2019届上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合则

A．对任意实数a，

B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1）

D．当且仅当 时,（2,1）

【答案】D

【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

详解：若，则且，即若，则，

此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

2．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.

【详解】

为单位圆上一点，而直线过点，

所以的最大值为，选C.

【点睛】

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C

【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.

详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，

由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.

点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.

4．设的边上一定点满足，且对于边上任一点，恒有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得恒成立，只需△即可，由此能求出是等腰三角形，．

【详解】

设，则，过点作的垂线，垂足为，

在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，

，

，

于是恒成立，

整理得恒成立，

只需△即可，于是，

因此，即是的中点，故是等腰三角形，

所以．

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.

二、填空题

5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=_____

【答案】{0，1}

【解析】根据集合的交运算进行计算即可．

【详解】

因此AB=

故答案为：

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．

6．若函数，，则__________．

【答案】

【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得定义域，取交集得到的定义域，将解析式相加可得所求结果.

【详解】

定义域为：；定义域为：

的定义域为

故答案为：

【点睛】

本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.

7．在的二项展开式中,第四项的系数为__________.

【答案】

【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数.

【详解】

二项展开式中，第四项的系数为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.

8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【答案】

【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

9．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是   ．

【答案】

【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；

故答案为：

【考点】圆锥体的表面积．

10．已知直线与直线,记  ，则D=0是直线与直线平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件.

【答案】必要非充分

【解析】解求得的值.由此求得的值.由此判断出充分、必要条件.

【详解】

令得，解得或.

当时，，解得.

故D=0是直线与直线平行的必要非充分条件.

故答案为：必要非充分

【点睛】

本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

11．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.

【详解】

因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，取最小值为.

【点睛】

函数的性质

（1）.

（2）周期

（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，

（4）由求增区间；由求减区间.

12．若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

【答案】3

【解析】【详解】

分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.

详解：作可行域，如图，

平移直线，

由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

13．能说明“若对任意的都成立,则在上是增函数”为假命题的一个函数是_________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数在区间满足条件“对任意的都成立”且不是增函数.

【详解】

由于原命题是假命题，故存在“对任意的都成立”且不是增函数.

设为二次函数，则在必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足，且二次项系数即可.如.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题.

14．已知椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的焦距与长轴长的比值为________.

【答案】

【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得，由此求得椭圆M的焦距与长轴长的比值（也即离心率）

【详解】

由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，根据椭圆的定义可知，所以椭圆M的焦距与长轴长的比值为.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题.

15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

16．在实数集R中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：当且仅当“”或“”且“”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:

①若,则；

②若，则；

③若,则对于任意；

④对于复数,若,则.

其中所有真命题的序号为______________.

【答案】②③

【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.

【详解】

对于①，由于，所以“”或“且”. 当，满足但，所以①错误.

对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.

对于③，设，由，所以“”或“且”，可得“”或“且”，即成立，所以③正确.

对于④，当时，，，故④错误.

故答案为：②③

【点睛】

本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求的最小正周期和单调递减区间；

(2)若在区间上恰好有十个零点,求正数的最小值.

【答案】（1）最小正周期为，递减区间为；（2）.

【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简解析式，进而求得的最小正周期和的单调减区间.

（1）令求得函数的零点，结合在区间上恰好有十个零点，求得的最小值.

【详解】

（1），所以的最小正周期为.由，解得，所以的递减区间为.

（2）令，即，即.由于内，恰有十个零点，故由得取，恰好个零点.当时，.所以正数的最小值为.

【点睛】

本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题.

18．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

【答案】（1）

（2）

【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.

详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．

因为AB=AA1=2，

所以．

（1）因为P为A1B1的中点，所以，

从而，

故．

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．

（2）因为Q为BC的中点，所以，

因此，．

设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，

则即

不妨取，

设直线CC1与平面AQC1所成角为，

则，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．

点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

19．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）

(2)证明过程见解析

【解析】【详解】

分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.

详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．

由得．

依题意，解得k<0或0<k<1．

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．

所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直线PA的方程为．

令x=0，得点M的纵坐标为．

同理得点N的纵坐标为．

由，得，．

所以．

所以为定值．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

20．数列,定义为数列的一阶差分数列,其中.

(1)若,试断是否是等差数列,并说明理由；

(2)若证明是等差数列,并求数列的通项公式；

(3)对(2)中的数列,是否存在等差数列,使得对一切都成立,若存在,求出数列的通项公式；若不存在,请说明理由.

【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，；（3）存在，且.

【解析】（1）通过计算证得是等差数列.

（2）根据，得到，利用凑配法证得是等差数列,并求得数列的通项公式.

（3）先求得，由此求得，再利用组合数公式，证得符合要求.

【详解】

（1）由于，所以，所以，且.所以是首项为，公差为的等差数列.

（2）由于，，所以，即，两边除以得，所以是首项为，公差为的等差数列，故，即.

（3）存在，且符合题意.

依题意.当时，；当时，，即，而是等差数列，故只能.下证符合题意.

由于，所以根据组合数公式有符合题意.

【点睛】

本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

21．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记

M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)

【解析】【详解】

（Ⅰ），。

（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，

相应的分别为、、、，

所以中的每个元素应有奇数个，

所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：

、、、，

、、、，

对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，

所以集合、、、满足题意，

假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，

则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，

故中元素个数的最大值为。

（Ⅲ），

此时中有个元素，下证其为最大。

对于任意两个不同的元素，满足，

则，中相同位置上的数字不能同时为，

假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，

所以除外至少有个元素含有，

根据元素的互异性，至少存在一对，满足，

此时不满足题意，

故中最多有个元素.