上海市复兴高级中学2019届高三5月模拟考试拟数学试题
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一、填空题
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则_____
【答案】{2，4，5}
【解析】
【分析】
根据补集的定义直接求解：∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．
【详解】因为全集，，
所以根据补集的定义得
故答案为：{2，4，5}
【点睛】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于基础题．
2.已知复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】.
【解析】
试题分析：因为，所以，也可利用复数模的性质求解：
考点：复数的模
3.的展开式中，的系数为 。（用数字作答）
【答案】10.
【解析】
解：因为由二项式定理的通项公式可知
4.设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________
【答案】2019
【解析】
【分析】
根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.
【详解】由二次方程根与系数的关系可得，
由等差数列的性质得出，
因此，等差数列的前项的和为，
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.
5.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________
【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出，由题意得出，再由勾股定理得出的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，
由题意可知，，，由勾股定理得，
因此，该圆锥的体积为，故答案为：.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.
6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .
【答案】8
【解析】
试题分析：的右焦点为，所以
考点：本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.
点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.
7.如图，长方体的边长 ， ，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________．
【答案】
【解析】
由题意，，所以，
所以。
8.若命题“对任意，恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得出命题“，”为真命题，转化为，利用函数在区间上的单调性得出该函数的最大值，从而得出实数的取值范围.
【详解】由题意得出命题“，”为真命题，则有
由于正切函数在区间上单调递增，所以，，，
因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查全称命题的真假与参数，解题时要根据全称命题的真假转化为函数的最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
9.某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后得产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间，样本中净重在区间的产品个数是24，则样本中净重在区间的产品个数是________
【答案】44
【解析】
【分析】
先利用已知条件求出样本容量，并由频率分布直方图得出样本中净重在区间的产品所占的频率，再利用样本容量乘以该频率可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可知，样本中净重在区间的频率为，
则样本容量为，
由频率分布直方图可知，样本中净重在区间的频率为，
因此，样本中净重在区间的产品个数为，故答案为：.
【点睛】本题考查频率分布直方图中相关的计算，涉及频率、样本容量以及频数的计算，解题时要注意从频率分布直方图中得出相应的频率，并熟悉频数、样本容量、频率三者之间的关系，属于基础题.
10.把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则方程组无解的概率是________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得出直线与直线平行，得出，可得出事件“方程组无解”所包含的基本事件数，并确定所有的基本事件数为，然后利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.
【详解】把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，用表示基本事件，则所有的基本事件数为，
若方程组无解，则直线与直线平行，可得，
则事件“方程组无解”包含的基本事件有：、、，共种，
因此，事件“方程组无解”的概率为，故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键就是在于列举所有的基本事件，也可以利用一些计数原理求出基本事件数，考查计算能力，属于中等题.
11.已知函数存在反函数，则实数________
【答案】0
【解析】
【分析】
由函数存在反函数，可知函数为单调函数，然后对分三种情况讨论：、、，分析函数的单调性得出实数的取值.
【详解】由于函数存在反函数，则函数单调函数.
①当时，，
当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上不单调，不合乎题意；
②当时，，
可知函数在和上均增函数，且在处连续，
所以，函数在上单调递增，合乎题意；
③当时，，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在上不单调，不合乎题意.
综上所述：，故答案为：.
【点睛】本题考查反函数的存在性问题，解题的关键就是将问题转化为函数为单调函数来处理，考查化归与转化思想，属于中等题.
12.已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
设，作出函数的图象，由方程有个不同根转化为二次方程的两根，，并构造函数，转化为二次函数的零点分布，得出，结合，可作出关于、的不等式组，作出可行域，将视为可行域中的点到直线的距离，结合图象可得出答案.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，则方程有个不同根转化二次方程的两根，，
构造函数，可得不等式，即，
结合，作出图形如下图所示，不等式组表示的平面区域为边长为的正方形，不等式组表示的区域为下图中的阴影部分（不包括轴），
代数式视为可行域中的点到直线的距离，
当点与点重合时，，
结合图形可知，取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.
二、选择题
13.“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 非充分非必要
【答案】A
【解析】
【分析】
利用反三角函数的定义得出，然后取特殊角可得出，于此可得出答案.
【详解】当，则，所以；
另一方面，取，则，
则，因此，“”是“”的充分非必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，可以利用逻辑推证法以及取特殊值的方法推出矛盾，考查推理能力，属于中等题.
14.已知直线平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线与平面的位置关系的表述，正确的是（ ）
A. 与不平行 B. 与不相交
C. 不在平面上 D. 在上，与平行，与相交都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
以正方体为载体能推导出直线平行于平面，平面垂直于平面，从而直线与平面相交、平行或在平面内.
【详解】如下图所示：
在正方体中，平面平面，
平面，平面；
平面，与平面相交；
平面，平面.
所以，直线平行于平面，平面垂直于平面，
则直线与平面相交、平行或在平面内，故选：D.
【点睛】本题考查线面关系有关命题真假的判断，可以利用简单几何体作载体来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
15.已知函数，把函数图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数
B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数
D. 当时，函数的值域是
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，，A：时，，是减函数，故A错误；B：，故B错误；C：是偶函数，故C错误；D：时，，值域为，故D正确，故选D．
考点：1．三角函数的图象变换；2．的图象和性质．
16.在平面上，，，，若，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，，设点的坐标为，由由以及，可得出关于、的等式或不等式，从中求出的取值范围可得出的取值范围.
【详解】根据条件知、、、构成一个矩形，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点的坐标为，则点的坐标为，
，由得，
又，得，可得，，
又，知，同理可得，得，故，
因此，的取值范围是，故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的模长以及不等式的应用，难点在于将向量模的取值范围转化为不等式的取值范围，并利用数形结合思想来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
三、解答题
17.已知下图是四面体及其三视图，是的中点，是的中点.
（1）求四面体的体积；
（2）求与平面所成的角；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由三视图得出四面体的底面是直角三角形，且可得出两直角边的边长，从而求出底面三角形的面积，由三视图可得出该四面体的高，再利用锥体的体积公式可求出四面体的体积；
（2）通过得出点到平面的距离，利用直线与平面所成角的定义得出直线与平面所成角的正弦值，从而可求出直线与平面所成角的大小.
【详解】（1）由三视图可知，四面体是直三棱锥，且底面是以为直角的直角三角形，，则的面积为，
由三视图可知，底面，且，
因此，四面体的体积为；
（2）是的中点，为的中点，
到平面的距离为，，
，
由勾股定理，，
边上的高为，
，，
设点到平面的距离为，则，
又，，解得，
连接，则，，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成的角为.
【点睛】本题考查了三视图与棱锥的结构特征，涉及棱锥体积的计算、直线与平面所成的角的计算，解题时要从三视图得出线线关系与线面关系，考查空间想象能力，属于中等题.
18.在中，角、、所对的边分别为、、.
（1）若、、成等比数列，且，求的值；
（2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值.
【答案】（1）；（2）6．
【解析】
【分析】
（1）首先求出的值，再依据正弦定理及、、成等比数列得出，对化简代入即可；
（2）由等差中项的性质，结合三角形的内角和定理得出，利用正弦定理表示出与，进而表示出的周长，由三角恒等变换，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值.
【详解】（1），，
、、成等比数列，，由正弦定理得，
；
（2），、、成等差数列，可得，即，，
由正弦定理，即，，
，，
的周长为
，
，，则，所以，，
当且仅当时，的周长取到最大值.
【点睛】本题考查了正弦定理、等差数列和等比数列中项的性质以及三角恒等变换，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中等题.
19.已知函数．
(1) 若，求x的取值范围；
(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．
【答案】(1) (2) ，
【解析】
试题分析：（1）考虑对数函数的定义域，结合对数运算法则。结合对数函数的单调性列不等式组，进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识先求原函数的值域即为反函数的定义域，再根据对数指数的运算求解即可.
试题解析：（1）由，得.
由得.
因为，所以，.
由得.
（2）当 时， ，
因此.
由单调性可得.
因为，所以所求反函数是，.
20.已知抛物线（），点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是到距离的3倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.
（1）求抛物线的方程和的坐标；
（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）椭圆的两焦点为、，在椭圆外的抛物线上取一点，若、的斜率分别为、，求的取值范围.
【答案】（1），（2），详见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意得出，以及，可求出的值，从而得出抛物线的方程以及焦点的坐标；
（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并求出、两点的坐标，在时，由与同时与轴垂直得出，在时，由得出，即可解答该问题；
（3）设点，得出，由点在抛物线上且在椭圆外得出，由函数在上单调递增，可得出的取值范围.
【详解】（1）由于点在抛物线的焦点的右侧，所以，，
由于到的准线的距离是到距离的倍，即，解得，
因此，抛物线的方程为，其焦点的坐标为；
（2），理由如下：
设， ，联立，
得，，
；，令得，
，令得，
当时，直线斜率不存在，
此时，，直线斜率也不存在；
当时，，则；
（3）设点，则，
因为点在椭圆外，所以，
即，即，，解得，
由于函数在上单调递增，则，
.
【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查两直线的位置关系以及两直线斜率之积的取值范围的计算，解题时要根据已知条件的类型选择合适的方法进行计算，另外对于两直线的位置关系，可利用斜率关系来进行转化，考查化归与转化思想，属于难题.
21.数列的前项1，3，7，，（）组成集合，从集合中任取（）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记.例如：当时，，，；时，，，，.
（1）当时，求，，，的值；
（2）证明：时集合的与时集合的（为以示区别，用表示）有关系式（，）；
（3）试求（用表示）.
【答案】（1），，，（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）当时，得出，根据定义得出、、的值，可计算出的值；
（2）当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素；
，对应的包含两个部分：（i）若不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项；（ii）若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项，即可证明；
（3）由，，，猜想，下面利用数学归纳法进行即可.
【详解】（1）当时，，
，，，
（2）证明：当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素：.∴对应的包含两个部分：
若中不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项.
若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项.
∴有关系式
（3）解：由，，，
猜想.下面证明：（i）易知时成立.
（ii）假设时，，
则时，
（其中，，2，…，k，为时可能的k个数的乘积的和为，
，即时，也成立，
综合（i）（ii）知对，成立.
∴.
【点睛】本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法以及分类讨论数学思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
