2020届广东省佛山市高三教学质量检测（一）数学（理）科试题（解析版）

2020年1月2日高中数学作业

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数除法法则化简复数为代数形式，再根据复数几何意义确定选项.

【详解】

，在复平面内对应的点为，位于第一象限.

故选：A

【点睛】

本题考查复数除法法则即有复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式得集合A，解含绝对值不等式得集合B，再根据交集定义得结果.

【详解】

，或，所以

故选：D

【点睛】

本题考查解一元二次不等式、解含绝对值不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

举反例说明A,B,D错误，再根据单调性证明C成立.

【详解】

当时；

当时；

当时；

因为函数在上单调递增，且，所以，即，即.

故选：C

【点睛】

本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题.

4．函数的图像向左平移一个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求与关于轴对称函数解析式，再根据向右平移一个单位长度得结果.

【详解】

将的图象关于轴对称，得，再将其向右平移一个单位长度，再将其向右平移一个单位长度，得.

故选：A

【点睛】

本题考查根据函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.

【详解】

设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为

所以落在黑色区域的概率为.

故选：B

【点睛】

本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列通项公式，最后逐一验证得结果.

【详解】

，∴，，∴，∴，，，，，，，令 ，则，当时，，

可知当时，取得最大值

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根据两角和正切公式求结果.

【详解】

∵为锐角，，∴，

则，

∴.

故选：D

【点睛】

本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据双曲线性质得，再根据渐近线求得，即得双曲线的方程.

【详解】

由图可知，，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（    ）

A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值

B．10年来全球新增装机容量连年攀升

C．10年来中国新增装机容量平均超过

D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

【答案】D

【解析】

【分析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．已知函数，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先构造函数，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【详解】

∵，

所以函数关于点对称，

，

∴函数单调递增.

设，则为奇函数且单调递增，

由，得，

∴，

∴，，

解得或.

故选：B

【点睛】

本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.

11．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确.

【详解】

∵，

∴是奇函数，①正确；

的周期，，的周期，，

∵，

所以不是周期函数，②错误；

令，得，

∴，，或，，

解得，或，

又，或或，③正确；

当时，，，

当时，，，

∵，

即与不可能同时取得最大值1，故④错误.

故选：B

【点睛】

本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题.

12．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设,根据勾股定理得,即得面积函数关系式,再根据导数求其单调性,最后根据单调性球最值.

【详解】

如图，不妨取点为点，设，，，

不妨设，则，

即，整理得：，

∴，又∵，所以，

解得.设的面积为，

则，

设，，则，

可知函数在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以，

∴，

∴.

故选：C

【点睛】

本题考查利用函数单调性求最值以及列函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、填空题

13．从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有           种.（用数字作答）

【答案】60

【解析】

分三步：第一步，一等奖有种可能的结果；第二步，二等奖有种可能的结果；第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果.

【考点定位】组合问题

14．在中，，，是边的垂直平分线上一点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

取中点，利用垂直关系转化所求数量积为，再利用基底表示得结果.

【详解】

取中点，连接，则，，

所以

.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同，则这条切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据导数几何意义列方程组，消得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

，

设切点的横坐标为，则根据题意可得，

得，，

设，则单调递增，又，

所以方程有唯一解，

所以切点为，切线斜率，切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数几何意义以及利用导数求方程的解，考查综合分析求解能力，属中档题.

16．在平面直角坐标系中，对曲线上任意一点，到直线的距离与该点到点的距离之和等于2，则曲线与轴的交点坐标是______；设点，则的最小值为______.

【答案】       

【解析】

【分析】

先根据条件列方程，再令解得与轴的交点坐标；根据绝对值定义化简讨论方程，再根据抛物线定义求最值.

【详解】

设，则根据题意可得，

令，得，，

所以曲线与轴的交点坐标是，

当时，，得：，

即点到点的距离与点到直线的距离相等，

所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

如图（1），，

当时，，得，

即点到点的距离与点到直线的距离相等，

所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

如图（2），，

综上可知，的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查轨迹方程以及利用抛物线定义求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、解答题

17．绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立.

（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

【答案】（1）多10000元；（2）定价为13元

【解析】

【分析】

（1）先根据概率分布求数学期望，再比较两个期望大小得结果；

（2）先根据概率分布求数学期望函数关系式，再根据二次函数性质求最值.

【详解】

（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：

元，则500个游客的平均利润为5000元；

当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为0.2，

设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：

元，则500个游客的平均利润为15000元；

该项目每天的平均利润比调整前多10000元.

（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，

不被带走的可能性为，

设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：

，

当时，有最大值3.45元，

即当定价为13元时，日平均利润为17250元.

【点睛】

本题考查概率分布、数学期望以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

18．在中，内角，，的对边分别为，，.已知.

（1）求；

（2）是线段上的点，若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先由正弦定理，化边为角，解得；

（2）设，则，，利用正弦定理得，解得，再根据三角形面积公式求结果.

【详解】

（1）由正弦定理，得.

则有，化简得：.

即，∵，则.

（2）设，，

由题意得：，，，.

在中，，则.

∴，得.

结合，可得，.

则.

∴.

解法二：如图，在线段上取点，使得，连接，则，

在中，，即，，

在中，，即，，

而，由∴，∴.

此时，，

，

.

解法三：由，得，整理得①，

又由余弦定理可得②，

①－②，得：，，∴.

∴.

【点睛】

本题考查正弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

19．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.

【答案】（1）；（2）4或

【解析】

【分析】

（1）先根据离心率以及点在椭圆上，列方程组解得结果；

（2）先求直线的方程，再求点坐标，根据得点坐标，代入的方程，解得，最后代入点坐标，求得结果.

【详解】

（1）由题意得，，结合，

解得，，，

故所求椭圆的方程为.

（2）易知定直线的方程为.

联立，整理得，解得，

无妨令点的坐标为.

∵，由对称性可知，点为的中点，

故，

又在直线：上，

故，

解得，，

故点的坐标为或，

所以或，

所以的长度为4或.

【点睛】

本题考查椭圆方程以及椭圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题.

20．如图，三棱锥中，平面平面，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据三角形重心性质可得，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，平面，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；

（2）先根据面面垂直性质定理得平面，确定与平面所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角.

【详解】

（1）连接，连接并延长交于点，则点为的中点，

从而点，，分别是棱，，的中点，

∴，.

又，平面，，平面，

∴平面，平面.

又，平面，，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）连接，∵，是的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，平面.

连接并延长交于点，则为的中点，

连接，则，∴平面.

∴为与平面所成的角，即.

在中，设，则，，∴，.

∴，，，

∴，即，

如图建立空间直角坐标系，

则，，.

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，可取，

又平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题.

21．已知函数，.

（1）求的最小值；

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值；

（2）先构造函数，再求导数，转化研究，利用导数可得，最后利用放缩得单调递增，根据单调性证得结果.

【详解】

（1），令，得，

故在区间上，的唯一零点是，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在区间上，的极小值为，

当时，，

所以，的最小值为.

（2）要证：时，，即证时，.

，

令，则，即是上的增函数，

∴，即，

∴

，

∴.

即是上的增函数，，

故当时，.

【点睛】

本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属较难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：.

【答案】（1），开口向右，焦点为的抛物线；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据代入消元法得曲线的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；

（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得，同理可得，最后根据倾斜角关系证结论.

【详解】

由，得，代入，得，即，

∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线.

（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数），

与联立得，

设方程的两个解为，，则，

∴，

则，

∴.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

23．已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值.

【答案】（1）；（2）1或2.

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果；

（2）先根据与大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数.

【详解】

（1），得，

即，∴的取值范围是;

（2）当时，函数在区间上单调递增，

则，得，，得，

当时，，

则，得，

，得.

综上所述，的值为1或2.

【点睛】

本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.