2024届山东省泰安市泰安第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析

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这是一份2024届山东省泰安市泰安第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则=
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，，故.
故选：.
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（）
A．a【答案】A
【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.
【详解】解：由函数在上单调递增，
所以，
由于函数在上单调递减，
所以，
由于函数在上单调递增，
所以，
故.
故选：A.
3．下列命题中，错误的命题有（）
A．函数与不是同一个函数
B．命题“，”的否定为“，”
C．设函数，则在上单调递增
D．设，则 “”是“”的必要不充分条件
【答案】C
【分析】对于A选项，定义域不同，函数不同，故A正确；
对于B选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B正确；
对于C选项，举反例否定其是增函数，可得C错误；
对于D选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D正确.
【详解】对于A选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A正确；
对于B选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B正确；
对于C选项，因为，但是，与增函数定义矛盾，所以C错误；
对于D选项，若，当时，推不出，当时，且，所以D正确.
故选：C.
4．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性、单调性分析运算即可得解.
【详解】解：∵奇函数在上为增函数，且，
∴在上为增函数，，
则不等式等价为不等式，即.
∴当时，，由函数在上为增函数，得：；
当时，，由函数在上为增函数，得：；
∴不等式的解集为.
故选：B.
5．8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（参考数值：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可.
【详解】由题意，，
大约增加了，
故选：C
6．函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【详解】因为，所以，定义域为；
因为，所以，
故，所以为奇函数，排除B，
当逼近于，逼近于，排除D，
由，，则，排除C，
故选：A.
7．已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（）
A．1B．0C．-1D．
【答案】C
【分析】运用奇偶性及对称性可求得函数的周期，运用周期性质即可求得结果.
【详解】解：根据题意，函数满足，，
则有，变形可得，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
∴.
故选：C
8．已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
二、多选题
9．若，则下列结论中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】首先根据求出，关系，再根据，关系判断选项是否正确.
【详解】由题知，
所以，
对于A选项，由于在上单调递减，
所以当时，可以得到，故A正确，
对于B选项，因为，不等式两边同乘负数得，
故B正确，
对于C选项，因为，所以，
故C错误，
对于D选项，由于在上单调递增，
所以当时，可以得到，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查了根据函数单调性判断函数值的大小，不等式的基本性质，属于基础题.
10．关于函数说法正确的是（）
A．定义域为B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称D．在内单调递增
【答案】ACD
【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.
【详解】因为,
所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，
所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
11．已知函数，其中，则（）
A．不等式对恒成立
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，并结合函数的图象，求函数的最值，即可判断A；结合函数的图象，利用函数图象的交点求参数的取值范围，即可判断B；由，且，并结合函数的图象，可求得实根的个数，即可判断C；结合函数的图象的交点，并根据1个正整数解，结合临界值，求参数的取值范围，可判断D.
【详解】对于选项A，，
当或时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
∴在出取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，∴的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，方程有且只有两个实根，即曲线与直线有且只有两个交点，由A选项分析，曲线与直线图像如下，
由图知，当或时，曲线与直线有且只有两个交点，故B错误；
对于C选项，由，得，解得，
令，且，由图像知，有两解分别为：，，所以或，而，
则有两解，，也有两解，
综上，方程共有4个根，C正确；
对于D选项，直线过原点，且，，，
记，，，
易判断，，

不等式恰有1个正整数解，即曲线在上对应的值恰有1个正整数，
由图像，可得，即，故D错误．
故选：AC
【点睛】方法点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
四、多选题
12．若实数x，y满足，则（）
A．且B．m的最大值为C．n的最小值为D．
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D．
【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
又，即，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
又
，
当且仅当，即时取等号，n的最小值为9，故C错误；
，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD．
五、填空题
13．
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
14．若函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【分析】利用在同一对应法则下，括号内的式子的取值范围是相同的，先求得，进而得到，再解得即可.
【详解】对于，因为，所以；
因此对于，有，得，所以的定义域为.
故答案为：.
15．已知两个正实数x，y满足，则的最小值为
【答案】4
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【详解】因为两个正实数x，y满足，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
六、双空题
16．已知函数，若存在互不相等的实数，，，使得，则（1）实数的取值范围为；（2）的取值范围是．
【答案】
【分析】画出的图象，由题意可知直线与函数的图象有4个交点，从而可求出实数的取值范围，不妨设，则必有，，从而有，且，利用对勾函数的性质可求出的范围，进而可求出的取值范围
【详解】解：函数的图象如图：
，
即直线与函数图象有4个交点，故．
，不妨设，
则必有，，
，则，且，
，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，
．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数学转化思想和数形结合的思想，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
七、解答题
17．设函数的定义域为，集合 .
(1)求集合；
(2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由定义域的定义即可求解;
(2) 由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集, 分类讨论的情况即可求解.
【详解】（1）要使得函数有意义，只需要
解得，所以集合
（2）因为是的必要不充分条件，所以，
当时，，解得(舍去)
当时，解得，
综上可知，实数的取值范围是
18．已知奇函数的定义域为
(1)求实数a，b的值;
(2)当x∈[1，2]时，mf（x）有解，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义与性质结合指数运算求解；（2）利用分离参数的思路即可解题.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，
即，即，整理得，
所以，即，则，因为定义域为关于原点对称，所以；
（2）因为，所以，又当时，有解，
所以，有解，∵，∴，
∴，∴
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上的最小值是，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题可得，后分，两种情况讨论正负性即可；
（2）由（1）分，，，讨论在上的单调性可得答案.
【详解】（1）.
当时，，则在上单调递增；
当时，在上单调递增；
在上单调递减.
（2）由（1），若，则在上的最小值是，不合题意；
若，由（1）可得在上单调递增，则，不合题意；
若，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，则；
若，由（1）可得在上单调递减，则，不合题意.
综上可知：.
20．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可，
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
（2）当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时，取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
21．已知
（1）当，且有最小值2时，求的值．
（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）； (2）.
【详解】试题分析：（1）求得，利用基本不等式求得，再分若a＞1，0＜a＜1列出相应的方程并求解．
（2）由已知，在x∈[1，2]时恒成立．0＜a＜1，转化为在 x∈[1，2]时恒成立．
（1）当时，，
令，
又在上是单调递增函数，当时，有，令求得，舍去
当时，有，令求得，
（2）当时，有恒成立，即
当时，恒成立，
由可得，
再由
设
实数的取值范围为
点睛：第一问是复合函数问题，函数做差，转化为内层是对勾函数形式的最值问题；
第二问当时，外层函数是减函数，根据单调性转化为，再由不等式恒成立求参问题，变量分离，转函数最值问题.
22．设函数的导函数为，且满足.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造函数解决恒成立问题，分析讨论即可得解.
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，令得：，
∴，
∴，解得.
所以有：，
则切线的斜率为，又，
所以切线方程为：，即.
（2）解：由得，
所以，
可得恒成立.
令，则
①当时，，在上单调递增；
当时，
令，得
当且时，，不合题意；
②当时，，
要恒成立，只需，
所以；
③当时，
令，则；
令，；
所以在递减，在递增，
所以
，
只需，
所以，
则，
令，令
则
时或（舍去）
所以当时；
当时；
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，.
综上可得，的最大值为.
【点睛】1.函数在的切线方程为；
2. 恒成立问题的解法：
（1）若在区间上有最值，则
，；
，.
（2）若能分离常数，则问题转化为：；.
（3）对，都有成立，等价于构造，
；
对，都有成立，等价于构造，
.