2023届江苏省盐城市阜宁县东沟中学高三上学期第一次综合训练数学试题（解析版）

2023届江苏省盐城市阜宁县东沟中学高三上学期第一次综合训练数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.

【详解】因为，=，

所以，

故选：B

2．若复数z的满足(是虚数单位)，则复数z的实部是（    ）

A．1 B．2 C．i D．

【答案】A

【分析】由先求出复数，从而可求出复数z的实部

【详解】由，得，

所以复数z的实部是1，

故选：A

3．已知数列是无穷数列,则“”是“数列为等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】后面可以推出前面，而前面需满足对任何的，都有成立才可以推出后面，由充分条件和必要条件的定义可得本题答案.

【详解】若“数列为等差数列”成立，必有“”，而仅有“”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任何的，都有成立才可以，故“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，主要涉及到等差数列的定义，属于基础题.

4．如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆（图中虚线），我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离.设地球半径为，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是，远地距离是，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以运行轨道长轴所在直线为轴，地心为左焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可．

【详解】

以运行轨道长轴所在直线为轴，地心为左焦点建立平面直角坐标系，

设椭圆方程为，

其中，

根据题意有

，

所以 ，

所以椭圆的离心率．

故选：．

5．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（    ）

A．160 B． C．60 D．

【答案】B

【分析】由二项式系数的性质求出，写出二项展开式的通项公式，令的指数为3，即可得出答案.

【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得，得．

∵的展开式的通项公式为，

令，则，所以其展开式中的系数为．

故选：B.

6．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（    ）.

A．72种 B．84种 C．96种 D．124种

【答案】C

【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出自愿者，然后再排列.

【详解】第一步，选出的自愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；

第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有.

所以，不同的选择方案共有种.

故选：C

7．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.

【详解】因为函数为偶函数，

所以，

由，

得，

因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，

所以，

解得，

所以的取值范围为，

故选：D

8．已知且，且，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到、、的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.

【详解】由已知条件，对于，两边同取对数，

则有，即，

同理：；

构造函数，

则，，

对其求导得：

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，，

再构造函数，对其求导得：

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

即：

又

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变

B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强

C．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越小，判断两个变量有关的把握越大

D．若，，则

【答案】AD

【分析】对于A，由方差的定义判断，对于B，由相关系数的性质判断，对于C，由的性质判断，对于D，由正态曲线的对称性求解

【详解】对于A，设的平均数为，方差为，则

，，

给中每一个数同时加上，则得到一组新的数为，则其平均数为，所以新的数据的方差为

，即方差不变，所以A正确，

对于B，由相关系数的性质可知，设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以B错误，

对于C，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量有关的把握越大，所以C错误，

对于D，因为，，所以，

所以，所以D正确，

故选：AD

10．已知函数，结论正确的有（    ）

A．是周期函数

B．的图象关于原点对称

C．的值域为

D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】对于A，利用周期的定义分析判断，对于B，判断函数的奇偶性，对于C，利用复合函数求值域的方法求解，对于D，利用复合函数求单调性的方法求解

【详解】对于A，因为，

所以是周期函数，所以A正确，

对于B，因为，

所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B错误，

对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误，

对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D正确，

故选：AD

11．P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（    ）

A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得

C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上

【答案】ACD

【分析】设，则为的中点，且，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到、，根据的范围，即可判断A、B，设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；

【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，

所以，所以，，又，

所以，，所以，，故A正确，B不正确；

设，则，所以以为直径的圆的方程为，

则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；

又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；

故选：ACD

12．在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则（    ）

A．为等比数列 B．为递减数列

C．为等差数列 D．

【答案】BCD

【分析】设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．

【详解】设与交于点，，

，

共线，所以存在实数，使得，

所以，

所以，所以，，

所以，，，不是等比数列，A错；

因为，所以，即，所以是等差数列，C正确；

又因为，则，即，，

所以当时，，即，所以是递减数列，B正确；

因为，

，

所以两式相减得

，

所以，D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．命题“，”的否定为___________.

【答案】，

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.

【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．已知，向量，，且，则θ＝______________．

【答案】

【分析】由向量共线的坐标运算可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

因为，，

所以，

因为，所以， ．

故答案为：.

15．已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义先求出，进而得到关系，再由均值不等式可得出答案.

【详解】设直线与曲线相切于点

由函数的导函数为，则

解得

所以，即

则

当且仅当，即时取得等号.

故答案为：8

四、双空题

16．《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.

【答案】         

【分析】设球体的半径为，，得到，解出，求出球体半径；由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，分别求出圆柱和圆台的容积，作差即可求解.

【详解】如下图：设球体的半径为，，由得，

，解得，所以；

由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，

设圆台上表面半径为，则，下表面半径为，所以，，.

故答案为：；.

五、解答题

17．如图，在四边形中，

(1)求角的值；

(2)若，，求四边形的面积

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.

【详解】（1）

，

因为，得，

或，

解得或，因为，得，

（2）在中，，

在中，，

，

，，得，

，所以四边形的面积为

18．已知正项等差数列满足：，且成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．

【答案】(1)

(2)最小值为

【分析】（1）设等差数列的公差为，由及等差数列的通项公式得到，则，再根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得解；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得到，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解；

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由得，则，

所以．

因为、、成等比数列，所以，即，

所以，解得或，

因为为正项数列，所以，所以，所以．

（2）解：由（1）可得，

所以，

因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为

19．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；

（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．

【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，

乙得0分的概率为，

所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．

（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，

则，

，

，

，

，

，

，

所以，随机变量X的分布列为：

所以．

20．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为矩形，，E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．

(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；

(2)若二面角A－BC－V的大小为，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再证明线线垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．

【详解】（1）因为E为CD的中点，所以，所以△ADE为等腰直角三角形，

所以．同理，．所以AE⊥BE．

又因为VB⊥AE，且，面VBE，面VBE，

所以AE⊥面VBE．

因为面VBE，所以AE⊥VE．

（2）取BC中点O，AD中点G、连接OG，VO，则OG⊥BC．

又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，

所以∠GOV为二面角A－BC－V的平面角．所以

以，方向分别作为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz．

于是A（1，－4，0），C（－1，0，0），D（－1，－4，0），，

，，．

令为平面VCD的一个法向量，

则，即，令z＝2，得．

设直线AV与平面VCD所成的角为，则

，

故直线AV与平面VCD所成角的正弦值为．

21．已知椭圆的离心率为，过的右顶点的直线与的另一交点为.当为的上顶点时，原点到的距离为.

(1)求的标准方程；

(2)过与垂直的直线交抛物线于两点，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点到直线距离、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；

（2）当直线斜率为时，易求得；当直线斜率不为时，分别将直线与椭圆、直线与抛物线方程联立，求得，进而得到，采用换元法，令，利用导数可求得最小值；综合两种情况可得所求面积的最小值.

【详解】（1）由题意知：，

若为的上顶点，则，，即，

原点到的距离，

又离心率，，，，

椭圆的标准方程为：.

（2）由题意知：直线斜率存在；

①当直线斜率为时，，；此时直线，

则，，；

②当直线斜率存在且不为时，，

由得：，

又，，则，；

又直线，

由得：，；

的焦点为，，

又，

，

设，则，，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

即；

综上所述：面积的最小值为.

【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③结合弦长公式、点到直线距离公式等知识，利用变量表示出所求三角形的面积；

④将所求三角形面积转化为关于变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.

22．已知函数，其中.

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，由函数在上单调递增，转化为在上恒成立.令，利用导数判断出在上单调递增，求出，即可求出的取值范围；

(2)先判断出时有两个极值点，且.得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是.

【详解】（1）因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

故令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，故，

所以，即的取值范围是.

（2）.

对函数，设上一点为，

过点的切线方程为，

将代入上式得，

所以过的的切线方程为

所以，要使与有两个交点，则.

此时有两个极值点，且.

，

令，则，所以，

所以，即，所以，

令，令，

所以在上递增.

因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.

所以在上递增.

又，

所以当时，，

所以的取值范围是.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．