2020届广东省佛山市高三教学质量检测（一）数学（文）科试题（解析版）

2020年1月2日高中数学作业

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】

解：，

在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解二次不等式可求得，再根据交集的定义求解即可．

【详解】

解：解二次不等式，得，所以集合，

又，

所以，

故选：．

【点睛】

本题考查了交集及其运算，属于基础题．

3．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

举反例说明A,B,D错误，再根据单调性证明C成立.

【详解】

当时；

当时；

当时；

因为函数在上单调递增，且，所以，即，即.

故选：C

【点睛】

本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题.

4．函数的图像向右平移一个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意得出，关于轴对称，再向左平移1个单位即可，运用规律求解得出解析式．

【详解】

解：关于轴对称得出，

把的图象向左平移1个单位长度得出，

，

故选：．

【点睛】

本题考查了函数图象的对称，平移，运用规律的所求函数即可，难度不大，属于容易题．

5．已知函数为奇函数，则（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件，可得恒成立，结合对数的运算性质及多项式相等的充要条件，可得的值．

【详解】

解：函数为奇函数，

恒成立，解得，

故选：．

【点睛】

本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握奇函数的性质恒成立，是解答的关键．

6．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.

【详解】

设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为

所以落在黑色区域的概率为.

故选：B

【点睛】

本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由计算出，再将用两角差的正切公式拆开，代入求值即可.

【详解】

解：，，且为锐角

，

故选：

【点睛】

本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题.

8．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段.今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；

乙说：“丁能中奖”；

丙说：“我或乙能中奖”；

丁说：“甲不能中奖”.

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】

【分析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．

【详解】

解：①若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同学是甲，

②若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是乙，

③若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丙，

④若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丁，

综合①②③④得：中奖的同学是甲，

故选：．

【点睛】

本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．

9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（    ）

A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值

B．10年来全球新增装机容量连年攀升

C．10年来中国新增装机容量平均超过

D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

【答案】D

【解析】

【分析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．已知抛物线上不同三点，，的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（    ）

A．，，的纵坐标成等差数列 B．，，到轴的距离成等差数列

C．，，到点的距离成等差数列 D．，，到点的距离成等差数列

【答案】D

【解析】

【分析】

假设抛物线上三点，，的坐标分别为，，，根据焦半径公式可判断.

【详解】

解：设抛物线上三点，，的坐标分别为，，，

则，，到焦点的距离，

根据焦半径公式可得，，，，

、、成等差数列

，，也成等差数列

故正确

故选：

【点睛】

本题考查抛物线的性质焦半径公式，等差数列的性质，属于中档题.

11．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确.

【详解】

∵，

∴是奇函数，①正确；

的周期，，的周期，，

∵，

所以不是周期函数，②错误；

令，得，

∴，，或，，

解得，或，

又，或或，③正确；

当时，，，

当时，，，

∵，

即与不可能同时取得最大值1，故④错误.

故选：B

【点睛】

本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题.

12．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得.

【详解】

解：

，，

在和中利用余弦定理可得

即

化简可得

同除得：解得或（舍去）

故选：

【点睛】

本题考查椭圆离心率的计算，余弦定理得应用，属于中档题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程是 ___________．

【答案】

【解析】

分析：求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式可得结果.

详解：函数，

，

曲线在点处的曲线方程是，

即，故答案为.

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程为．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

14．若实数变量，满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，进行平移即可得到结论．

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由，得，

平移直线，由图象可知当直线经过点，

直线的截距最小，此时最小，

由，解得，

即，此时，此时，

平移直线，由图象可知当直线经过点，，

直线的截距最大，此时最大，

由，解得，

即，此时，即，

则，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

15．在中，，，的面积为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系求出，再根据面积公式求出边，最后利用余弦定理可求边.

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题.

16．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出正三棱柱底面内切圆、外接圆的半径，对和分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面积的最小值.

【详解】

解：因为正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，

则底面三角形的内切圆的半径，外接圆的半径

三棱柱内的球的体积的最大值为，此时球的半径，

当，即时，三棱柱的内的球的半径，

取得最大值，因为，所以不可能为；

当，即时，三棱柱的内的球的半径，取得最大值

解得，又，所以，

设正三棱柱外接球的半径为，则

正三棱柱外接球表面积.当时，取得最小值

故答案为：

【点睛】

本题考查球的内切和外接问题，以及球的表面积体积的计算问题，属于难题.

三、解答题

17．已知数列是等比数列，数列满足，，.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件求出，即可求出等比数列的通项公式；

（2）由（1）可得，即数列是公差为1的等差数列，求出的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和.

【详解】

（1）由，取，得，解得.

取，得，解得.

∵是等比数列，则，.

∴的通项公式为.

（2）∵，∴数列是公差为1的等差数列.

，则.

设的前项和为，则，.

则.

∴.

【点睛】

本题考查数列通项公式的计算，以及利用错位相减法求数列的项和，属于中档题.

18．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面.全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（），其计算公式为：，当时，认为“超重”，应加强锻炼以改善.某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a）.为了解这2000名学生的指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本.

表（a）

（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；

（2）分析这160个学生的值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）.

表（b）

（ⅰ）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；

（ⅱ）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到的观测值，，试判断与的大小关系.（只需写出结论）

【答案】（1）最合理的分层应分为以下四层：.高一男生：人；高一女生：人；高二男生：人；高二女生：人.（2）（ⅰ）“超重”人数为人.（ⅱ）

【解析】

【分析】

（1）按照高一男生、高一女生、高二男生、高二女生分层四层，然后利用分层抽样的方法确定每层的人数.

（2）计算出“超重”发生的频率，用样本来估计总体的特征.

【详解】

（1）考虑到应与年级或性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生.

高一男生：人；高一女生：人；

高二男生：人；高二女生：人.

（2）（ⅰ）160人中，“超重”人数为人，“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体概率，估计在这2000人中，“超重”人数为人.

（ⅱ）.

【点睛】

本题考查分层抽样的设计，用样本的数字特征来估计总体的特征，属于基础题.

19．如图，三棱锥中，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一可证，再证得到即可得证平面.

（2）连接并延长交于点，则点为的中点，连接，可得平面，即为与平面所成的角，由勾股定理可计算出、的值，根据求出锥体的体积.

【详解】

（1）∵，是的中点，∴.

∵，是的中点，∴，

又，，∴.

∴，即.

平面，平面，且，

∴平面.

（2）连接并延长交于点，则点为的中点，连接，则.

由（1）得平面，∴为与平面所成的角，即.

又在中，，∴，.

∵是的重心，，分别是，的中点，∴，.

∵，，，分别是，中点，∴，，，

则在中，，∴.

所以三棱锥的体积.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及三棱锥的体积的计算，属于中档题.

20．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足，求的面积.

【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）

【解析】

【分析】

（1）设动点的坐标为表示出化简可得.
（2）根据对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，即可求出直线的方程，易知垂直于直线，且.设的中点为，则，计算可得，，的值，即可求出的面积.

【详解】

（1）设动点的坐标为，则.

整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.

（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得，故直线的方程为.

易知垂直于直线，且.

设的中点为，则

，又，.

∴，，∴，.

易知，故到的距离等于，∴.

【点睛】

本题考查求动点的轨迹方程，以及直线与圆的综合问题，属于中档题.

21．已知函数，是的导函数，且.

（1）求的值，并证明在处取得极值；

（2）证明：在区间有唯一零点.

【答案】（1），证明见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，根据求出的值，再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性，计算出极值点.

（2）根据，由零点存在性定理可知函数在区间有零点，再证明零点的唯一性即可.

【详解】

解：（1），令，得，∴.

∴，.

当时，，，故是区间上的增函数.

当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，∴，即在区间上，，因此是区间上的减函数.综上所述，在处取得极大值.

（2）由（1），∵（当且仅当时，.）

，∴在区间至少有一个零点.

以下讨论在区间上函数值的变化情况：

由（1），令，则，

令，在上，解得，.

①当时，在区间，，递减，；在，，

递增，.故存在唯一实数，使，即.在

上，，递减，；在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，.故在上有唯一零点.

②对任意正整数，在区间，，递减，，

在区间，，递增，，故存在唯一实数，使，即，在上，因，故，递减，在上，因，故，递增，，，∴，

∴在区间即有唯一零点.

综上，在区间有唯一零点.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性极值与函数零点问题，属于综合题，难度比较大.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：.

【答案】（1），开口向右，焦点为的抛物线；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据代入消元法得曲线的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；

（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得，同理可得，最后根据倾斜角关系证结论.

【详解】

由，得，代入，得，即，

∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线.

（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数），

与联立得，

设方程的两个解为，，则，

∴，

则，

∴.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

23．已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值.

【答案】（1）；（2）1或2.

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果；

（2）先根据与大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数.

【详解】

（1），得，

即，∴的取值范围是;

（2）当时，函数在区间上单调递增，

则，得，，得，

当时，，

则，得，

，得.

综上所述，的值为1或2.

【点睛】

本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.