2020届广东省佛山市顺德区高三第三次教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届广东省佛山市顺德区高三第三次教学质量检测数学（理）试题


一、单选题
1．在复平面内表示复数（1﹣i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】B
【解析】把复数化为代形式，然后得出对应点坐标，由点在第二象限得出结论．
【详解】
，对应点为，
由题意，解得．
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．
2．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据零点存在性定理，分析当时，，从而判断，计算即可求解.
【详解】
因为函数在区间上是单调递增，
函数的零点在区间（0，1]上，当时，，此时，可得
根据零点存在性定理，
因此，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用，属于中等题型.
3．设x1，x2，…，xn为样本数据，令f（x）（xi﹣x）2，则f（x）的最小值点为（ ）
A．样本众数 B．样本中位数 C．样本标准差 D．样本平均数
【答案】D
【解析】把函数整理成二次函数的一般形式，然后由二次函数性质求解．
【详解】
由题意，
取得最小值时，．
故选：D.
【点睛】
本题考查样本平均数的概念，掌握样本平均数的表示是解题关键．
4．在直角坐标系xOy中，动点A在抛物线y2＝x上，点P满足2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
【答案】B
【解析】设，，用表示出，并把代入抛物线方程可得．
【详解】
设，，
∵，∴，即，解得，而在已知抛物线上，
∴，即，整理得．
故选：B.
【点睛】
本题考查求轨迹方程，解题方法是动点转移法（或叫代入法）．
5．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，计算出和，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为.
【详解】
记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，
则，，
因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
6．设正数m，n满足1，则m+n的最小值为（ ）
A．26 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【解析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】
∵正数m，n满足1，
则，当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为25.
故选：B.
【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，解题关键是“1”的代换，凑配出积为定值．
7．已知函数f（x）＝（x﹣3）2﹣1，则平面图形D内的点（m，n）满足条件：f（m）+f（n）＜0，且f（m）﹣f（n）＞0，则D的面积为（ ）
A．π B．3 C． D．1
【答案】A
【解析】由和确定所在区域，然后计算区域面积．
【详解】
，即，该不等式表示的平面区域是以为半径，为半径的圆内部分（不含边界），如图所示，
又，画出其对应区域，如图，直线与互相垂直，且交点刚好是圆心，∴满足条件 的点所形成的区域为图中阴影部分，其面积为．
故选：A.

【点睛】
本题考查二元二次不等式组表示的平面区域，解题时可分别研究两个不等式表示的平面区域，再考虑它们的交集．
8．设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算与OE的距离，计算，即可。
【详解】
结合题意，绘制图形

结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得
，解得，故选B。
【点睛】
本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大。

二、多选题
9．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则（ ）
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．在α内存在直线与直线AB平行
D．存在过直线AB的平面与α垂直
E.存在过直线AB的平面与α平行
【答案】AD
【解析】根据两直线的位置关系和直线与平面的位置关系判断．
【详解】
A，B是不在α内的任意两点，则直线与平面相交或平行．
如果与平面相交，则内不过交点的直线与异面，但没有直线与平行，
如果与平面平行，则在内存在直线与平行，而在内与相交的直线与异面，但内不存在直线与相交，
由上知A正确，BC均错，
不论与平面是平行还是相交，过作平面的垂线，则这条垂线与直线所在平面与垂直，（如果垂线与重合，则过的任意平面都与垂直）,D正确，
显然直线与平面相交时，过的任意平面都与相交，不平行，E错．
故选：AD．
【点睛】
本题考查空间两直线的位置关系和直线与平行的位置关系．掌握空间直线与直线的位置关系和直线与平面的位置关系是解题关键．
10．对任意A，BR，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，BR且A⊕B＝B，则A＝
B．若A，BR且A⊕B＝，则A＝B
C．若A，BR且A⊕BA，则AB
D．存在A，BR，使得A⊕B＝⊕
E.存在A，BR，使得
【答案】ABD
【解析】根据新定义判断．
【详解】
根据定义，
A.若，则，，，，∴，A正确；
B.若，则，，，B正确；
C. 若，则，，则，C错；
D.时，，，D正确；
E.由定义，，E错．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．


三、填空题
11．设f（x）＝ln为奇函数，则a＝_____.
【答案】2.
【解析】由求得，然后再检验是奇函数即可．
【详解】
由题意，，
时，，就奇函数．
故答案为：2.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．注意是函数为奇函数的必要条件，不是充要条件．因此由求出参数值后需要验证．
12．若等比数列{an}满足a1，a2a3＝2，则a7＝_____.
【答案】32.
【解析】求出公比后可得，
【详解】
设数列的公比为，则，，
∴．
故答案为：32.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，解题方法是基本量法．
13．已知tanα，则_____；cos2α＝_____.
【答案】3﹣2 .
【解析】是关于的一次齐次式，分子分母同除以化为的式子即可求值，应用二倍角公式变形后可化为关于的二次齐次式，再同理计算．
【详解】
∵，
∴，
．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．遇到关于的齐次式时，通常转化为后再变形求值．
14．设△ABC中AC＝1，AB＝2，∠CAB＝60°，，，，则•••_____.
【答案】﹣4.
【解析】由余弦定理解三角形，然后可求出的的所有元素，然后再根据数量积的定义计算．
【详解】
由余弦定理得，，∵，∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，考查余弦定理解三角形，掌握数量积的定义是解题关键．
15．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是____．
【答案】16
【解析】有10个足球队进行循环赛，胜队得2分，负队得0分，平局的两队各得1分，即每场产生2分，每个队需要进行10-1=9场比赛，则全胜的队得18分，而最后五队之间赛5×（5-1）÷2=10场至少共得20分，所以第二名的队得分至少为分．
【详解】
每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为（分）．
故答案为16.
【点睛】
完成本题主要求出最后五队之间赛的场次以及至少共得的分数，然后抓住了“第二名的得分是最后五名所得总分和的”这个关健点进行分析的．

四、解答题
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin（A+B）＝csin.
（1）求A；
（2）求sinBsinC的取值范围；
（3）若△ABC的面积为，周长为8，求a.
【答案】（1）A（2）（0，）（3）a
【解析】（1）用诱导公式和正弦定理化边为角，然后再由二倍角公式变形后可求得；
（2）由（1）可得，，把化为的函数，由三角函数恒等变换化为一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得取值范围；
（3）由三角形面积可求得，由周长及余弦定理得的三个等式，消去可解得．
【详解】
（1）△ABC中，asin（A+B）＝csin，
∴asin（π﹣C）＝csin（），
∴asinC＝ccos，由正弦定理得sinAsinC＝sinCcos，
∴sinA＝cos，即2sincoscos；
又A∈（0，π），
∴cos0，
∴2sin1，即sin，
∴，
解得A；
（2）∵sinBsinC＝sinBsin（B）sinBcosBsin2Bsin2Bcos2Bsin（2B），
又∵B∈（0，），
∴2B∈（，），sin（2B）∈（，1]，
∴sinBsinC∈（0，）.
（3）△ABC的面积为，周长为8，
∴bcsinAbc，
∴bc＝4，…①
a+b+c＝8，…②
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣bc，…③
由①②③组成方程组，可得：，
可得：（8﹣a）2＝a2+12，
解得：a.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式，两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质．掌握正弦（余弦）定理及正弦函数性质是解题关键．
17．已知是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，是底面圆周上一点，，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）求与底面所成的角；
（2）求该几何体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设O为BD的中点，连接CO，AO，则∠ACO为AC与底面所成的角，根据几何法，即可求解；
（2）该几何体可看作是半个圆锥和三棱锥组合而成，可分别计算体积，再求和；
（3）取DC的中点E，连接OE，AE，则有OE⊥CD，且AE⊥CD，则∠AEO为二面角的平面角，根据几何法，即可求解二面角.
【详解】
（1）设O为BD的中点，连接CO，AO，
则∠ACO为AC与底面所成的角，
由AC＝BD＝AD＝AB＝2，所以三角形ABD为正三角形，AO，
有CO＝1，所以，
∠ACO＝60°，AC与底面所成的角为60°；
（2）由题意∠CBD＝60°，
故，
所以该几何体的体积；
（3）取DC的中点E，连接OE，AE，
因为OC＝OD，所以OE⊥CD，
同理AE⊥CD，
则∠AEO为二面角的平面角，
因为OC＝OB＝BC＝1，
所以正三角形OBC，∠BOC＝60°，∠COD＝120°，∠OCD＝30°，
所以OE，，
所以，
所以二面角的余弦值为

【点睛】
本题考查（1）几何法求线面角（2）组合体体积求法（3）求二面角，考查数形结合思想，考查计算能力，考查空间想象能力，属于中等题型.
18．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：

超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m

（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

K2.
【答案】（1）n＝48；m＝8（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）详见解析
【解析】（1）根据分层抽样方法，计算比例，即可求解；
（2）补全列联表，按照公式计算，根据独立性检验，可得结论；
（3）根据题意，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，计算概率为，符合二项分布，求出分布列，计算期望.
【详解】
（1）根据分层抽样法，抽样比例为，
∴n＝48；
∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；
（2）根据题意完善2×2列联表，如下；

超过1小时
不超过1小时
合计
男生
20
8
28
女生
12
8
20
合计
32
16
48


计算，
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；
（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则X～B（60，），
所以，k＝0，1，2，3，…，60；
.
【点睛】
本题考查（1）分层抽样方法和列联表（2）独立性检验（3）离散型随机变量的分布列和期望，考查计算能力，考查数据分析和整理，属于中等题型.
19．已知椭圆C：1（a＞b＞0），A（﹣a，0），B（0，﹣b），P为C上位于第一象限的动点，PA交y轴于点E，PB交x轴于点F.
（1）探究四边形AEFB的面积是否为定值，说明理由；
（2）当△PEF的面积达到最大值时，求点P的坐标.
【答案】（1）面积为定值，详见解析（2）
【解析】（1）设，写出直线方程求出坐标，计算面积可得定值；
（2）求出到直线的距离，由（1）知面积最大时，面积最大，从而只要最大即可，，由在椭圆上，利用基本不等式可得的最大值，从而得出结论．
【详解】
（1）设P（x0，y0），四边形AEFB的面积为定值，证明如下：
则PA的方程为，可得，故，
同理可得，，
从而四边形AEFB的面积为ab，
所以四边形AEFB的面积为ab.
（2）由题设知直线AB：bx+ay+ab＝0，
点P到AB的距离为d，则，
由（1）可知，当且仅当△ABP的面积最大时，△PEF的面积最大，所以当d取最大值时，△PEF的面积最大，
由于P在C上，故，可得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以点P的坐标为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交中的面积、面积的最大值问题，利用在椭圆上，设然后进行计算求解．采取的是解析几何中的基本方法，考查学生的运算求解能力．
20．对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的不动点.设f（x）＝x3+ax2+bx+3.
（1）当a＝0时，
（i）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，也是f（x）的不动点，求b的值；
（2）是否存在a，b，使得f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为f（x）的不动点？说明理由.
【答案】（1）（i）是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点（ⅱ）b＝﹣3（2）不存在满足题设的a，b；详见解析
【解析】（1）（i）求出导数，由的根确定函数的单调性，从而确定极值点．
（ⅱ）由和结合可解得；
（2）假设存在满足题意，由函数的单调性和不动点定义可得矛盾，说明假设错误．
【详解】
（1）当a＝0时，f（x）＝x3+bx+3，f′（x）＝3x2+b，
（i）①当b≥0，f（x）在R单调递增，无极值点，
②当b＜0时，由f′（x）＝0，得或，
当，f′（x）＞0，故f（x）在，单调递增，
当时，f′（x）＜0，
在单调递减，
所以，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点.
（ⅱ）设x＝x0是f（x）的极值点，则由（i）可知，
又x＝x0是f（x）的不动点，则，
所以b＝﹣3，
（2）不存在满足题设的a，b，
证明如下：
假设存在满足题设的a，b，设x1，x2为f（x）的两个极值点，且为f（x）的不动点，并不妨设x1＜x2，
由于f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以x1，x2为方程3x2+2ax+b＝0的两个根，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，可知f（x）在（x1，x2）上单调递减，故f（x1）＞f（x2），
又x1，x2为f（x）的不动点，所以f（x1）＝x1＜x2＝f（x2），
即f（x1）＜f（x2），矛盾，
所以不存在满足题设的a，b.
【点睛】
本题考查导数与极值，考查函数的新定义问题．时，也不一定是极值点，还需在两侧的符号相反才可确定是极值点．对新定义只要根据题意理解方程的解即可参与求解．
21．设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为n，这些三角形的个数为an.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在1，2，…，100中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率.
附：1+22+32+…+n2；1+23+33+…+n3
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）设x，y，n为满足题意的三角形的边长，不妨设x＜y＜n，则x+y＞n.若，三角形不存在，，时，按奇偶分类，为偶数，最小值为，为偶数，最小值为，然后依次得出的所有可能，从而得三角形的个数，相加后可得；
（2）根据（1）用所给公式求出，而100个数中任取3个的方法数是，由此可计算概率．
【详解】
（1）设x，y，n为满足题意的三角形的边长，不妨设x＜y＜n，则x+y＞n.
由题意知：a1＝a2＝a3＝0，
当n≥4时，且n为偶数时，若y，三角形不存在，
若y，x，
若，x.
…，
若y＝n﹣1，x＝2，3，…，n﹣2，
所以：an＝1+3+…+（n﹣3）.
同理，当n＞4时，且n为奇数时，可得：，
所以数列{an}的通项公式为.
（2）根据求和公式，
＝（12+22+32+…+492）+12+22+…+482+（1+2+3+…+48），
，
.
所求的概率为.
【点睛】
本题考查归纳推理，考查等差数列的前项和，考查公式法求和，考查古典概型．解题中根据三条线段可构成三角形的条件，按边长进行归纳推理，得出三角形个数．