高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课后测评

学业分层测评(二十一)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　 　　　　　　 　　　　　

1．下面关于二分法的叙述中，正确的是    (　　)

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D．只能用二分法求函数的零点

【解析】　用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.

【答案】　B

2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)

A．(1,1.25)   B．(1.25,1.5)

C．(1.5,2)   D．不能确定

【解析】　∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.

【答案】　B

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)

A．1.25   B．1.375 

C．1.42   D．1.5

【解析】　由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.

【答案】　C

4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是(　　)

①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.

A．①②③   B．⑤ 

C．①⑤   D．①④

【解析】　⑤中y＝x2＋4x＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.

【答案】　B

5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4]   B．[－2,1]

C.   D.

【解析】　∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.

【答案】　D

二、填空题

6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．

【解析】　设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．

【答案】　(2,3)

7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.

【导学号：02962022】

【解析】　∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点＝0.25.

∴第二次应计算f(0.25)．

【答案】　(0,0.5)　f(0.25)

8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．

【解析】　第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．

【答案】　1.5,1.75,1.875,1.812 5

三、解答题

9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)

【解】　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．

10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)

【解】　令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，

即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，

所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，

所以原方程的近似正解可取为2.25.

[能力提升]

1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.68　 　 B．0.72　 　

C．0.7　 　 D．0.6

【解析】　已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．

【答案】　C

2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．

【解析】　f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.

【答案】　1.562 5

3．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.                                     

【解析】　∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.

【答案】　a2＝4b

4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

【证明】　∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，

则－b－c>c，即a>c.

∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.

在区间[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．