2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.

【详解】

交集是两个集合的公共元素组合而成，故.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．设幂函数的图像经过点，则__________．

【答案】

【解析】由题意得

3．若命题“∃t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．

【答案】

【解析】命题“”是真命题， ．

则实数的取值范围是

故答案为．

4．函数的定义域为______．

【答案】

【解析】【详解】

由 可得， ，所以函数的定义域为

，故答案为.

5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．

【答案】

【解析】根据三角函数定义求和，最后代入公式求值.

【详解】

解：由题意可得，，，

，，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

6．已知等差数列的前项和为，，，则的值为____．

【答案】24

【解析】首先根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值，再根据等差数列的通项公式和，即可求出，进而求出的值.

【详解】

因为，所以，＝132，即11＝132，所以，＝12

又，所以，＝18，因为，所以，可求得：＝24

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前项的公式是解决本题的关键.

7．定义在R上的奇函数，当时，，则

＝________．

【答案】

【解析】由为奇函数可得：，故答案为.

8．已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为          ．

【答案】

【解析】试题分析：

由题意可知，函数，令，解得，又，所以，所以函数在上的单调递增区间为.

【考点】三角函数的图象与性质.

9．设向量，，则“”是“”成立的       条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .

【答案】必要不充分

【解析】【详解】试题分析：

，所以“”是“”成立的必要不充分条件

【考点】向量共线

10．已知函数,若在上单调递增，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.

【详解】

依题意，当时，恒成立，即，也即在上恒成立，构造函数，则，所以函数在区间上递减，在区间上递增，在处取得极小值也即是最小值，故，所以.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.

11．如下图，在直角梯形中，为中点，若，则_______________．

【答案】

【解析】【详解】

以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，结合题意可得：则 ，

故 ，即，则，

据此有.

12．若函数，在区间上有两个零点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,

故答案.

【考点】函数的图象及零点的确定．

【易错点晴】

本题设置了一道以分段函数的解析式背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.

13．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且.且角为锐角，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出，根据为锐角列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

依题意，由正弦定理得，由余弦定理得，由于为锐角，所以，所以，即，由于为正数，故.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

14．已知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】根据求得的值，由此化简，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于函数在上是增函数，所以恒成立，故，即，所以.故即在上恒成立，等价于①，或②.

由①得③，构造函数，，所以在上，递减，在上，递增，最小值为，所以③等价于，解得.

由②得④.由解得.根据和的单调性可知，当且仅当时，④成立.

综上所述，的取值范围是.

故答案为.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.

二、解答题

15．已知集合，集合，集合，命题，命题.

（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】先求出集合和；

（1）由题意得，由集合的交集运算得的取值范围；

（2）先求出为真命题时的取值范围，从而求出为假命题时的范围.

【详解】

∵，∴集合，

集合，集合.

（1）由命题是假命题，可得，即得，∴.

（2）当为真命题时，都为真命题，即，且，

∴，解得.

∴当为假命题时，或，∴的取值范围是：

【点睛】

本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.

16．中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．

(1)求的值；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)将化简代入数据得到答案.

(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.

【详解】

；

(2)由，可得，

由余弦定理可得，

即有，当且仅当，取得等号．

则面积为．

即有时，的面积取得最大值．

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.

17．如图，在中，，，，是边上一点，.

（1）求的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将都转化为用为基底表示，根据向量数量积的运算，求得的值.

（2）将原方程转化为，同（1）的方法，将转化为用为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出的值.

【详解】

（1）是边上一点，

，故

（2），

，

【点睛】

本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

18．某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面和两条长度相等的直线型路面、，桥面跨度的长不超过米，拱桥所在圆的半径为米，圆心在水面上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.设，已知直线型桥面每米修建费用是元，弧形桥面每米修建费用是元.

（1）若桥面（线段、和弧）的修建总费用为元，求关于的函数关系式；

（2）当为何值时，桥面修建总费用最低？

【答案】（1），.（2）

【解析】（1）设为弧的中点，连结，，，通过解直角三角形以及弧长公式，求得的长，由此计算出修建总费用的表达式，根据长度的限制，和圆的直径，求得的取值范围.

（2）利用导数求得的单调区间，进而求得当为何值时，取得最小值.

【详解】

（1）设为弧的中点，连结，，，则

在中，.

又因为，所以弧长为，

所以

当时，；当时，，所以

所以，.

（2）设，则，令得

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.

19．已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，证明：函数只有一个零点；

（3）若函数的极大值等于，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】（1）求得函数在处的导数，由此求得切线方程.

（2）通过求的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数的单调区间，由此证得函数只有一个零点.

（3）当时根据（2）的结论证得结论成立.当，根据的二阶导数，对分成三种情况，利用的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数的取值范围.

【详解】

（1）当时，，，，，所以在处的切线方程为.

（2），令，

当时，，在上单调递减，又，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减

所以，所以只有一个零点.

（3）①当时，由（2）知，的极大值为，符合题意；

②当时，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，注意到，

（ⅰ）当时，，又.

所以存在，使得，当时， ，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，符合题意；

（ⅱ）当时，恒成立，在上单调递减，无极值，不合题意；

（ⅲ）当时，，又，令

，在上单调递减，

所以，所以，

存在，使得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，且，不合题意.

综上可知，的取值范围是.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.

20．已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；

（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【解析】（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.

（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.

【详解】

（1）当时，由，得，得，

由，得，两式相减，得

，即，即

因为数列各项均为正数，所以，所以

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

因此，，即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，则

所以是单调递增数列，数列递增，

所以，又，所以的取值范围为.

（3）

设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.

因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.

假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.

设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，

则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.

又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾。

又因为，所以，即偶数只有两项，

则奇数最多有项，即的最大值为.

设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且.

由，得，，此数列为，，，，.

同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.

综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，.

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.