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2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模试卷
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这是一份2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，将直尺和三角尺按如图的方式折叠放在一起，则在图中标记的角中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），且＝3，则k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则OE的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．3
7．（3分）如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个比3大且比5小的无理数 ．
10．（3分）如果一个正六边形的边心距为，那么它的外接圆半径长为 ．
11．（3分）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC的面积是 ．
12．（3分）若反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 ，线段FH的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算
16．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，请利用尺规作图法，在AD边上找一点E，在BC边上找一点F，使四边形AFCE是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（6分）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
20．（6分）某校为了了解初一年级共480名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93
【整理数据】
成绩（分）班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
41.1
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ ，b＝ ；
（2）若规定测试成绩在90分（含90分）以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级480名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
21．（6分）紫云楼是大唐芙蓉园的标志性建筑，也是大唐芙蓉园最有历史价值的皇家宫殿．小强所在的“综合与实践”小组开展了测量“紫云楼（如图）高度”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．为了减小误差，测量两点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量结果如表．
课题
测量紫云楼的高度
测量工具
平面镜，皮尺等
测量示意图
说明：如图，小强先在地面上A处放置了一块平面镜，然后从A点向后退了一段距离至B处，他的眼睛F恰好看到了镜中紫云楼最高点E的像；再将平面镜向后移动一段距离放在C处，小强从C点后退一段距离至D处，眼睛G恰好又看到了紫云楼最高点E的像，已知小强眼睛距地面的高度FB＝CD，且FB⊥OD，GD⊥OD，OE⊥OD，点O，A，B，C，D在同一条直线上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
A、C之间的距离
13.2米
12.8米
13米
C、D之间的距离
1.6米
1.4米
1.5米
A、B之间的距离
0.95米
1.05米
1米
已知数据
小强眼睛距地面的高度（FB、GD）
1.5米
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出紫云楼的高度OE．（平面镜的大小忽略不计）
22．（6分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．
（1）求用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数表达式；
（2）小强准备租某本名著30天，选择哪种租书方式比较合算？
23．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为 ；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，作∠ACB的平分线，交BD于点F．
（1）求证：∠OAD＝∠DBC；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
25．（9分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，点A是⊙O外一点，点B在⊙O上运动，OA＝4，OB＝2，则AB的最小值是 ．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，求PD+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某湿地公园的鸟瞰图，其中∠DCB＝∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，BC＝4千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊BMN，扇形BMN以BM长为半径，BM＝BC，为湖岸，其余部分为滩地．为了便于游客观赏，公园管理方现计划在景区中确定两点P、Q，建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ，根据规划，点P在AC右侧且满足∠APC＝120°，点Q在上，已知建玻璃栈道PQ每千米的造价是2万元，建观赏小路CQ每千米的造价是1万元，求建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需多少费用？（玻璃栈道以及观赏小路的宽度忽略不计）
2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模
（参考答案）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【解答】解：的相反数是．
故选：D．
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
3．（3分）如图，将直尺和三角尺按如图的方式折叠放在一起，则在图中标记的角中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠3；
∵∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，
∴与∠1互余的角有：∠2，∠3，∠4，一共3个．
故选：C．
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
【解答】解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4．
故选：D．
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），且＝3，则k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），
∴n＝km，
又∵＝3，
∴k＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则OE的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，
∴OD＝OA＝2，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
故选：B．
7．（3分）如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【解答】解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．
∵点A是的中点，
∴AT⊥BC，
∵tan∠ACT＝＝2，
∴设CT＝k，AT＝2k，
在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，
∴（）2＝k2+（2k）2，
∴k＝1，
∵AT⊥BC，AT过圆心O，
∴BC＝2CT＝2，
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x+c＝﹣（x﹣）2++c，c＜0，
∴该函数图象开口向下，当x＝时，该函数取得最大值+c，当x＝0时，y＝c，
∴该函数与y轴的交点为（0，c），在y轴的负半轴，
∴点（1，c）在该函数图象上，在x轴下方，
∵当自变量为x1时，其函数值y1大于零，
∴0＜x1＜1，
∴x1﹣1＜0，x1+1＞1，
∵当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，
∴y2＜0，y3＜0，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个比3大且比5小的无理数 （答案不唯一） ．
【解答】解：比3大且比5小的无理数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（3分）如果一个正六边形的边心距为，那么它的外接圆半径长为 2 ．
【解答】解：如图，正六边形的中心角∠AOB＝360°÷6＝60°，OH⊥AB，
∵OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∵OH＝，OH⊥AB，
∴∠AOH＝BOH＝30°，AH＝BH＝OH•tan30°＝1，
∴AB＝2，
∴此正六边形的外接圆的半径为2．
故答案为：2．
11．（3分）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC的面积是 2 ．
【解答】解：S△ABC＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2，
故答案为：2．
12．（3分）若反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，则k的取值范围是 k＞3 ．
【解答】解：由正比例函数y＝x可知直线过一、三象限，
∵反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，
∴反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）位于一、三象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故答案为：k＞3．
13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 61 ．
【解答】解：∵第1个图案三角形的个数为：4，
第2个图案三角形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图案三角形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
...，
∴第n个图案需要三角形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第20个图案中三角形的个数为：3×20+1＝61（个）．
故答案为：61．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 2 ，线段FH的最小值是 10﹣2 ．
【解答】解：连接CA、CF、AF，
因为∠BCA＝∠ECF，
所以∠BCE＝∠ACF，
在等腰△ABC和等腰△ECF中，
，
所以，
所以△BCE∽△ACF，
所以，
因为BE＝2，
所以AF＝2，
所以F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、H、F三点共线时，FH最小，
所以FH＝AH﹣2，
在Rt△ADH中，AD＝8，DH＝6，
所以AH＝10，
所以FH最小值为10﹣2，
故答案为：2，10﹣2．
三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算
【解答】解：原式＝3×（﹣）+﹣1+3﹣1
＝﹣3+﹣1+3﹣1
＝﹣2+1．
16．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
﹣11x≥11，
x≤﹣1，
在数轴上表示不等式的解集为：．
17．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：
＝
＝，
∵a（a+1）≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0，±1，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝2．
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，请利用尺规作图法，在AD边上找一点E，在BC边上找一点F，使四边形AFCE是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点E和点F即为所求．
19．（6分）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ∠C＝∠E ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，∠A＝∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C＝∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC＝∠ADE，或∠EBC＝∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC＝AE，或BE＝DC，
综上所述，可以添加的条件为∠C＝∠E（或∠ABC＝∠ADE或∠EBC＝∠CDE或AC＝AE或BE＝DC）；
故答案为：∠C＝∠E；
（2）选∠C＝∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
20．（6分）某校为了了解初一年级共480名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93
【整理数据】
成绩（分）班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
41.1
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 ，b＝ 91 ；
（2）若规定测试成绩在90分（含90分）以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级480名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【解答】解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则a＝100分；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
480×＝256（人），
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
21．（6分）紫云楼是大唐芙蓉园的标志性建筑，也是大唐芙蓉园最有历史价值的皇家宫殿．小强所在的“综合与实践”小组开展了测量“紫云楼（如图）高度”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．为了减小误差，测量两点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量结果如表．
课题
测量紫云楼的高度
测量工具
平面镜，皮尺等
测量示意图
说明：如图，小强先在地面上A处放置了一块平面镜，然后从A点向后退了一段距离至B处，他的眼睛F恰好看到了镜中紫云楼最高点E的像；再将平面镜向后移动一段距离放在C处，小强从C点后退一段距离至D处，眼睛G恰好又看到了紫云楼最高点E的像，已知小强眼睛距地面的高度FB＝CD，且FB⊥OD，GD⊥OD，OE⊥OD，点O，A，B，C，D在同一条直线上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
A、C之间的距离
13.2米
12.8米
13米
C、D之间的距离
1.6米
1.4米
1.5米
A、B之间的距离
0.95米
1.05米
1米
已知数据
小强眼睛距地面的高度（FB、GD）
1.5米
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出紫云楼的高度OE．（平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：由题意可得，AB＝1m，AC＝13m，CD＝1.5m，GD＝FB＝1.5m，
设OA＝xm，则OC＝（x+13）m，
根据入射角等于反射角可得△AOE∽△ABF，
∴，
即，
∴OE＝1.5x，
又△DCG∽△OCE，
∴，
即，
解得x＝26，
∴OA＝26，OE＝1.5x＝39（m）．
答：紫云楼的高度是39m．
22．（6分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．
（1）求用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数表达式；
（2）小强准备租某本名著30天，选择哪种租书方式比较合算？
【解答】解：（1）设直线l1对应的函数解析式为y＝kx，
200k＝60，
解得k＝0.3，
即直线l1对应的函数解析式为y＝0.3x，
设直线l2对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线l2对应的函数解析式为y＝0.2x+20，
由上可得，用租书卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y＝0.3x，用会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y＝0.2x+20；
（2）当x＝30时，租书卡的租金为0.3×30＝9（元），会员卡的租金为0.2×30+20＝26（元），
∵9＜26，
∴小强准备租某本名著30天，选择租书卡租书方式比较合算．
23．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为 ；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．
【解答】解：（1）转动该转盘一次，指针指向的数字为偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：
由树状图可得，所有结果有25种，并且每种结果发生的可能性都相等，其中两次指针指向的数字和为偶数的结果有13种．
将“两次指针指向的数字和为偶数的事件记为A”，则．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，作∠ACB的平分线，交BD于点F．
（1）求证：∠OAD＝∠DBC；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵∠AMB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，即点A、O、B三点共线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠OAD＝∠DBC；
（2）解：∵点M是的中点，
∴＝，
∴AM＝BM，
∵∠AMB＝90°，
∴∠MBA＝∠MAB＝45°，
∵∠MBD＝105°，
∴∠ABD＝∠MBD﹣∠MBA＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∵AB＝2AO＝6，
∴BD＝AB＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BDC中，CD＝＝＝，
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠ACB＝30°，
∴DF＝CD•tan30°＝×＝1，
∴DF的长为1．
25．（9分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c
得，
∴，
∴y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
（2）由题意得L'的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
令（x﹣3）2﹣4＝0，
∴x1＝1，x2＝5，
∴D（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴，
∴15S△BDQ＝4S△ABC，
∴S△BDQ＝4，
∵BD＝5﹣1＝4，
∴Q到BD的距离为2，
当yQ＝2时，（x﹣3）2﹣4＝2，
，
∴，
当yQ＝﹣2时，（x﹣3）2﹣4＝﹣2，
，
∴，
综上所述：Q的坐标为，，，
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，点A是⊙O外一点，点B在⊙O上运动，OA＝4，OB＝2，则AB的最小值是 2 ．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，求PD+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某湿地公园的鸟瞰图，其中∠DCB＝∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，BC＝4千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊BMN，扇形BMN以BM长为半径，BM＝BC，为湖岸，其余部分为滩地．为了便于游客观赏，公园管理方现计划在景区中确定两点P、Q，建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ，根据规划，点P在AC右侧且满足∠APC＝120°，点Q在上，已知建玻璃栈道PQ每千米的造价是2万元，建观赏小路CQ每千米的造价是1万元，求建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需多少费用？（玻璃栈道以及观赏小路的宽度忽略不计）
【解答】解：（1）由图可知，OA﹣OB≤AB≤OA+OB，当点O，A，B三点共线时，AB有最小值，
∵OA＝4，OB＝2，
∴AB的最小值为4﹣2＝2．
故答案为：2．
（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG，DG，
∵＝＝2，＝＝2，
∴，∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，
最小值为DG＝5；
（3）如图3，在BC上截取点E，使得BE＝千米，连接EQ、BQ，
∵∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，
∴∠ACD＝30°，∠CAD＝60°，
延长AD至点F，使DF＝AD，连接CF，则△ACF是等边三角形，作△ACF的外接圆⊙O，连接OA，由等边三角形的性质可知，点O在CD上，点P在劣弧AC上运动，在劣弧AC上任取一点P，连接AP，CP，则∠APC＝∠AOC＝120°．
∵BM＝BC，BC＝4千米，点Q在上，
∴BQ＝2千米，
∵∠QBE＝∠CBQ，＝2，
∴△QBE∽△CBQ，
∴＝2，即CQ＝2QE，
建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ所需总费用＝2PQ+CQ＝2PQ+2QE＝2（PQ+QE）（万元），
∴当P、Q、E在﹣条直线上时，PQ+QE最小，即此时所需费用最少．
连接OP、OE，OE交⊙O，于P'，交于Q'，
在△POE中，PO+EP≥OE＝OP′+EP'，
∴EP≥EP'，
∴当点Q与Q'重合时，PQ+QE的最小值为EP的值．
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠OAD＝30°，
在Rt△OAD中，AD＝千米，
∴OA＝OC＝OP′＝2（千米），
∵CE＝BC﹣BE＝3千米，
∴OE＝＝（千米），
∴EP′＝OE﹣OP′＝（﹣2）（千米），
∴建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需要总费用为（2﹣4）万元．
2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，将直尺和三角尺按如图的方式折叠放在一起，则在图中标记的角中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），且＝3，则k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则OE的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．3
7．（3分）如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个比3大且比5小的无理数 ．
10．（3分）如果一个正六边形的边心距为，那么它的外接圆半径长为 ．
11．（3分）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC的面积是 ．
12．（3分）若反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 ，线段FH的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算
16．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，请利用尺规作图法，在AD边上找一点E，在BC边上找一点F，使四边形AFCE是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（6分）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
20．（6分）某校为了了解初一年级共480名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93
【整理数据】
成绩（分）班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
41.1
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ ，b＝ ；
（2）若规定测试成绩在90分（含90分）以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级480名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
21．（6分）紫云楼是大唐芙蓉园的标志性建筑，也是大唐芙蓉园最有历史价值的皇家宫殿．小强所在的“综合与实践”小组开展了测量“紫云楼（如图）高度”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．为了减小误差，测量两点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量结果如表．
课题
测量紫云楼的高度
测量工具
平面镜，皮尺等
测量示意图
说明：如图，小强先在地面上A处放置了一块平面镜，然后从A点向后退了一段距离至B处，他的眼睛F恰好看到了镜中紫云楼最高点E的像；再将平面镜向后移动一段距离放在C处，小强从C点后退一段距离至D处，眼睛G恰好又看到了紫云楼最高点E的像，已知小强眼睛距地面的高度FB＝CD，且FB⊥OD，GD⊥OD，OE⊥OD，点O，A，B，C，D在同一条直线上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
A、C之间的距离
13.2米
12.8米
13米
C、D之间的距离
1.6米
1.4米
1.5米
A、B之间的距离
0.95米
1.05米
1米
已知数据
小强眼睛距地面的高度（FB、GD）
1.5米
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出紫云楼的高度OE．（平面镜的大小忽略不计）
22．（6分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．
（1）求用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数表达式；
（2）小强准备租某本名著30天，选择哪种租书方式比较合算？
23．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为 ；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，作∠ACB的平分线，交BD于点F．
（1）求证：∠OAD＝∠DBC；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
25．（9分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，点A是⊙O外一点，点B在⊙O上运动，OA＝4，OB＝2，则AB的最小值是 ．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，求PD+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某湿地公园的鸟瞰图，其中∠DCB＝∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，BC＝4千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊BMN，扇形BMN以BM长为半径，BM＝BC，为湖岸，其余部分为滩地．为了便于游客观赏，公园管理方现计划在景区中确定两点P、Q，建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ，根据规划，点P在AC右侧且满足∠APC＝120°，点Q在上，已知建玻璃栈道PQ每千米的造价是2万元，建观赏小路CQ每千米的造价是1万元，求建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需多少费用？（玻璃栈道以及观赏小路的宽度忽略不计）
2021年陕西省渭南市白水县中考数学三模
（参考答案）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【解答】解：的相反数是．
故选：D．
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
3．（3分）如图，将直尺和三角尺按如图的方式折叠放在一起，则在图中标记的角中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠3；
∵∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，
∴与∠1互余的角有：∠2，∠3，∠4，一共3个．
故选：C．
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
【解答】解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4．
故选：D．
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），且＝3，则k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（m，n），
∴n＝km，
又∵＝3，
∴k＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则OE的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，
∴OD＝OA＝2，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
故选：B．
7．（3分）如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【解答】解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．
∵点A是的中点，
∴AT⊥BC，
∵tan∠ACT＝＝2，
∴设CT＝k，AT＝2k，
在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，
∴（）2＝k2+（2k）2，
∴k＝1，
∵AT⊥BC，AT过圆心O，
∴BC＝2CT＝2，
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x+c＝﹣（x﹣）2++c，c＜0，
∴该函数图象开口向下，当x＝时，该函数取得最大值+c，当x＝0时，y＝c，
∴该函数与y轴的交点为（0，c），在y轴的负半轴，
∴点（1，c）在该函数图象上，在x轴下方，
∵当自变量为x1时，其函数值y1大于零，
∴0＜x1＜1，
∴x1﹣1＜0，x1+1＞1，
∵当自变量为x1﹣1与x1+1时，其函数值分别为y2，y3，
∴y2＜0，y3＜0，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个比3大且比5小的无理数 （答案不唯一） ．
【解答】解：比3大且比5小的无理数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（3分）如果一个正六边形的边心距为，那么它的外接圆半径长为 2 ．
【解答】解：如图，正六边形的中心角∠AOB＝360°÷6＝60°，OH⊥AB，
∵OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∵OH＝，OH⊥AB，
∴∠AOH＝BOH＝30°，AH＝BH＝OH•tan30°＝1，
∴AB＝2，
∴此正六边形的外接圆的半径为2．
故答案为：2．
11．（3分）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC的面积是 2 ．
【解答】解：S△ABC＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2，
故答案为：2．
12．（3分）若反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，则k的取值范围是 k＞3 ．
【解答】解：由正比例函数y＝x可知直线过一、三象限，
∵反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）与正比例函数y＝x的图象有交点，
∴反比例函数y＝（k为常数，且k≠3）位于一、三象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故答案为：k＞3．
13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 61 ．
【解答】解：∵第1个图案三角形的个数为：4，
第2个图案三角形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图案三角形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
...，
∴第n个图案需要三角形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第20个图案中三角形的个数为：3×20+1＝61（个）．
故答案为：61．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 2 ，线段FH的最小值是 10﹣2 ．
【解答】解：连接CA、CF、AF，
因为∠BCA＝∠ECF，
所以∠BCE＝∠ACF，
在等腰△ABC和等腰△ECF中，
，
所以，
所以△BCE∽△ACF，
所以，
因为BE＝2，
所以AF＝2，
所以F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、H、F三点共线时，FH最小，
所以FH＝AH﹣2，
在Rt△ADH中，AD＝8，DH＝6，
所以AH＝10，
所以FH最小值为10﹣2，
故答案为：2，10﹣2．
三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算
【解答】解：原式＝3×（﹣）+﹣1+3﹣1
＝﹣3+﹣1+3﹣1
＝﹣2+1．
16．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
﹣11x≥11，
x≤﹣1，
在数轴上表示不等式的解集为：．
17．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：
＝
＝，
∵a（a+1）≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0，±1，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝2．
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，请利用尺规作图法，在AD边上找一点E，在BC边上找一点F，使四边形AFCE是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点E和点F即为所求．
19．（6分）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ∠C＝∠E ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，∠A＝∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C＝∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC＝∠ADE，或∠EBC＝∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC＝AE，或BE＝DC，
综上所述，可以添加的条件为∠C＝∠E（或∠ABC＝∠ADE或∠EBC＝∠CDE或AC＝AE或BE＝DC）；
故答案为：∠C＝∠E；
（2）选∠C＝∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
20．（6分）某校为了了解初一年级共480名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93
【整理数据】
成绩（分）班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
41.1
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 ，b＝ 91 ；
（2）若规定测试成绩在90分（含90分）以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级480名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【解答】解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则a＝100分；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
480×＝256（人），
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
21．（6分）紫云楼是大唐芙蓉园的标志性建筑，也是大唐芙蓉园最有历史价值的皇家宫殿．小强所在的“综合与实践”小组开展了测量“紫云楼（如图）高度”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．为了减小误差，测量两点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量结果如表．
课题
测量紫云楼的高度
测量工具
平面镜，皮尺等
测量示意图
说明：如图，小强先在地面上A处放置了一块平面镜，然后从A点向后退了一段距离至B处，他的眼睛F恰好看到了镜中紫云楼最高点E的像；再将平面镜向后移动一段距离放在C处，小强从C点后退一段距离至D处，眼睛G恰好又看到了紫云楼最高点E的像，已知小强眼睛距地面的高度FB＝CD，且FB⊥OD，GD⊥OD，OE⊥OD，点O，A，B，C，D在同一条直线上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
A、C之间的距离
13.2米
12.8米
13米
C、D之间的距离
1.6米
1.4米
1.5米
A、B之间的距离
0.95米
1.05米
1米
已知数据
小强眼睛距地面的高度（FB、GD）
1.5米
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出紫云楼的高度OE．（平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：由题意可得，AB＝1m，AC＝13m，CD＝1.5m，GD＝FB＝1.5m，
设OA＝xm，则OC＝（x+13）m，
根据入射角等于反射角可得△AOE∽△ABF，
∴，
即，
∴OE＝1.5x，
又△DCG∽△OCE，
∴，
即，
解得x＝26，
∴OA＝26，OE＝1.5x＝39（m）．
答：紫云楼的高度是39m．
22．（6分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．
（1）求用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数表达式；
（2）小强准备租某本名著30天，选择哪种租书方式比较合算？
【解答】解：（1）设直线l1对应的函数解析式为y＝kx，
200k＝60，
解得k＝0.3，
即直线l1对应的函数解析式为y＝0.3x，
设直线l2对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线l2对应的函数解析式为y＝0.2x+20，
由上可得，用租书卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y＝0.3x，用会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y＝0.2x+20；
（2）当x＝30时，租书卡的租金为0.3×30＝9（元），会员卡的租金为0.2×30+20＝26（元），
∵9＜26，
∴小强准备租某本名著30天，选择租书卡租书方式比较合算．
23．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为 ；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．
【解答】解：（1）转动该转盘一次，指针指向的数字为偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：
由树状图可得，所有结果有25种，并且每种结果发生的可能性都相等，其中两次指针指向的数字和为偶数的结果有13种．
将“两次指针指向的数字和为偶数的事件记为A”，则．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，作∠ACB的平分线，交BD于点F．
（1）求证：∠OAD＝∠DBC；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵∠AMB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，即点A、O、B三点共线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠OAD＝∠DBC；
（2）解：∵点M是的中点，
∴＝，
∴AM＝BM，
∵∠AMB＝90°，
∴∠MBA＝∠MAB＝45°，
∵∠MBD＝105°，
∴∠ABD＝∠MBD﹣∠MBA＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∵AB＝2AO＝6，
∴BD＝AB＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BDC中，CD＝＝＝，
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠ACB＝30°，
∴DF＝CD•tan30°＝×＝1，
∴DF的长为1．
25．（9分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c
得，
∴，
∴y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
（2）由题意得L'的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
令（x﹣3）2﹣4＝0，
∴x1＝1，x2＝5，
∴D（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴，
∴15S△BDQ＝4S△ABC，
∴S△BDQ＝4，
∵BD＝5﹣1＝4，
∴Q到BD的距离为2，
当yQ＝2时，（x﹣3）2﹣4＝2，
，
∴，
当yQ＝﹣2时，（x﹣3）2﹣4＝﹣2，
，
∴，
综上所述：Q的坐标为，，，
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，点A是⊙O外一点，点B在⊙O上运动，OA＝4，OB＝2，则AB的最小值是 2 ．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，求PD+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某湿地公园的鸟瞰图，其中∠DCB＝∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，BC＝4千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊BMN，扇形BMN以BM长为半径，BM＝BC，为湖岸，其余部分为滩地．为了便于游客观赏，公园管理方现计划在景区中确定两点P、Q，建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ，根据规划，点P在AC右侧且满足∠APC＝120°，点Q在上，已知建玻璃栈道PQ每千米的造价是2万元，建观赏小路CQ每千米的造价是1万元，求建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需多少费用？（玻璃栈道以及观赏小路的宽度忽略不计）
【解答】解：（1）由图可知，OA﹣OB≤AB≤OA+OB，当点O，A，B三点共线时，AB有最小值，
∵OA＝4，OB＝2，
∴AB的最小值为4﹣2＝2．
故答案为：2．
（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG，DG，
∵＝＝2，＝＝2，
∴，∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，
最小值为DG＝5；
（3）如图3，在BC上截取点E，使得BE＝千米，连接EQ、BQ，
∵∠D＝90°，AD＝千米，CD＝3千米，
∴∠ACD＝30°，∠CAD＝60°，
延长AD至点F，使DF＝AD，连接CF，则△ACF是等边三角形，作△ACF的外接圆⊙O，连接OA，由等边三角形的性质可知，点O在CD上，点P在劣弧AC上运动，在劣弧AC上任取一点P，连接AP，CP，则∠APC＝∠AOC＝120°．
∵BM＝BC，BC＝4千米，点Q在上，
∴BQ＝2千米，
∵∠QBE＝∠CBQ，＝2，
∴△QBE∽△CBQ，
∴＝2，即CQ＝2QE，
建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ所需总费用＝2PQ+CQ＝2PQ+2QE＝2（PQ+QE）（万元），
∴当P、Q、E在﹣条直线上时，PQ+QE最小，即此时所需费用最少．
连接OP、OE，OE交⊙O，于P'，交于Q'，
在△POE中，PO+EP≥OE＝OP′+EP'，
∴EP≥EP'，
∴当点Q与Q'重合时，PQ+QE的最小值为EP的值．
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠OAD＝30°，
在Rt△OAD中，AD＝千米，
∴OA＝OC＝OP′＝2（千米），
∵CE＝BC﹣BE＝3千米，
∴OE＝＝（千米），
∴EP′＝OE﹣OP′＝（﹣2）（千米），
∴建玻璃栈道PQ和观赏小路CQ至少需要总费用为（2﹣4）万元．
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