江苏省苏州星海中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

江苏省苏州星海中学2020届高三数学十月月考

数学试题

2019．10

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝{0，1}，B＝{﹣1，0}，则AB＝       ．

答案：{﹣1，0，1}

考点：集合间的运算

解析：因为集合A＝{0，1}，B＝{﹣1，0}，所以AB＝{﹣1，0，1}．

2．函数的定义域是       ．

答案：(﹣1，1)(1，)

考点：函数的另一与

解析：由题意，得，解得x＞﹣1，且x≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)(1，)．

3．“a＞1”是“在R上单调递增”的       条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）

答案：充分不必要条件

考点：常用的逻辑用语（充要条件）

解析：因为，所以．当a＞1时，＞0

恒成立，所以在R上单调递增成立；当在R上单调递增，则≥0恒成立，则a≥1．故“a＞1”是“在R上单调递增”的充分不必要条件．

4．在△ABC中，若a＝2，b＝，B＝，则角A的大小为       ．

答案：

考点：正弦定理

解析：由正弦定理，得，即，解得sinA＝，因为0＜A＜π，所以A＝或，当A＝时，A＋B＞π，不符题意，所以A＝．

5．已知(0，π)，cos＝，则＝       ．

答案：

考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式

解析：由cos＝以及，得，又(0，π)，则sin＞0，所以sin＝，tan，则

     ．

6．设是首项不为零的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则 ＝       ．

答案：1或3

考点：等差数列与等比数列

解析：因为是首项不为零的等差数列的前n项和，所以，，，又，，成等比数列，则，

即，化简得或，所以＝1或3．

7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯       ．

答案：3

考点：等比数列的前n项和

解析：设第n层塔的灯数为，n层塔共有灯数为，可知以2为公比的等比数列，则，求得＝3．

8．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为       ．

答案：

考点：导数的几何意义

解析：因为，所以，当x＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为．

9．若函数(a＞0且a≠1)的值域是[4，)，则a的取值范围是       ．

答案：(1，2]

考点：函数的值域

解析：当x≤2时，y＝﹣x＋6≥4，要使的值域是[4，)，则y＝的最小值要大于或等于4，所以，解得1＜a≤2．

10．如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则＝  

答案：1

考点：平面向量数量积

解析：取BD中点O，则

      ＝．

11．设是定义在R上的可导函数，且满足，则不等式的解集为       ．

答案：[1，2)

考点：利用导数研究函数的单调性

解析：令，则，所以单调递增

      可得

      即，根据单调递增，可得如下不等式组：

      ，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．

12．若正数a，b满足，则的最大值为       ．

答案：

考点：基本不等式

解析：

      ，当且仅当时，取“＝”．

13．已知函数(e是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是       ．

答案：[，）

考点：函数与方程

解析：当a＝0时，x＜﹣1时，，而，最多两个零点，即有不可能有三个零点；

当a＞0时，x＜﹣1时，递减，且，而，最多两个零点，即有不可能有三个零点；

当a＜0时，x＜﹣1时，由于的对称轴为x＝a，可得顶点为(a，2﹣a2)，若2﹣a2＞0，不满足题意；若2﹣a2＜0，3＋2a≥0，，解得，满足恰有三个零点；若2﹣a2＝0，3＋2a＞0，，解得a，不满足题意；

综上可得a的范围是[，）．

14．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为       ．

答案：

考点：三角函数与解三角形

解析：(0，)，，

      存在友好B＋C﹣A＝（循环）在锐角△ABC中，

      等腰△ABC存在友好底＋底﹣顶＝底＝．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C的值；

（2）若，求cosA的值．

16．（本小题满分14分）

已知函数(＞0)的最小正周期为2．

（1）求函数的表达式；

（2）设(0，)，且，求cos的值．

17．（本小题满分14分）

设数列的前n项和为，满足，且，，成等差数列．

（1）求，的值；

（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．

18．（本小题满分16分）

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5 km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝ km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为．

（1）将tan表示为x的函数；

（2）求点D的位置，使取得最大值．

19．（本小题满分16分）

已知数列中，，，且对任意正整数n都成立，数列的前n项和为．

    （1）若，且，求；

    （2）是否存在实数，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；

    （3）若，求（用，表示）．

20．（本小题满分16分）

已知函数，R．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）当[1，2]时，的最小值是0，求实数a的值；

（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

附加题

21．A．已知点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B坐标为(﹣3，4)，求点A的坐标．

B．求曲线C1：被直线l：所截得的线段长．

22．如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的萎形，∠ABC＝45°，OA⊥平面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（2）求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值．

23．设数列满足，．

（1）求证：；

（2）若，求证：．