2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题（解析版）

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题

一、单选题

1．若为实数，则“”是“”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】【详解】

若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1”⇒“b＜”为假命题；

若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜”⇒“0＜ab＜1”为假命题，综上“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D

2．若函数在区间上存在最小值,则非零实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据的范围求出的范围,根据函数在区间上存在最小值,然后对大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数的取值范围.

【详解】

函数在区间

①当时,

函数在区间上存在最小值

   可得:

②当时,

函数在区间上存在最小值

可得:

综上所述,非零实数的取值范围是: .

故选:C.

【点睛】

本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数图像性质,数学结合.

3．已知集合,若实数对满足:对任意的,都有,则称是集合的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合的“嵌入实数对”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由定义可知,利用不等式的性质,即可得出的范围,从而得出答案.

【详解】

对任意的,都有

可得:

, 结合:实数对满足,对任意的,都有.

可得, 即,

对于A, ,可得,

根据 可得:,

故存在集合的“嵌入实数对使

对于B,可得,

故存在集合的“嵌入实数对使

对于C,,可得: 故,

故不存在集合的“嵌入实数对使

对于D, ,可得,故.

故存在集合的“嵌入实数对使

综上所述,故C:不存在集合的“嵌入实数对.

故选:C.

【点睛】

本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.

4．已知函数,则下列命题中正确命题的个数是（    ）

①函数在上为周期函数

②函数在区间,上单调递增

③函数在（）取到最大值,且无最小值

④若方程（）有且仅有两个不同的实根,则

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【解析】作出的图像,由图像对各选项进行判断即可.时,,可由的图像作关于轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当时,故是周期为的周期函数,图像可由时,向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到图像.

【详解】

的图像如图所示:

对于①,因为,,可得所以函数在上不是周期函数,故①不正确;

对于②,当,结合函数图像可知,函数在区间,上单调递增,故②正确;

对于③,因为时,,不是最大值, 故③不正确;

对于④,如图所示,

图中两条曲线对应的分别为和,故方程为,有且只有两个实根,则 ,故④正确.

故选:B.

【点睛】

本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.

二、填空题

5．已知集合,.且,则所有满足条件的构成的集合为________

【答案】

【解析】先化简集合.由,可得,分类讨论和,即可求出构成的集合.

【详解】

集合

,可得

①当时,满足,符合题意

②当时,

或

解得:或.

所有满足条件的构成的集合为:.

故答案为:.

【点睛】

本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.

6．设,则“”是“”的________条件

【答案】必要不充分

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.

【详解】

,只有当时,由才有

由不能推出

故不是的充分条件

又 由得

可得

故是的必要条件;

是的必要不充分条件.

故答案为:必要不充分.

【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.

7．（为虚数单位），则________

【答案】

【解析】设(),则,代入,整理后由复数相等的条件列式求得的值,根据的模为,即可求得.

【详解】

设(),则,

代入,得:

故:

根据的模为

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.

8．    若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是________．

【答案】1

【解析】【详解】

在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面积S＝ab·sinC＝ab·sin30°＝ab≤＝×4＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号．因此△ABC面积的最大值是1.

故答案为1.

9．设直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程是________

【答案】或

【解析】设的方程为(不同时为零),根据直线夹角公式可得:,化简可得或,即可求得直线的方程.

【详解】

直线的方向向量为

设所求直线的方向向量为(不同时为零)

依题意有:

,故

解得,即或

①当时,则且

此时直线的斜率不存在,直线的方程为:

②当时,则均不为

可得:,故直线的斜率为:

直线的方程为: ,即

综上所述, 直线的方程:或.

故答案为: 或.

【点睛】

本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.

10．设常数，展开式中的系数为，则_______

【答案】

【解析】根据二项展开式的通项公式和已知求出r，再代入求a，从而将a代入所求表达式，结合等比数列的前n项和公式求和并取极限即可.

【详解】

展开式的通项公式为，

令，解得，则，解得，

所以，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.

11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为________.

【答案】

【解析】先求当时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R上的值域.

【详解】

当时，,

令，所以，

所以.

由于函数是奇函数，

所以当时，.

当时，.

综上所述，此函数的值域为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数是单调增函数,则需内层函数也是增函数,且满足,即可求得实数的取值范围.

【详解】

设

在上为增函数

要保证在上是增函数

在上是增函数

在上恒成立

在上恒成立

可得

实数的取值范围是:.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.

13．奇函数满足对任意都有,且,则的值为________

【答案】

【解析】由推导出即可得到的周期为,当时,由 得.结合,即可求得的值.

【详解】

┄①

为奇函数,故

  ┄②

由①②可得:

即: 可得:的周期为

函数是定义在上的奇函数,可得:

当时, 由,可得:

故答案为:.

【点睛】

本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.

14．在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】设点的坐标为，根据条件求出动点的轨迹方程，可得知动点的轨迹为圆，然后将问题转化为直线与动点的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数的不等式，即可求出实数的值.

【详解】

设点的坐标为，，即，

化简得，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

由题意可知，直线与圆有公共点，

则，解得或.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

15．下列命题:

①关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的必要非充分条件;

②已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;

③“”是“对任意的实数,恒成立”的充要条件;

④“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的充要条件;

其中,真命题序号是________

【答案】②

【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案.

【详解】

对于①, 系数行列式,关于、的二元一次方程组有唯一解,

是该方程组有解的非充分条件

又系数行列式,或

关于、的二元一次方程组无解

系数行列式,

关于、的二元一次方程组有无穷组解

关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的非必要非充分条件;

故①不正确;

对于②,已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交.

命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件

又直线和不相交,当,即、、、四点共面,

命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件

甲成立是乙成立的充分非必要条件.

故②正确;

对于③,设

当时,;

当时,;

当时,.

故

能推出任意的实数,

又对任意的实数,不能推出

故“”是“对任意的实数,恒成立”的充分不必要条件

故③不成立;

对于④,由关于的实系数方程有且仅有一个实数根,得:,

由得:或

当时,得,检验知:不是方程的实根,故此时方程无解

当时,,解得,检验知:是方程的实根.

故此时关于的方程有且仅有一个实数根

“或”不能推出“关于的方程有且仅有一个实根”

又关于的方程有且仅有一个实根也不能推出“或”

“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.

故④错误.

故答案为:②.

【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.

16．在直角坐标平面中,已知两定点与位于动直线的同侧,设集合点与点到直线的距离之差等于，,记,,则由中的所有点所组成的图形的面积是________

【答案】

【解析】根据条件确定集合对应的轨迹,利用集合的定义,确定对应图形,即可求得中的所有点组成的图形的面积.

【详解】

两定点与位于动直线的同侧,如图:

过与分别作直线的垂线,垂足分别为

由题意得,即

在中,

可得

.集合对应的轨迹为线段的上方部分,对应的区域为半径为的单位圆内部

根据的定义可知,中的所有点组成的图形为图形阴影部分

阴影部分的面积为:

故答案为:.

【点睛】

本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.

三、解答题

17．关于x的不等式的解集为．

求实数a，b的值；

若，，且为纯虚数，求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】(1)由题意可得:,b是方程的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;

(2)利用(1)的结果得为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．

【详解】

解：(1)不等式即的解集为．

,b是方程的两个实数根,由，，

解得,．

(2)由(1)知,为纯虚数，

,,

解得.

【点睛】

本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18．如图,四棱锥中,底面,且底面为平行四边形,若,,.

（1）求证:;

（2）若,求点到平面的距离.

【答案】（1）答案见解析（2）.

【解析】（1） 因为,,,利用余弦定理求出,即可判断出满足勾股定理,即直角三角形且角为直角,则,结合已知底面,即可求证.

（2）利用等体积法,根据列方程,即可求得点到平面的距离.

【详解】

（1）

根据余弦定理可得:

底面,底面

,又

平面

平面

综上所述,

（2）由（1）可知

  可得:

又

解得: .

【点睛】

本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.

19．如果一条信息有n种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称 （其中 ）为该条信息的信息熵．已知．

（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；

（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当 时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式．

【答案】（1）5（2）

【解析】试题分析：利用求出，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为，利用公式 （其中 ），求出信息熵的值；比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当 时，选手获得冠军的概率为，利用公式 （其中 ），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.

试题解析：（1）由，可得，解之得.

由32种情形等可能，故，

所以，

答：“谁被选中”的信息熵为．                          

（2）获得冠军的概率为，

当 时，，又，

故，                  

，

以上两式相减，可得，故，

答：“谁获得冠军”的信息熵为．

20．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.

（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）设，根据题设条件得到，从而解得的值．

（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．再设的中点为，由即，从而得到，进而构建关于的方程求解即可．

试题解析：（1）设．

由题意，，，，

因为是等边三角形，所以，

即，解得．

故双曲线的渐近线方程为．

（2）由已知，，．

设，，直线．显然．

由，得．

因为与双曲线交于两点，所以，且．

设的中点为．

由即，知，故．

而，，，

所以，得，故的斜率为．

【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积

【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.

21．若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．

已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；

在的条件下，定义数列2，3，求的值．

若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．

【答案】（1），（2）（3）证明见解析，，证明见解析

【解析】是抽象函数基础题,令,求得;令,求得;

对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令，,利用题中关系式推导出递推公式,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;

属于难题,因为的铺垫,代入特定的数即令,y为任意实数即可证明偶函数,证明与的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点.

【详解】

解：令，，则，所以．

令，，则，所以．

令，，其中n是大于1的整数，则，所以，即．

又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，则．

所以原式．

(3)证明:由题意函数定义域为R关于原点对称,

令,y为任意实数,则，即，所以是偶函数．

令N为,分母的最小公倍数,并且,,都是自然数,并且．

令数列满足，，1，下证：数列单调递增．

，所以；

若，n是正整数，即；

令，，则，即．

所以．

综上,数列单调递增,所以，又因为是偶函数，所以

【点睛】

本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.