2024届上海市青浦高级中学高三上学期10月质量检测数学试题含答案

这是一份2024届上海市青浦高级中学高三上学期10月质量检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】利用交集定义直接求解．
【详解】解：集合，，
．
故答案为：．
2．在等差数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得答案．
【详解】根据题意，等差数列{an}中，＝2，
则（）＝1；
故答案为1
【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．
3．已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得.
故答案为：.
4．已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模为 .
【答案】2
【分析】由复数的加减法运算法则求得，再由模的定义计算．
【详解】由题意，∴．
故答案为：2.
5．的展开式中项的系数是 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式的系数.
【详解】在的展开式中，的系数为，
故答案为：
6．若，用表示 ．
【答案】/
【分析】根据求解即可.
【详解】解：因为，
所以
故答案为：
7．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】3
【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长.
【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，
设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3.
故答案为：3.
8．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为，
所以，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是
【答案】
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为=．
故答案为：．
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
10．函数的严格增区间为 .
【答案】
【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解.
【详解】设，，
函数的定义域需满足，得，
根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数，
要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即，
综上可知，，即函数的严格增区间为.
故答案为：
11．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】.
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，
由，得，即恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线的斜率，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：[1，+∞）．
12．已知点，其中，且，，若四边形是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
【答案】
【详解】试题分析：根据题意，作图如下，若四边形是矩形，则．令，由条件，，所以圆柱体的体积为．因为，，所以可将和看作为方程的两个不同的实数解，则，，所以，所以≤＝，当且仅法，即时等号成立，所以该圆柱的体积的最大值为．
【解析】1、圆柱体的体积；2、基本不等式．
二、单选题
13．如果，那么下列不等式成立的是
A．B．C．D．.
【答案】B
【详解】试题分析：对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当，满足，但此时均不正确，由排除法只能选B.事实上由，正确.
【解析】不等式的基本性质.
14．设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】利用取极限的思想，，当足够大时，总有，由图像可知，此时与无关，故当时，得，即可判断.
【详解】由于，当足够大时，
总有，
由图像可知，此时与无关，
故当时，得，
由此排除B，C，D；
对于A：，
，
符合图象，
故选：A.
【点睛】关键点睛：利用取极限的思想，分析出，当足够大时，由图象可知，此时函数的变化与无关，是解决本题的关键.
15．双曲线绕坐标原点逆时针旋转后可以成为函数的图像,则的角度可以为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线和函数的定义可以选出正确答案.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为：,它们的倾斜角分别为,因此当双曲线绕坐标原点逆时针旋转时,两条渐近线方程分别为：
,此时符合函数的定义.
故选C
【点睛】本题考查了双曲线的旋转的性质,考查了函数的定义,考查了双曲线的渐近线方程的应用.
16．已知是定义在上的偶函数，且函数的图像关于原点对称，若，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性得到，，即可得到是以为周期的周期函数，再由求出、、，最后根据周期性计算可得.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，所以，
由函数的图像关于原点对称，即函数为奇函数，
所以，所以，所以，
即，所以，
所以是以为周期的周期函数，
又，所以，又，所以，所以，
所以.
故选：C
三、解答题
17．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在三角形中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的周长．
【答案】（1）增区间，；（2）周长为18．
【分析】（1）由题意，将化简为，令即得解；
（2）由，可解得，再由余弦定理，可得，即得解.
【详解】（1）由题意：
令，
故函数的单调递增区间为：，
（2）由，可得
或
或，又
由余弦定理，
即
（舍负）
故周长
18．如图，在直棱柱中，，，D，E，F分别是，，的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面DEF所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直证明线线垂直，
（2）利用空间向量的夹角即可求解线面角.
【详解】（1）由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
故,
,
所以，故
（2）,,
设平面的法向量为，则
，取，则，
设与平面DEF所成角为，
则，
由于，所以
19．某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；
（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．
【详解】解：（1）年利润.
（2）当时，，
所以在上单调递增，
所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
因为，所以，，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
20．已知为抛物线：的焦点，为坐标原点.过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点.
(1)若点在抛物线上，求；
(2)若的面积为，求实数的值；
(3)是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据抛物线的定义直接求焦半径；
（2）利用韦达定理和面积公式表示出面积即可求解；
（3）根据直线与圆相切列出等式，利用韦达定理列出等式，再根据所列方程与无关即可确定的值.
【详解】（1）抛物线：的焦点，
由点在抛物线上，则，解得
所以
（2）设直线的方程为，原点到直线的距离为
联立，设,
整理得,其中，解得
由韦达定理得，
所以
所以，解得
（3）设直线的方程为，则，设
则圆的方程为.
设，，，
直线的斜率
所以直线的方程为，
整理得
则直线与圆相切得，
即，
同理可得，
易知，否则直线与抛物线只有一个交点，
所以是方程的两个根，
由韦达定理得
直线的方程与圆相切得，
两边平方得，
即，
化简得
上式对任意的恒成立，所以，解得或3
当时，，舍去；
当时， ，符合，此时
综上，存在定圆，过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切.
21．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.
【详解】（1）由题意得：
，
曲线在处切线为：，即
（2）由（1）知：
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
又，，
由零点存在定理知：在上有一个零点
在上单调递增 该零点为上的唯一零点
（3）由题意得：
为的两个极值点，即为方程的两根
，
，又，解得：
令，
则
在上单调递减
即
即实数的最大值为：
【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题.