2020-2021学年3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计

3.1.2用二分法求方程的近似解

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

朝霞般美好的理想，在向你们召唤。你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里!

【学习目标】

1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.

2．让学生初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一.

3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.

【学习重点】

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识

【学习难点】

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解

【自主学习】

1．二分法的定义

(1)满足条件：

①在区间上的图象                     .

②在区间端点的函数值                     .

(2)操作过程：

把波函数的零点所在的区间不断地            ，使区间的两个端点逐步逼近             ，进而得到零点的近似值.

2．二分法的步骤

(1)验证：确定区间，验证                 ，给定精确度.

(2)求中点：求区间的中点.

(3)计算：①若，则                   就是函数的零点；

②若，则令(此时零点                )；

③若，则令(此时零点                ).

(4)判断：若             ，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)～(4).

【预习评价】

1．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是

A.          B.          C.          D.

2．已知，用二分法求方程的近似解时，在下列哪一个区间内至少有一个解

A.(-3，-2)     B.(0，1)     C.(2，3)      D.(-1，0)

3．用二分法求方程在区间[0，1]上的近似解时，经计算，，，，即得到方程的一个近似解为  (精确度为0.1).

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．二分法的定义  图中函数在区间上的零点是否可以用二分法求解？

2．二分法的定义  用二分法求函数的近似零点，采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间？

3．二分法的定义  用二分法求函数的零点时，决定二分法步骤结束的条件是什么？

4．用二分法求方程的近似解

如图为函数，的图象，根据图象回答下列问题：

(1)方程的解与函数与的交点坐标有何关系？

(2)用二分法求方程在区间上的近似解的步骤是什么？

【教师点拨】

1．对二分法定义的两点说明

(1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二，逐步逼近零点的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示函数的零点.

(2)二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.

2．精确度与计算次数即等分区间次数的关系

精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定，若初始区间是，那么经过次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即，其中只取正整数.

3．用二分法求方程近似解的四个关注点

(1)解的近似性：所得的解一般是近似解.

(2)局限性：只能解决一部分函数的零点问题.

(3)精确度问题：精确度决定二分法的步骤次数.

(4)解的不唯一性：在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解，一般取左右端点值.

【交流展示】

1．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是

A.

B.

C.

D.

2．已知的图象是一条连续不断的曲线，且在区间内有唯一零点，用二分法求得一系列含零点的区间，这些区间满足：，若，则的符号为

3．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是(1，5)，精确度是0.1，则对区间(1，5)至多二等分的次数是               .

4．利用计算器或计算机用二分法求方程的一个正值近似解(精确度0.1).

【学习小结】

1．二分法的局限性

(1)二分法一次只能求一个零点.

(2)在内有零点时，未必成立，而这样的零点不能用二分法求解.

(3)二分法计算量较大，常要借助计算器完成.

2．利用二分法求函数零点必须满足的两个条件

(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.

(2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.

3．二分法求方程近似解的三个关注点

(1)有根区间的判断原则：每一次取中点后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间.

(2)知二求一：精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.

(3)列表法：二分法求解过程中，每次取中点求值可以采用列表的方式，使计算步数明确，当区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步.

【当堂检测】

用二分法求方程在(1，2)内近似解的过程中得，，，则方程的根所在的区间为

答案

课前预习 · 预习案

【自主学习】

1．(1)①连续不断　②f(a)·f(b)＜0

(2)－分为二　零点

2．(1)f(a)·f(b)＜0　(3)①c　②(a，c)  ③(c，b)    (4)|a－b|＜ε

【预习评价】

1．C

2．D

3．0.532(答案不唯一)

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．可以.因为该函数y＝f(x)满足二分法求函数零点的两个条件：①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)＜0.

2．可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间.

3．根据二分法的步骤和题目精确度的要求，若出现f(c)＝0，则步骤结束，否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，二分法的步骤结束.

4．(1)方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标.

(2)①构造：令F(x)＝f(x)－g(x)；

②定区间：确定区间[a，b]，使F(a)·F(b)＜0；

③求解：用二分法求F(x)在区间[a，b]上的零点近似值.

【交流展示】

1．B

2．A

3．6

4．近似解可取为2.437 5.过程略

【当堂检测】A