2020届山东省菏泽第一中学老校区高三12月月考数学试题（解析版）

2020届山东省菏泽第一中学老校区高三12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是函数的定义域，是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算．

【详解】

由题意，，

，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查集合的运算，解题时需先确定集合中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．

2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】本题首先可以通过复数的运算法则对复数进行化简，得到，即可得出复数所对应的点的坐标，问题得解。

【详解】

，

所以复数所对应的点为，它在第二象限，故选B。

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则以及复数所对应的点的坐标，考查运算能力，考查推理能力，是简单题。

3．已知向量，若，则的值为（　　）

A．4 B．-4 C．2 D．-2

【答案】B

【解析】先求出，再利用求出的值.

【详解】

故选

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．已知，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．

【详解】

解：，

．
．
故选：A．

【点睛】

本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．展开式的常数项为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果。

【详解】

展开式的通项公式为，

当，即时，常数项为：，

故答案选D。

【点睛】

本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题。

6．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.

【详解】

双曲线的一条渐近线为，渐近线

与直线垂直，

得，即，代入

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.

7．已知圆上的点到直线的最短距离为，则的值为(    )

A．-2或2 B．2或 C．-2或 D．或2

【答案】D

【解析】由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线的最短距离为，得出，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．

【详解】

由圆，可得圆心坐标为，半径，

设圆心到直线的距离为，则，

因为圆上的点到直线的最短距离为，

所以，即，解得或，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．

8．已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先解方程，得，再作函数的图像，及直线的图象，在两个图象有两个交点的前提下可知，存在实数，使得，再建立与的函数关系，再利用导数判断的单调性求最值即可.

【详解】

解：∵，∴恒成立，

∴，∴，

作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，

故，令，则，

故在递减，在递增，∴，

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数与方程的相互转化及导数的应用，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

二、多选题

9．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

则下列判断中正确的是（）

A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

【答案】ACD

【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．

【详解】

根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；

该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；

所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．

故选：ACD．

【点睛】

本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．

10．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．已知非零向量，若则

B．若则

C．在中，“”是“”的充要条件

D．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数

【答案】ABD

【解析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.

【详解】

对A，，所以，故A正确；

对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；

对C，，

所以或，显然不是充要条件，故C错误；

对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.

11．设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】根据“美丽函数”的定义，分别求得个数函数的值域，即可作出判定，得到答案.

【详解】

由题意知，函数的定义域为，，，使得成立，

所以函数的值域关于原点对称，

对于A中，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；

对于B中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

对于C中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

对于D中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意，

故选BCD.

【点睛】

本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解题意，分别求解函数的值域，判定值域是否关于原点对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

12．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(  )

A．∥平面 B．平面∥平面

C．直线与直线所成角的大小为 D．

【答案】ABD

【解析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.

【详解】

选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又

∥ON，所以，故ABD均正确.

【点睛】

解决平行关系基本问题的3个注意点

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

三、填空题

13．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.

【答案】2    2   

【解析】将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.

【详解】

点代入抛物线方程得：

，解得：；

抛物线方程为：，准线方程为：，

点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：

故答案为2,2

【点睛】

本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.

14．已知，则的值为_____________.

【答案】

【解析】根据的值，分别求出的值，再求和即可.

【详解】

解：因为，所以

，，

则，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.

15．为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种．

【答案】150

【解析】采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可得到答案。

【详解】

根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，

若分为1、1、3的三组，有＝10种分组方法；

若分为1、2、2的三组，＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法；

②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有种情况，

则有25×6＝150种分派方法；

故答案为：150．

【点睛】

本题考查排列组合的运用，属于基础题。

16．三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．

【答案】

【解析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA的一半，求出PA,，然后利用等体积求点到平面的距离

【详解】

△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．

∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，

那么球的半径R,解得h=2,又

由 知 ，得 故点到平面的距离为

故答案为．

【点睛】

本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题

四、解答题

17．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；

（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明

【详解】

（1）当时，，

，即

从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）可知，，．

则当时．

故当时

又当时，满足题意，故．

法二：则当时，

那么

又当时，，当时，满足题意，

【点睛】

本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．

18．在中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求的值；

（2）若，且的面积，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理边角互化思想得，然后在等式两边同时除以，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，从而可求出的值；

（2）由正弦定理边角互化思想得出，然后利用三角形的面积公式可求出的值.

【详解】

（1）因为，故，

，故，

因此，；

（2）因为，故，即，

的面积为，即，故，

解得.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

19．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.

（1）证明：；

（2）若，求二面角平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；

（2）证明出平面，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：取中点，联结、，

为等边三角形，为的中点，.

是的中点，为中点，，，.

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，则、、两两垂直，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、.

设平面的法向量为，，.

由，得，令，得，，

所以，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，，

由，得，取，得，.

所以，平面的一个法向量为.

则.

结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.

【点睛】

本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.

20．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量（单位：万件）的统计表：

但其中数据污损不清，经查证，，.

（1）请用相关系数说明销售量与月份代码有很强的线性相关关系；

（2）求关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（3）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）

参考公式及数据：，相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)见解析；(2) (3)见解析

【解析】(1)根据中条件，计算相关系数的值，即可得出结论；

（2）根据题中数据，计算出，即可得到回归方程；

（3）将代入（2）的结果，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】

(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得

， ， ，

∴，  因为

所以销售量与月份代码有很强的线性相关关系. 

(2) 由及(Ⅰ)得

所以关于的回归方程为 

（3）当时，代入回归方程得（万件）

第8个月的毛利润为

，预测第8个月的毛利润不能突破万元.

【点睛】

本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求，以及线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.

21．已知椭圆：过点，且离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】(1)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.

【详解】

（1）由题意得

解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线，

由消去得，，

解得．

设，

则，

由题意，易知与的斜率存在，所以．

设直线与的斜率分别为，

则，，

要证，即证，

只需证，

∵，，

故，

又，，

所以

，

∴，．

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）对函数进行求导后得到，对分情况进行讨论：、、、；

（2）由（1）知在上单调递减，不妨设，从而把不等式中的绝对值去掉得：，进而构造函数，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围。

【详解】

（1），

当时，，所以在上单调递增；

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，，，所以在上单调递减；

，，所以在上单调递增.

（2）因为，由（1）得，在上单调递减，不妨设，

由得，

即.

令，

，只需恒成立，

即恒成立，

即，

即.因为（当且仅当时取等号），

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的难点。