围.
【详解】
解：
令得，
∴展开式的第9项的常数项.
∴，第8项的系数为，第10项的系数为，
由，
解得
【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式，考查组合数的运算，属于基础题.
20．如图，在棱长都为2的正四棱锥中，是底面中心，是的中点，在棱上且，是棱上的点.

（1）求平面与底面所成角的余弦值；
（2）试证不可能与垂直.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】（1）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面与底面的法向量，代入公式可得结果；
（2）利用即可作出判断.
【详解】
解：（1）解：以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（如图，则，，，，.
从而，
∴，
设是平面的法向量，
∴即
令，则又是底面的法向量，
∴
故平面与底面所成二面角的余弦值为

（2）证明：由（1）知，，
设，则
∴.
∵，∴，即，故与不可能垂直.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21．已知函数（）在处取得极值，其中，，为常数．
（I）试确定，的值；
（II）讨论函数的单调区间；
（III）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（I），；（II）的单调递减区间为，单调递增区间为；（III）.
【解析】试题分析：函数的导函数为，（I）函数在处的极值，即，解方程组即可求得；（II）将代入中，并令，便可求得单调区间；（III）由前面所求的函数的单调区间，从而求得函数的最小值这样便能将不等式恒成立转化为，解不等式即可求得的取值范围.
试题解析：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也
是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，解得或．
所以的取值范围为．
【考点】导函数的运用与函数的最值.
【方法点睛】函数的极值点满足条件：导函数在极值点处的函数值必须为零，因此可先令导函数为零，求得可能极值点，再由导函数的函数值的正负确定函数的单调区间，从而确定极值点；而对于不等式的恒成立问题，可将其转化为函数的最值问题，即首先将不等式转化为函数，再由函数的单调性求得最值，有最值的取值范围确定不等式恒成立.
22．某市交通管理部门为了解市民对机动车“单双号限行”的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到了如下的列联表：

赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车

15

有私家车
45


合计


100

已知在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是.
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该市大量市民中，采用随机抽样方法每次抽取1名市民，抽取3次，记被抽取的3名市民中的“赞同限行”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.
附：参考公式：，其中.
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.10
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)见解析 ；(2) 见解析；(3)见解析
【解析】(1)根据题中数据，在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，求出“赞同限行”的市民人数，以及没有私家车的人数，进而可完善列联表即可；
(2)根据(1)数据，由计算出的观测值，结合临界值表，即可得出结果；
(3)先由题意确定～，从而可求出其对应概率，得到分布列，结合公式可求出期望方差.
【详解】
解：（1）因为在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，
所以“赞同限行”的市民共75人，其中没有私家车的30人，
从而，所给列联表补充如下：

赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
30
15
45
有私家车
45
10
55
合计
75
25
100

（2）依据表中数据，易得的观测值为
.
因为，
因此，在犯错误概率不超过0.10的前提下，能够判断市民“对限行的态度与是否拥有私家车有关” .
（3）由题意，得～，从而
：：
；.
所以的分布列为
X
0
1
2
3
P





故：.
【点睛】
本题主要考查独立性检验以及二项分布，熟记独立性检验的思想以及二项分布的期望与方差公式即可，属于常考题型.
23．已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.
（Ⅱ）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论 极值情况即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此 曲线在点处的切线方程为
，
即 .
（Ⅱ）由题意得 ，
因为

，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 当时取得极大值.
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
【名师点睛】
1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′(x0)(x−x0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.