高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析

模块综合测试卷

班级____　姓名____　考号____　分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．－3290°角是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

答案：D

解析：－3290°＝－360°×10＋310°

∵310°是第四象限角

∴－3290°是第四象限角

2．在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的弧长l为(　　)

A.π  B.π

C.π  D．π

答案：A

解析：设该弦AB所对的圆心角为α，由已知R＝1，

∴sin＝＝，∴＝，∴α＝π，∴l＝αR＝π.

3．下列函数中周期为的偶函数是(　　)

A．y＝sin4x

B．y＝cos22x－sin22x

C．y＝tan2x

D．y＝cos2x

答案：B

解析：A中函数的周期T＝＝，是奇函数．B可化为y＝cos4x，其周期为T＝＝，是偶函数．C中T＝，是奇函数，D中T＝＝π，是偶函数．故选B.

4．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　)

A．3  B．－3

C．0  D．2

答案：A

解析：由原式可得解得∴x－y＝3.

5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD是(　　)

A．长方形  B．平行四边形

C．菱形    D．梯形

答案：D

解析：＝＋＋＝－8a－2b＝2，

且||≠||

∴四边形ABCD是梯形．

6．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)

A．[0，]  B．[0,2]

C．[1,2]     D．[，2]

答案：D

解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cosθ，因为θ∈，所以2＋2cosθ∈[2,4]，所以|a＋b|的取值范围是[，2]．

7．已知cosα＝－，且α∈，则tan＝(　　)

A．－  B．7

C.      D．－7

答案：B

解析：∵α∈，cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－，

tan＝＝7.

8．函数f(x)＝2sin的部分图象是(　　)

答案：C

解析：∵f(x)＝2sin，

∴f(π－x)＝2sin＝2sin

＝f(x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝对称．排除A、B、D.

9．y＝2cos的单调减区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案：A

解析：y＝2cos＝2cos.由2kπ≤2x－≤π＋2kπ，(k∈Z)

得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)时，y＝2cos单调递减．故选A.

10．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：因为直线x＝和x＝是函数图象中相邻的两条对称轴，所以－＝，即＝π，T＝2π.又T＝＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线x＝是函数图象的对称轴，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，检验知，此时直线x＝也为对称轴．故选A.

11．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为(　　)

A.－1  B．2－

C.     D．2

答案：C

解析：|a＋b|＝≥.

12．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)

A.   B．－

C.  D．－

答案：C

解析：∵α＋＝－，

∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝＝.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知|a|＝4，a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为__________．

答案：2

解析：由投影公式计算：|a|cos＝2 .

14．函数y＝2sinxcosx－1，x∈R的值域是______．

答案：[－2,0]

解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，

∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．

15．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．

答案：

解析：由f(x)与g(x)的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，则f(x)的最小值为3sin＝－，最大值为3sin＝3，

所以f(x)的取值范围是.

16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)

①若sinx＋siny＝，则siny－cos2x的最大值是

②函数y＝sin的单调增区间是(k∈Z)

③函数f(x)＝是奇函数

④函数y＝tan－的最小正周期是π

答案：①④

解析：①siny－cos2x＝sin2x－sinx－，∴sinx＝－1时，最大值为.

②2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ－≤x≤kπ＋.

③定义域不关于原点对称．

④y＝tan－＝－，∴T＝π.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值．

解：∵tanα＝＝－

∴＝＝tanα＝－.

18．(12分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.

(1)求tanA的值；

(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanA·sinx(x∈R)的值域．

解：(1)∵m·n＝0，

∴sinA－2cosA＝0.

∴tanA＝＝2.

(2)f(x)＝cos2x＋tanAsinx＝cos2x＋2sinx

＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.

∵－1≤sinx≤1

∴sinx＝时，f(x)取最大值，

sinx＝－1时，f(x)取最小值－3，

∴f(x)的值域为.

19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标；

(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

解：(1)设c＝(x，y)．

∵|c|＝2 ，∴＝2 ，即x2＋y2＝20.①

∵c∥a，a＝(1,2)

∵2x－y＝0，即y＝2x，②

联立①②得或

∴c＝(2,4)或(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，

∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，

∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.

∵|a|2＝5，|b|2＝，代入上式得a·b＝－，

∴cosθ＝＝＝－1.

又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝π.

20．(12分)已知函数f(x)＝cos2－sin2x.

(1)求f的值；

(2)若对于任意的x∈，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．

解：(1)f＝cos2－sin2＝cos＝.

(2)f(x)＝－(1－cos2x)

＝

＝＝sin.

因为x∈，所以2x＋∈，

所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.

所以对任意x∈，f(x)≤c等价于≤c.

故当对任意x∈，f(x)≤c时，c的取值范围是.

21．(12分)已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.

(1)求sin2α和tan2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值．

解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.

又2α∈，∴cos2α＝＝，

∴tan2α＝＝.

(2)∵β∈，β－∈，

∴cos＝，

于是sin2＝2sincos＝.

又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.

又2β∈，∴sin2β＝，又cos2α＝＝，

∴cosα＝，∴sinα＝.

∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.

22．(12分)如图，点P是函数y＝Asin(其中A>0，φ∈[0，π))的图象与y轴的交点，点Q，点R是它与x轴的两个交点．

(1)求φ的值；

(2)若PQ⊥PR，求A的值．

解：(1)∵函数经过点P，∴sinφ＝，

又∵φ∈[0，π)，且点P在递增区间上，∴φ＝.

(2)由(1)可知y＝Asin.

令y＝0，得sin＝0，

∴x＋＝kπ，(k∈Z)，∴可得x＝－，，

∴Q，R.

又∵P，∴＝，＝.

∵PQ⊥PR，∴·＝－＋A2＝0，解得A＝.