2023届江苏省盐城市亭湖高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题（解析版）

2023届江苏省盐城市亭湖高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知集合为质数，则的非空子集个数为（    ）

A．4 B．7 C．8 D．

【答案】B

【分析】由题意易知，则可求出答案.

【详解】结合交集的运算易得，共含有3个元素，其非空子集个数为.

故选：B.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由全称命题的否定即可选出答案.

【详解】根据命题的否定可知，为.

故选：B.

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.

【详解】由对数的定义可知：或，

二次函数的对称轴为，所以该二次函数的单调递增区间为，

所以的单调递增区间是，

故选：D

4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ）

A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【分析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.

【详解】解：因为，

所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度.

故选：C.

5．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解.

【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D．

当时，，，∴，排除选项B，C．

故选：A．

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c

【答案】A

【分析】先分析的单调性，然后比较对数式的大小，从而确定正确答案.

【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，

所以在上单调递减.

，，

，，

所以.

故选：A

7．已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（    ）

A．4 B． C．0 D．2

【答案】C

【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.

【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；

由为偶函数，可知函数关于对称，即有.

于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.

所以，.

再由，令，有，即.

所以.

故选：C

8．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．（1，4）

【答案】A

【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.

【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．

当时，，

由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．

当时，单调递增，则，

所以，可得．

故选：A

二、多选题

9．图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.

【详解】

A选项：，则，故A正确；

B选项：，则，故B错；

C选项：，故C正确；

D选项：，故D错.

故选：AC.

10．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（    ）

A． B． C．1 D．4

【答案】ACD

【分析】先解两个不等式，得到是的真子集，解不等式或，即得解.

【详解】，解得，

即，解得或，

由题意知是的真子集，

所以或，

所以或，

即.

故选：ACD

11．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数在区间上存在2个零点

D．若在区间上的根为，则

【答案】ABD

【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.

【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确；

根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；

由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．

故选：ABD.

12．任何一个正整数x都可以表示成，此时．则下列结论正确的是（    ）

A．x是位数 B．x是n位数 C．是47位数 D．是11位数

【答案】AD

【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，所以x是位数，故A正确，B不正确；

设，则，所以，所以是48位数，故C不正确；

对于D，若，则，则，故是11位数，故D正确．

故选：AD

三、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】（1，3）

【分析】根据定义域的定义列不等式求解即可.

【详解】由题意可得： 解得，即定义域为（1，3）；

故答案为： .

14．写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.

【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）

故答案为：（答案不唯一）

15．设x，y为正实数，已知，则的值为______．

【答案】7

【分析】根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.

【详解】解：由，可得，则，

则，则，两边同时除以得．

故答案为：

16．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若函数（且）有且仅有个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意易知为的周期函数，函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，分别画出两个函数图像，使其有6个交点，即可列出不等式组，解出即为答案.

【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，

又，所以，

所以为的周期函数，

令，则，

所以，

又，所以当时，

函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，

当时，函数与函数只有2个交点，不满足题意；

当时，画出图像：

如图所示，要使函数与函数有6个交点，

则，

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．

若______，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）当时，集合，则可求出；

（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，集合，

又，

所以；

（2）方案一  选择条件①．

由，得．

当时，，得，此时，符合题意；

当时，得，解得．

综上，实数a的取值范围是．

方案二  选择条件②．

由，得．

当时，，得，此时，符合题意．

当时，得，解得．

综上，实数a的取值范围是．

18．已知函数的解析式.

(1)求；

(2)若，求a的值；

(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.

【答案】(1)

(2)或

(3)图象见解析，

【分析】（1）根据解析式直接求解可得；

（2）根据a的范围分段解方程可得；

（3）根据解析式直接描点作图即可.

【详解】（1）∵函数的解析式，

∴，.

（2）∵，，

∴或或，

解得或.

（3）画出函数的图象如图所示：

由图可知，的最大值为，函数的值域为.

19．已知函数，若在点处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最大值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；

（2）结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．

【详解】（1）因为，

所以，

由题意得，

所以，；

（2）由（1）得，，

因为，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极大值，

又，，

因为

故函数在上的最大值为．

20．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，且）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效.

(1)试求服药后小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；

(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（参考数据）

【答案】(1)

(2)0.3小时，5.2小时

【分析】（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；

（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.

【详解】（1）当时，由图象可设，

将点的坐标代入函数表达式，解得，

所以；

当时，将点的坐标代入函数表达式，

得

解得，所以，

故.

（2）当时，，令，

解得，即

又因为，所以，

故服药0.3小时后开始有治疗效果.

当时，，令，解得，

又因为，所以.

所以当时，治疗有效，，

所以服药后的治疗效果能持续小时.

21．已知函数．

(1)判断并证明在其定义域上的单调性；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增；证明见解析

(2)

【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；

（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.

【详解】（1）在上单调递增，证明如下：

设，

；

，，又，，，

在上单调递增.

（2），为上的奇函数，

由得：，

由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；

当时，，在上恒成立；

令，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，，，

即实数的取值范围为.

22．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，设是的两个极值点，求证；．

【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，由在恒成立即可得到单调区间；

（2）求导后，由极值点定义可得，；将化为；令，利用导数可求得，即；设，，代入，结合韦达定理的结论可得，由此可推导得到结论.

【详解】（1）当时，，

则的定义域为，；

的单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）由题意得：，

是的两个极值点，，；

，

；

令，则，

在上单调递增，，即；

设，，，

即，

，，

即.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、不等式证明的问题；本题证明不等式的关键是能够构造函数，利用导数得到，从而代入求得.