广东省罗定第二中学2020届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 Word版含解析

2019—2020学年高三上数学（文科）期末教学质量检测卷（word版有答案）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，为虚数单位，且，则

A．   B．    C．   D．

2．设集合，，则

A．        B．    C．        D．

3．已知函数，若，则实数

A．           B．             C．2             D．9

4．命题：数列既是等差数列又是等比数列，命题：数列是常数列，则是的

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

  C．充分必要条件     D．既不充分又不必要条件

5．函数             的图象如图所示，则下列结论成立的是

A．，         B．，

C．，         D．，

6．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟的运动员人数为

A．4            B．2           C．5            D．3

7．若，则

A．           B．         C．           D．

8．设实数满足，则的最大值和最小值分别为

A．，          B．，        C．，        D．，

9．在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为

A．          B．         C．5            D．10

10．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，

则下列结论中不正确的是

A．                   B．    

C．平面平面        D．

11．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为

 A． B． C． D．

12．已知的内角，，所对的边分别是，且，，若边上的中线，则的外接圆面积为

A．             B．          C．           D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在点处的切线方程为_________________．

14．已知函数()的一条对称轴为，则的值是         ．

15．数列满足，，则=_________．

16．已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，

则的重心坐标为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．(本小题满分12分)

已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，．若，求的值.

18．(本小题满分12分)

    如图，四棱锥中，⊥底面，

，，，

为线段上一点，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求四面体的体积．

19．(本小题满分12分)

某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数，且表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：

    332   714   340   945   593   468   491   272   073   445

992   772   951   431   169   332   435   027   898   719

（1）求出的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.

经研究表明：从2011年开始至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回归，求回归直线，并计算如果该地区2020年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到）

20．(本小题满分12分)

    已知函数（）.

（1）当a>0时，求函数的单调区间；

（2）若，，求证：当时，.

21．(本小题满分12分)

已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点.

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程

已知动点，都在曲线： 上，且对应参数值分别为与（），点为的中点.

（1）求点的轨迹的参数方程（用作参数）；

（2）将点到坐标原点的距离表示为的函数，并判断点的轨迹是否过坐标原点.

23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲

   设函数=.

（1）证明：2；     （2）若，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．；   14．－；  15．；   16．．

1．因，根据复数相等的条件可知，。

2．∵，，∴．

3．∵，∴．于是，

4．显然只能是非零常数列才是等比数列，故必要性不成立．

5．∵的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，∴，故，又函数图象间断的横坐标为正，∴，故．

6．第一组，第二组，

第三组，第四组，

第五组，第六组，

第七组，故成绩小于139分钟恰好有2组，故有2人．

7．分子分母同除得：∴，

8．如图先画出不等式表示的平面区域，易知当，时，取得最大值2，当时，取得最小值－2．

9．因为，所以，

所以平行四边形ABCD是矩形，所以面积为.

10．选项A、C正确，∵平面，而在平面内，所以．因为为正方形，所以，而与相交，所以平面，所以，平面平面；选项B正确，因为， ，、相交于点，所以平面，所以．

11．双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，

又∵，∴，将（－2，－1）代入得，

∴，即．

12．由可得，

在中，①

在中，②

由①②及可得③

在中，，即④

由③④可得，所以外接圆，即，故所求圆的面积为．  

13．∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：。

14. 由题意可得，所以，又，

得．

15．将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以．

16．设，，，则，得   ，同理，，故有，且，，，，，，则的重心为。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．解： （1）设等差数列的公差为．因为，所以．…………2分

又因为，所以，故．             ………………4分

所以．                       …………6分

（2）设等比数列的公比为．因为，，

所以，．所以．                    …………9分

由得．                                     …………11分

所以的值为．                                             …………12分

18．解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.              …………2分

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，…………4分

于是.因为平面，平面，

所以平面.                                     …………6分

（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．                                                 …………8分

取的中点，连结.由得，.                               

由得到的距离为，                    ……10分

故.…………11分

所以四面体的体积  ……12分

19．解：（1）依题意可知：，                                 …………2分

      当时表示该地区下雨，当时表示该地区不下雨，故在随机数表中可得：表示3天中恰有2天下雨的是：714, 945, 593, 491, 272, 073, 951, 027，共有8个，故3天中恰有2天下雨的概率为：。所以所求的概率为。       …………6分

（2），，

，，故，…………8分

                                            …………9分

故回归方程为：。                            …………10分

当时，。                                      …………11分

故回归方程为，如果2020年该地区清明节有降雨的话，降雨量也为。                                                    …………12分

20．解：(1) 的定义域为，   …………2分

      当时，，，单调递减，     …………4分

，，单调递增，

综上所述，时，在上单调递减，在上单调递增   ………6分

（2），故，时，，   …………8分

令，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，

故在上的最小值为，，………10分

即，，，

。                                           …………12分

21．解：（1）依条件，

所以椭圆C的标准方程为                              …………3分

（2）设，，，又设中点为

（i）因为，所以直线的方程为：      …………4分

，                         …………5分

所以，                      …………6分

于是，

所以。                                   ………………7分

因为，所以，，三点共线

即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）                        …………8分

（ii），  ……9分

所以，令（）

则（当且仅当时取“”）  ……11分

所以当最小时，即或，

此时点T的坐标为或。                                ……12分

22．(本小题满分10分)

解：（1）由题意有       …………2分

因此，                         …………4分

的轨迹的参数方程为（）      …………5分

（2）点到坐标原点的距离：

…………6分

     …………7分

（）        …………9分

当时，，故的轨迹过坐标原点．                  …………10分

23．(本小题满分10分)

解（1）由，有．………4分

     所以≥2.                                              ………5分

（2）.                                     

当时＞3时，=，由＜5得3＜＜．      …………7分

当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．   …………9分

 综上，的取值范围是（，）．                    …………10分