2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试

数 学 理 试 题

2020．01

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．已知集合A＝(0，)，全集U＝R ，则＝       ．

答案：(，0]

考点：集合及其补集

解析：∵集合A＝(0，)，全集U＝R ，则＝(，0]．

2．设复数，其中i为虚数单位，则＝       ．

答案：5

考点：复数

解析：∵，∴．

3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为       ．

答案：

考点：等可能事件的概率

解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为．

4．命题“R，cos＋sin＞1 ”的否定是       命题（填“真”或“假”）．

答案：真

考点：命题的否定

解析：当时，cos＋sin＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题．

5．运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为       ．

答案：6

考点：算法（伪代码）

解析：第一遍循环 S＝0，I＝1，第二轮循环S＝1，I＝2 ，第三轮循环S＝3，I＝3，第四轮循环S＝6，I＝4，第五轮循环S＝10，I＝5，第六轮循环S＝15，I＝6，所以输出的 I＝6．

6．已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是       ．

答案：2

考点：平均数，方差

解析：依题可得x＋y＝21，不妨设x＜y，解得x＝10，y＝11，

所以方差为＝2．

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O 的距离为       ．

答案：

考点：抛物线及其性质

解析：抛物线的准线为x＝−1，所以P横坐标为2，

带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．

8．若数列是公差不为0的等差数列，ln、ln、ln成等差数列，则的值为       ．

答案：3

考点：等差中项，等差数列的通项公式

解析：∵ln、ln、ln成等差数列，

      ∴，故，又公差不为0，解得，

∴．

9．在三棱柱ABC—A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC—A1B1C1与四棱锥P —ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝       ．

答案：

考点：棱柱棱锥的体积

解析：，所以．

10．设函数 (＞0，0＜＜)的图象与y轴交点的纵坐标为， y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为       ．

答案：7

考点：三角函数的图像与性质

解析：∵的图象与y轴交点的纵坐标为，

      ∴，又0＜＜，∴，

      ∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，

      ∴，解得＝7．

11．已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则 cosBAC的值为       ．

答案：

考点：平面向量

解析：∵H是△ABC的垂心，

      ∴AH⊥BC，BH⊥AC，

      ∵，

      ∴

      则，

        ，

      即，，

      化简得：，

      则，得，从而．

12．若无穷数列(R)是等差数列，则其前10项的和为       ．

答案：10

考点：等差数列

解析：若等差数列公差为d，则，

      若d＞0，则当时，，

      若d＜0，则当时，，

      ∴d＝0，可得，解得或（舍去），

      ∴其前10项的和为10．

13．已知集合P＝，集合Q＝，若PQ，则的最小值为       ．

答案：4

考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题

解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以， 与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径 4，所以最小值为 4．

14．若对任意实数(，1]，都有成立，则实数a的值为       ．

答案：

考点：函数与不等式，绝对值函数

解析：题目可以转化为：对任意实数(，1]，都有成立，

      令，则，

      当时，，故在(，1]单调递减，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则，解得与矛盾．

      当时，此时在(，)单调递减，在(，1)单调递增，此时，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则．

      接下来令，不等式可转化为，

      设，则，则在(，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t＝0时，有最小值为0，即，又我们要解的不等式是，故，此时，∴．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

已知△ABC满足．

（1）若cosC＝，AC＝3，求AB；

（2）若A(0，)，且cos(B﹣A)＝，求sinA．

解：

16．（本题满分14分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．

（1）若A1C//平面PBD，求的值；

（2）求证：BD⊥A1P．

证明：

17．（本题满分14分）

如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A，B在⊙O上，点P，Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P，⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．

（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）

解：

18．（本题满分16分）

设椭圆C：(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(，) 在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，＝1，＝e．

（1）求椭圆C的方程；

（2）延长PF1，PF2分别交椭圆于点A，B（A，B不重合）．设，，求的最小值．

解：

19．（本题满分16分）

定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“M(q)数列”．设数列中，．

（1）若＝4，且数列是“M(q)数列”，求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“M(q)数列”，并说明理由；

（3）若数列是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．

解：

20．（本题满分16分）

若函数(mR)为奇函数，且时有极小值．

（1）求实数a的值；

（2）求实数m的取值范围；

（3）若恒成立，求实数m的取值范围．

解：

附加题，共40分

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：，求实数a的值．

解：

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线被曲线截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．

解：

C．选修4—5：不等式选讲

已知正实数 a，b，c满足，求的最小值．

解：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，AA1，BB1是圆柱的两条母线，A1B1，AB分别经过上下底面的圆心O1，O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．

（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；

（2）若二面角A1—CD—B1的大小为，求母线AA1的长．

解：

23．（本小题满分10分）

设(n)，记．

（1）求；

（2）记，求证：恒成立．

解：