2019届上海市进才中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2019届上海市进才中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若，，则是的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】B

【解析】由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．反之不成立，例如x＞b，y＞a．

【详解】

由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，由不等式的性质可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．

反之不成立，例如还可以得到x＞b，y＞a．

因此是的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．若变量x，y满足则x2+y2的最大值是

A．4 B．9 C．10 D．12

【答案】C

【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.

3．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】解：因为选项A中，投影垂直时，原来的直线不一定垂直，错误

选项C中，投影相交则原来直线不可能重合，错误。

选项D中，投影平行，则原来直线可能相交，错误。选B

4．已知两个不相等的实数满足以下关系式：，则连接、两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【答案】C

【解析】利用设而不求可求的直线方程，再利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系.

【详解】

因为，故点在直线上，

同理，在直线上，

故直线的方程为：.

圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相交.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断，求直线方程时注意判断直线的几何要素中哪些是已知，哪些是未知的，从而假设合适的直线方程形式来求直线方程，也可以利用方程的思想即找一个二元一次方程，而已知的点的坐标均满足该方程，那么该方程即为所求的直线方程（此为设而不求法）.直线与圆的位置关系的判断依据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断即可.

二、填空题

5．复数的虚部为__________．

【答案】-1

【解析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.

【详解】

由复数的运算法则有：，

则复数的虚部为.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．设集合 则=____．

【答案】

【解析】因为，所以，应填答案。

7．的展开式中x7的系数为__________.（用数字作答）

【答案】

【解析】试题分析：展开式通项为，令，得，

所以展开式中的系数为．故答案为．

【考点】二项式定理

【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．

②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．

8．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为______．

【答案】

【解析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可.

【详解】

设双曲线方程为：，双曲线过点，

则：，

故双曲线方程为：，即.

【点睛】

求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.

9．是抛物线的焦点，定点，若点在抛物线上运动，那么的最小值为____________.

【答案】3

【解析】利用抛物线的几何性质可求的最小值.

【详解】

抛物线的准线为，如图，过作准线的垂线，垂足为，

则，所以，其中为到准线的距离.

因，故，

故的最小值为，当且仅当三点共线时取最小值.

故答案为：3.

【点睛】

一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为，该距离实际上是到准线的距离，我们常常利用这个性质实现到焦点的距离的转化.

10．若，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域内的椭圆的概率是_________.

【答案】

【解析】根据椭圆在矩形区域内可得且，算出满足条件的的个数后根据概率公式可求概率.

【详解】

因为，故的不同取法总数为.

因为椭圆在矩形区域内，故且，

所以椭圆在矩形区域内的的不同取法总数为，

设为事件“该方程表示的曲线为落在矩形区域内的椭圆”，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的计算，解决此类问题的关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计数时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用计数原理或排列组合的方法来计数（个数较大时）.

11．已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积      ．

【答案】

【解析】【详解】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，所以该几何体的体积为.

【考点】1.三视图；2.几何体的体积.

12．等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比__________．

【答案】

【解析】由题意结合等比数列前n项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

很明显数列的公比，且，结合题意和等比数列前n项和公式有：

，即：，

整理可得：，据此有：，则.

【点睛】

本题主要考查等比数列前n项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的_____条件.

【答案】充分不必要

【解析】找到的最小值与的最小值相等的充要条件后可得两者之间的条件关系.

【详解】

，故，

的最小值与的最小值相等的充要条件为，即或.

因为为或的真子集，

故“”是“的最小值与的最小值相等”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集，反之也成立；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集，反之也成立；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等，反之也成立；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含，反之也成立．

14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.

【答案】

【解析】【详解】

由题意在上单调递减，又是偶函数，

则不等式可化为，则，，解得．

15．已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

【答案】

【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

16．已知为单位圆上的弦，为单位圆上的点，若的最小值为(其中)，当点在单位圆上运动时，的最大值为，则的值为________.

【答案】

【解析】先利用的几何意义求变化时的最小值，再利用圆的性质可求该最小值的最大值.

【详解】

如图，设，则，

当变化时，的最小值为到的距离即，

当到的垂线过圆心时，最大，此时圆心到的距离为，

故的最大值为，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的线性运算及其向量的模的计算，注意根据向量的特点（起点与终点中一定一动）把模长的最值问题归结为定点到直线的距离问题来处理.

三、解答题

17．已知集合.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】先求出集合.

（1）就和分类讨论，再根据集合关系得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数的取值范围.

（2）就和分类讨论，再根据得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数的取值范围.

【详解】

，.

（1）若，则，符合；

若，则，因为，故；

若，则，因为，故；

所以时，实数的取值范围为.

（2）因为，.

若，则，符合；

若，则，因为，故即；

若，则，因为，故即；

所以时，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式时，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.

18．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．

【答案】（1）；（2）．

【解析】【详解】

（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．

圆柱的体积，

圆柱的侧面积．

（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则，

所以或其补角为与所成的角．

由长为，可知，

由长为，可知，，

所以异面直线与所成的角的大小为．

19．已知函数，若函数的图象与函数的图象关于轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若存在，使等式成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式可化简，再利用可得的解析式.

（2）令，则，则方程在有解，参变分离后可求的取值范围.

【详解】

（1），

.

因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，故，

所以.

（2）令，，则，.

所以方程在有解，

故方程在有解，

所以直线与函数，的图象有公共点，

而函数，的值域为，

故.

【点睛】

（1）三角函数的化简问题，可以从四个角度去分析：①看函数名的差异；②看结构的差异；③看角的差异；④看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．

（2）对于复合方程的有解问题，可令，从而把复杂方程的解的存在性问题转为方程在相应范围（的值域）上的解的存在性问题.

20．设函数.

(1)若，解不等式；

(2)若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围；

(3)设，若存在使不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.

（2）的解为，在该条件下恒成立即为恒成立，参变分离后可求实数的取值范围.

（3）有解即为有解，利用绝对值不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.

【详解】

（1）当时，即为.

 当时，不等式可化为，故；

当时，不等式可化为，故.

综上，的解为.

（2）的解为，

当时，有，

因为不等式恒成立，故即在上恒成立，

所以在上恒成立，而在上总成立，

所以即.

故实数的取值范围为.

（3），

等价于，

即在上有解.

令，

由绝对值不等式有，

所以，当且仅当时，成立，

所以，故即.

故实数的取值范围为.

【点睛】

解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.

21．已知数列中，，又数列满足：.

(1)求证:数列是等比数列；

(2)若数列是单调递增数列，求实数的取值范围；

(3)若数列的各项皆为正数，，设是数列的前项和，问：是否存在整数，使得数列是单调递减数列?若存在,求出整数；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在整数且为正整数，使得数列是单调递减数列.

【解析】（1）利用等比数列的定义可证明是等比数列.

（2）利用（1）求出的通项，再根据单调增数列的定义可求实数的取值范围.

（3）根据是单调递减数列，可得，总有恒成立，再根据的通项可得为单调减数列，从而由可得整数满足的条件.

【详解】

（1）因为，故，

整理得到，因为，故，

所以即，故是首项为，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知是首项为，公比为2的等比数列.

所以，所以，

因为为单调递增数列，所以对任意的恒成立，

故对任意的恒成立，

整理得到对任意的恒成立，

当时，恒成立，故，又，故.

所以实数的取值范围为.

（3）因为的各项均为正数，故.

又，

因为是单调递减数列，故任意，总有即恒成立，

因为，故为递减数列，

故.

任意，恒成立等价于，又，

所以即，又为整数，故.

存在整数且为正整数，使得数列是单调递减数列.

【点睛】

本题考查等比数列的证明、数列通项的求法以及数列单调性的讨论，注意等比数列的证明需根据定义，而求数列通项时往往需要对递推关系变形，然后构造新数列（通常为等差数列或等比数列）来求原数列的通项，数列的单调性也应用根据相邻两项差的符号来考虑.