江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题 Word版含解析

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷（10月份）

一、填空题（本大题共14小题）

1. 己知集合，0，，则______
2. 设幂函数的图象经过点，则______．
3. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．
4. 函数的定义域为______．
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．
6. 已知等差数列的前n项和为，，，则的值为______．
7. 定义在R上的奇函数，当时，，则______．
8. 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为______ ．
9. 设向量，，则“”是“”成立的______ 条件 选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．
10. 已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______
11. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则______．
12. 若函数，在区间上有两个零点，则实数a的范围为______．
13. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知，且且角A为锐角，则m的取值范围是______．
14. 己知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是______．

二、解答题（本大题共6小题）

15. 已知集合，集合B为函数的值域，集合，命题p：；命题q：．
    若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
    若命题为真命题，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
16. 中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．

  求的值；

  若，求面积的最大值．






 

17. 在中，，，，D是边BC上一点，．
    求的值；
    若，求t的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．设，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是元．
    若桥面线段AD、BE和弧的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；
    当为何值时，桥面修建总费用W最低？

19. 已知函数．
    当时，求函数在处的切线方程；
    当时，证明：函数只有一个零点；
    若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知正项数列的前n项和为，且．
    求数列的通项公式；
    若，数列的前n项和为，求的取值范围；
    若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：集合，0，，
．
故答案为：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
 

【解析】解：根据幂函数的定义，可得，
图象经过点，可得：
解得：
那么：
故答案为：．
根据幂函数的图象及性质求解．
本题考查了幂函数的图象及性质．属于基础题．
3.【答案】
 

【解析】解：命题“，”是真命题，．
，
则实数a的取值范围是：．
故答案为：．
命题“，”是真命题，可得．
本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故函数的定义域是，
故答案为：．
根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．
5.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，，，
，，
，
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，可得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】24
 

【解析】解：在等差数列中，设首项为，公差为d，
由，，
得，解得：．
．
故答案为：24．
由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．
本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．
7.【答案】
 

【解析】解：是奇函数，
，
故答案为：
根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
8.【答案】
 

【解析】解：函数的最大值为2，
最小正周期，
，
，
函数，
由，，
解得：，，
当时，函数在上的单调增区间：．
故答案为：．
求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．
本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．
9.【答案】必要不充分
 

【解析】解：若，则，
即，
即，
则或，
故”是“”成立必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
10.【答案】
 

【解析】解：根据题意，函数，则，
设，则，
易得在区间上，，即在上为减函数，
在区间上，，即在上为增函数，
故在有最小值，没有最大值，
若在上单调递增，则在上恒成立；
即在上恒成立，
即在上恒成立，必有，
故a的取值范围为；
故答案为：．
根据题意，求出函数的导数可得，设，求出的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得在上为减函数，在上为增函数，据此可得故在有最小值；进而分析可得若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，据此分析可得答案．
本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．
11.【答案】
 

【解析】解：过C作于F，则四边形AFCD是矩形，
，
，又，．
为BC中点，，
．
故答案为：．
根据求出AC，用表示出，从而得出答案．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
12.【答案】
 

【解析】解：当时，，函数是减函数，
时，是增函数，在区间上有两个零点，
可知分段函数，两个区间各有一个零点，
可得，解得．
故答案为：．
利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a的范围．
本题考查函数的零点的判断，分段函数的应用，考查计算能力．
13.【答案】
 

【解析】解：，
由正弦定理得，
又．
．
，
又由，可得，
，即m的取值范围是
故答案为：
由已知利用正弦定理可得：，且，进而利用余弦定理、不等式的解法即可求解．
本题考查了正弦定理、余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：，由题意，恒成立，则，即恒成立，所以，
，
在上恒成立，时显然不满足条件，
当时，恒成立，则在上恒成立，即恒成立，
令，则，显然，当时，函数取得最小值为，
；
当时，在上恒成立，
当，即时，恒成立，则，解得，
当，即时，恒成立，则，解得，
故，
综上，实数t的取值范围是．
故答案为：．
利用导数可得，则在上恒成立，且时显然不满足条件，再以及两种情况讨论即可．
本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，同时注意在分类的时候保证不重不漏，本题属于中档题．
15.【答案】解：
，，，
由命题p为假命题可得


命题为真命题命题
，q都为真命题
即且．
解可得
 

【解析】由题意可得，，，
由命题p为假命题可得，可求a
由题意可得且，结合集合之间的基本运算可求a的范围
本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．
16.【答案】解：
．
在中，，
可得：，
由余弦定理可得
，
即有，当且仅当时，取得等号，
则面积，
即有时，的面积取得最大值．
 

【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．
利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；
运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．
17.【答案】解：．，，
．
．
，．
，，即，解得．
 

【解析】用表示，代入数量积公式计算；
求出，，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，用表示出其他向量是关键．
18.【答案】解：设C为弧AB的中点，连结OA，OC，则具体如下图：

在中，．
又，
弧AC长为．
当时，；当时，．
．
，．
根据，可设，则
．
令，解得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低．
 

【解析】本题第题根据题意结合图形，解直角三角形求出AD，利用弧长公式求出弧AC，即可列出总费用算式；第题在第题找到W关于的函数关系式的基础上构造函数，对进行求导分析，即可找到的值．
本题主要考查理解题意能力，解直角三角形，弧长公式的应用，构造函数法，对函数进行一阶导数分析，以及数学计算能力．本题属中档题．
19.【答案】解：当时，，
，，
切线方程为．
，
令，则，
当时，，在上单调递减，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
故函数只有一个零点．
由可知，当时，的极大值为0，符合题意，
当时，
若，，单调递增，若，，单调递减，
又，，
因为，则，，
所以，当时，单调递减，，
又，
所以即，
故存在，满足，
当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，
又时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
故是函数唯一极大值点，且符合题意；
当时，时，，单调递增，时，，单调递减，
又，故，从而在上单调递减，没有极值；不符合题意；
当时，时，，单调递增，时，，单调递减，
且，，
令，则，
故在上单调递减，从而有，
所以即，
因为，故存在满足，
当时，函数单调递增，当，函数单调递减，
故是函数唯一极小值点，是函数唯一极大值点，
，不符合题意，
综上可得，．
 

【解析】根据导数的几何意义即可求解，
先对函数求导，，结合单调性即可求解，
结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．
20.【答案】解：当时，由得，，得，
当时，由得，，
两式相减得，，即，
数列各项均为正数，
，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列的通项公式为；
由知，，
，
，
令，则，
是单调递增函数，数列递增，
，又，
的取值范围为；
，
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，
因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，
设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，
则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，
又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，
又，
，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，
设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，
由得，，此数列为1，2，3，4，5．
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．
 

【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；
运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；
由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．
本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．