2021年陕西省中考数学五模试卷

这是一份2021年陕西省中考数学五模试卷，共28页。

2021年陕西省中考数学五模试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）某冠状病毒直径为132nm（1nm＝10﹣9m），则这种冠状病毒的直径（单位：m）用科学记数法表示为（　　）
A．132×10﹣9 B．1.32×10﹣6 C．1.32×10﹣7 D．1.32×10﹣8
3．（3分）将一副直角三角板（∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°）按如图所示的位置放置，使得AB∥EF，则∠DOB＝（　　）

A．75° B．105° C．80° D．110°
4．（3分）已知正比例函数y＝kx经过点A（1，），点B为x轴正半轴上一点，则∠AOB＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2 D．2xy2•x2y＝2x2y2
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，E为AD中点，EF⊥AD交AB于点F．若CD＝3，则AF＝（　　）

A．3 B．3 C．6 D．5
7．（3分）已知A（0，2），B（0，4）两点，若直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后与线段AB有交点，则k的取值范围为（　　）
A．3＜k＜5 B．3≤k≤5 C．1≤k≤3 D．1＜k＜3
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，则tan∠DEC＝（　　）

A． B． C．1 D．
9．（3分）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB⊥CD，若⊙O的半径为5，AC＝8，则BD＝（　　）

A．6 B．2 C．2 D．4
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（　　）
A．﹣1＜m B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1≤m＜0
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝　 　．
12．（3分）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　 　．

13．（3分）已知同一象限内的两点A（3，n），B（n﹣4，n+3）均在反比例函数y＝的图象上，则该反比例函数关系式为　 　．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝3，BC＝6，＝3，则对角线BD的最小值为　 　．

三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边AB，BC，AC上分别取点D，E，F使得四边形ADEF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．

19．（7分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为6000件，4月份的产量为9000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．
（1）4月份随机抽取的若干件产品中位数在　 　组；
（2）4月份生产的该产品抽样检测的合格率是　 　；
（3）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

20．（7分）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．

21．（7分）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计）．小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．
（1）求小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式；
（2）小明上课是否迟到？请说明理由．

22．（7分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识，随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，E，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
学生
垃圾类别
A
B
C
D
E
F
G
H
厨余垃圾
√
√
√
√
√
√
√
√
可回收垃圾
√
×
√
×
×
√
√
√
有害垃圾
×
√
×
√
√
×
×
√
其他垃圾
×
√
√
×
×
√
√
√
（1）求8名学生中其他垃圾投放正确的频率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，请用画树状图或列表法求学生F恰好被抽到的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：∠C＝2∠EAB．
（2）若cosC＝，AC＝8，求BF的长．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（2，0），以OB为边向上作等边△AOB，抛物线C：y＝ax2+bx+c，经过点O，A，B三点．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）将抛物线C沿直线OA平移得抛物线C'，抛物线C'与x轴分别交于P，Q两点（点P在Q的左边），与直线OA分别交于M，N（点M在N的上方），当△MPQ为等腰直角三角形时，求△MNB的面积．

25．（12分）问题提出：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝∠DCB＝90°，则对角线AC长度的最大值为　 　．
问题探究：
如图②，菱形ABCD的边长为6，点E为对角线AC的三等分点（AE＜EC），连接BE并延长交AD于点F．当BF⊥AD时，求菱形ABCD的面积．
问题解决：
如图③，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的顶点B，D分别在x轴、y轴上，点C（8，6），E，F分别为OB，CD边的中点．动点M从点E出发沿EO向点O运动，同时，动点N从点F出发沿FC向点C运动，连接MN，过点B作BK⊥MN于点K，连接DK．若点M的运动速度是点N的速度的2倍，在点M从点E运动至点O的过程中，求线段DK长度的最小值．


2021年陕西省中考数学五模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．（3分）某冠状病毒直径为132nm（1nm＝10﹣9m），则这种冠状病毒的直径（单位：m）用科学记数法表示为（　　）
A．132×10﹣9 B．1.32×10﹣6 C．1.32×10﹣7 D．1.32×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：132nm用科学记数法表示为：132nm＝0.000000132m＝1.32×10﹣7m．
故选：C．
3．（3分）将一副直角三角板（∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°）按如图所示的位置放置，使得AB∥EF，则∠DOB＝（　　）

A．75° B．105° C．80° D．110°
【分析】在直角三角形中，由两角互余得∠E＝45°，∠B＝60°，根据直线AB∥EF得∠B＝∠BCE，再由三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠F＝45°，
∴∠B＝60°，∠E＝45°，
∵AB∥EF，
∴∠BCE＝60°，
∴∠EOC＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠DOB＝75°．
故选：A．
4．（3分）已知正比例函数y＝kx经过点A（1，），点B为x轴正半轴上一点，则∠AOB＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【分析】把点A的坐标代入解析式求得k的值，根据斜率即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点A（1，），
∴＝k，
∴正比例函数为y＝x，
∵点B为x轴正半轴上一点，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2 D．2xy2•x2y＝2x2y2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b2，故选项A错误；
（﹣2a2b）2＝4a4b2，故选项B错误；
﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2，故选项C正确；
2xy2•x2y＝2x2y3，故选项D错误；
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，E为AD中点，EF⊥AD交AB于点F．若CD＝3，则AF＝（　　）

A．3 B．3 C．6 D．5
【分析】连接DF，过D作DH⊥AB，根据角平分线的性质可得DH＝DC＝3，根据外角的性质可得∠DFH＝30°，利用30°角的性质可得DF，进而可知AF的长．
【解答】解：连接DF，过D作DH⊥AB于点H，

∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DH＝DC＝3，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝＝15°，
∵E为AD中点，EF⊥AD，
∴AF＝DF，
∴∠FDA＝∠FAD＝15°，
∴∠DFH＝15°+15°＝30°．
在Rt△DFH中，DF＝2DH＝6，
∴AF＝6．
故选：C．
7．（3分）已知A（0，2），B（0，4）两点，若直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后与线段AB有交点，则k的取值范围为（　　）
A．3＜k＜5 B．3≤k≤5 C．1≤k≤3 D．1＜k＜3
【分析】求得平移后的解析式为y＝2x﹣1+k，根据题意得到2≤﹣1+k≤4，解得即可．
【解答】解：直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后得到y＝2x﹣1+k，
若直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后与线段AB有交点，A（0，2），B（0，4），
则2≤﹣1+k≤4，
解得3≤k≤5，
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，则tan∠DEC＝（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】由锐角三角函数可求∠ADB＝30°，设AB＝x＝CD，AD＝3x，由锐角三角函数可求EH＝DE﹣DH＝x，CH＝DH＝x，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥BD于H，

∵tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
设AB＝x＝CD，AD＝3x，
∵cos∠ADB＝＝，
∴DE＝x，
∵∠BDC＝90°﹣∠ADB＝60°，CH⊥BD，
∴∠DCH＝30°，
∴DH＝CD＝x，CH＝DH＝x，
∴EH＝DE﹣DH＝x，
∴tan∠DEC＝＝，
故选：A．
9．（3分）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB⊥CD，若⊙O的半径为5，AC＝8，则BD＝（　　）

A．6 B．2 C．2 D．4
【分析】作直径AM、BN，连接AD、CM、DN，利用圆周角定理得到∠ACM＝∠BDN＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CAM＝∠BND，则可证明△ACM≌△NDB，所以CM＝BD，然后利用勾股定理计算出CM即可．
【解答】解：作直径AM、BN，连接AD、CM、DN，
∵AM、BN为直径，
∴∠ACM＝∠BDN＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠BND，∠ADC＝∠AMC，
∴∠CAM＝∠BND，
在△ACM和△NDB中，
，
∴△ACM≌△NDB（AAS），
∴CM＝BD，
在Rt△ACM中，∵AC＝8，AM＝10，
∴CM＝＝6，
∴BD＝6．
故选：A．

10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（　　）
A．﹣1＜m B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1≤m＜0
【分析】首先结合二次函数的图象可知m＜0，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式，即可解决问题．
【解答】解：因为翻折后与x轴有4个交点，
所以m＜0，
又因为二次函数y＝x2﹣2x+m顶点为（1，m﹣1），
顶点（1，m﹣1）关于l的对称点为（1，m+1），
因为翻折后的图象与原来图象开口相反，
所以翻折后二次函数为y＝﹣（x﹣1）2+m+1，
所以m+1＞0，
所以m＞﹣1，
故答案为：﹣1＜m＜0，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　30°　．

【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
13．（3分）已知同一象限内的两点A（3，n），B（n﹣4，n+3）均在反比例函数y＝的图象上，则该反比例函数关系式为　y＝　．
【分析】由点A，B的坐标，利用反比例函数上点的坐标特征可得到k＝3n＝（n﹣4）（n+3），解得n的值即可确定k的值．
【解答】解：∵同一象限内的两点A（3，n），B（n﹣4，n+3）均在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3n＝（n﹣4）（n+3），
解得n＝6或n＝﹣2，
∵n＝﹣2时，A（3，﹣2），B（﹣6，1），
∴A、B不在同一象限，故n＝﹣2舍去，
∵k＝3n＝18，
∴y＝，
故答案为y＝．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝3，BC＝6，＝3，则对角线BD的最小值为　5　．

【分析】过点D作DE⊥BD，且使BE＝3BD，由线段之间的比值，得△EBD∽△ACD，推出 ＝＝3，∠1＝∠2
即△EDA∽△CDB，EA＝18，根据三角形三边关系得BD最小值为5．
【解答】解：过点D作DE⊥BD，且使BE＝3BD，

∵＝3，∠EDB＝∠BDC＝90°，
∴△EBD∽△ACD，并且相似比为1：3，
∴＝＝3，
∵∠EDB﹣∠ADB＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠1＝∠2，
∴△EDA∽△CDB，
∴＝3，
∴EA＝3BC＝3×6＝18，
在△ABE中，利用三角形三边关系，两边之差小于第三边，
∴AE﹣AB＜BE，
∴BE＞15，
∵△EBD∽△ACD，BE＝3BD，
∴BD≥5，
∴BD最小值为5，
故答案为：5．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜5．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，
即x2+x﹣x2+1＝3，
解得x＝2
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
17．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边AB，BC，AC上分别取点D，E，F使得四边形ADEF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线交AB于D，交AC于F，连接DE，EF，四边形ADEF即为所求．
【解答】解：D，E，F的位置如图所示．

18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．

【分析】根据垂直平分线的性质和平行四边形的性质可以证明△AOM≌△CON，得AM＝CN，进而可得结论．
【解答】证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AB＝CD，
∴BM＝DN．
19．（7分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为6000件，4月份的产量为9000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．
（1）4月份随机抽取的若干件产品中位数在　80＜x≤90　组；
（2）4月份生产的该产品抽样检测的合格率是　98.4%　；
（3）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据，可以得到4月份随机抽取的若干件产品中位数在哪一组；
（2）根据频数分布直方图中的数据，可以得到4月份生产的该产品抽样检测的合格率；
（3）根据统计图中的数据，可以分别计算出3月和4月不合格的件数，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）4月份随机抽取的产品数为：8+132+160+200＝500，
则4月份随机抽取的若干件产品中位数在80＜x≤90这一组，
故答案为：80＜x≤90；
（2）4月份生产的该产品抽样检测的合格率为：×100%＝98.4%，
故答案为：98.4%；
（3）4月的不合格件数多，
理由：由题意可得，
3月的不合格件数为：6000×2%＝120，
4月的不合格件数为：9000×（1﹣98.4%）＝144，
∵144＞120，
∴4月的不合格件数多．
20．（7分）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．

【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵AB⊥AD，AD⊥DC，
∴AB∥CD，
∵AD＝24cm，则NC＝24cm，
∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN，
∴△BNC∽△BMA，
∴，
∴，
则：AM＝＝，
故点A到地面的距离是：+4＝（cm）．
答：点A到地面的距离为cm．

21．（7分）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计）．小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．
（1）求小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式；
（2）小明上课是否迟到？请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得小明坐公交车时间是多少和下车到学校所用的时间．
【解答】解：（1）如图，设线段AB所在直线的解析式为s＝kt+b，

由题意和图知，点（7，1200），B（12，3200）在线段AB上，
即，
解得，
所以小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式为s＝400t﹣1600；
（2）公交车的速度为（3200﹣1200）÷（12﹣7）＝400（米/分钟），
坐公交车时间是：（3200﹣400）÷400＝7（分钟），
下车到学校所用的时间：10﹣7＝3，
因为4＞3，
故小明上课没有迟到．
22．（7分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识，随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，E，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
学生
垃圾类别
A
B
C
D
E
F
G
H
厨余垃圾
√
√
√
√
√
√
√
√
可回收垃圾
√
×
√
×
×
√
√
√
有害垃圾
×
√
×
√
√
×
×
√
其他垃圾
×
√
√
×
×
√
√
√
（1）求8名学生中其他垃圾投放正确的频率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，请用画树状图或列表法求学生F恰好被抽到的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，学生F恰好被抽到的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）8名学生中其他垃圾投放正确的频率为；
（2）“有害垃圾”投放错误的学生有4人，为A、C、F、G，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，学生F恰好被抽到的结果有6个，
∴学生F恰好被抽到的概率为＝．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：∠C＝2∠EAB．
（2）若cosC＝，AC＝8，求BF的长．

【分析】（1）连接AD，由切线的性质和圆周角的定理可得∠CAB＝90°＝∠ADB，由余角的性质可得∠C＝∠DAB，可得结论；
（2）连接AD，由圆周角定理可得△ACD是直角三角形，作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD＝4，在Rt△ACB中可计算出BC＝9，则BD＝BC﹣CD＝5，接着根据角平分线性质得FD＝FH，于是设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB＝∠C，所以cos∠BFH＝cosC的值可求出，再利用比例性质可求出BF．
【解答】证明：（1）连接AD，

∵AC是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠DAB，
∵E是弧BD的中点，
∴弧BE＝弧DE，
∴∠DAE＝∠BAE
（2）∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAB＝2∠EAB，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠C＝2∠EAB；连接AD，作FH⊥AB于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∵cosC＝＝，
∴CD＝×8＝，
∵AC是切⊙O于A的切线，
∴AC⊥AB，
∴△CAB是直角三角形
在Rt△ACB中，∵cosC＝＝，
∴BC＝×8＝12，
∴BD＝BC﹣CD＝12﹣＝，
∵∠EAB＝∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD＝FH，
设BF＝x，则DF＝FH＝﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB＝∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cosC＝＝＝，
解得x＝4，
即BF的长为4．
故答案为：4．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（2，0），以OB为边向上作等边△AOB，抛物线C：y＝ax2+bx+c，经过点O，A，B三点．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）将抛物线C沿直线OA平移得抛物线C'，抛物线C'与x轴分别交于P，Q两点（点P在Q的左边），与直线OA分别交于M，N（点M在N的上方），当△MPQ为等腰直角三角形时，求△MNB的面积．

【分析】（1）根据△OAB为等边三角形，求出点A的坐标为（1，），进而求解；
（2）△PMN为等腰直角三角形，则yM＝PQ，求出t＝﹣1（舍去）或﹣，由△MNB的面积＝S△OBM+S△OBN＝×OB×（yM﹣yN），即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴于点H，

∵△OAB为等边三角形，
则AH＝AO＝OB＝×2＝，则OH＝1，
故点A的坐标为（1，），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+，
将点O的坐标代入上式得0＝a+，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+；

（2）由OA得坐标知，直线OA的表达式为y＝x①，
设抛物线沿直线OA向右平移了t个单位，则向上平移了t个单位，此时顶点的坐标为（1+t，t），

则新抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1﹣t）2++t，
当△MPQ为等腰直角三角形时，由函数的对称性知，∠PMQ为直角的顶点，则点M是新抛物线的顶点，
即点M的坐标为（1+t，+t），
令y＝﹣（x﹣1﹣t）2++t＝0，解得x＝1+t±，
则PQ＝2，
∵△PMN为等腰直角三角形，则yM＝PQ，
即+t＝，解得t＝﹣1（舍去）或﹣，
则新抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣）2+②，
联立①②得：x＝﹣（x﹣）2+，解得x＝或﹣，
故点M、N的坐标分别为（，）、（﹣，﹣），
则△MNB的面积＝S△OBM+S△OBN＝×OB×（yM﹣yN）＝×2×（+）＝．
25．（12分）问题提出：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝∠DCB＝90°，则对角线AC长度的最大值为　4　．
问题探究：
如图②，菱形ABCD的边长为6，点E为对角线AC的三等分点（AE＜EC），连接BE并延长交AD于点F．当BF⊥AD时，求菱形ABCD的面积．
问题解决：
如图③，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的顶点B，D分别在x轴、y轴上，点C（8，6），E，F分别为OB，CD边的中点．动点M从点E出发沿EO向点O运动，同时，动点N从点F出发沿FC向点C运动，连接MN，过点B作BK⊥MN于点K，连接DK．若点M的运动速度是点N的速度的2倍，在点M从点E运动至点O的过程中，求线段DK长度的最小值．

【分析】（1）由于∠BAD＝∠DCB＝90°，可知四边形ABCD内接于圆，AC是圆内的一条弦，即可得出答案；
（2）先证明△AEF∽△CEB，根据点E为对角线AC的三等分点，可得出点F是AD的中点，连接BD，即可求出菱形面积；
（3）连接EF交MN于点P，连接BP，取BP的中点Q，连接QK，QD，过点Q作QR⊥CD于点R，可证△PFN∽△PEM，根据点M的运动速度是点N的速度的2倍，可求出PE＝4，PF＝2，运用勾股定理求出QD，QK，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①，∵∠BAD＝∠DCB＝90°，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴四边形ABCD内接于圆，AC是圆内的一条弦，
∴AC最大时为圆的直径，
∵该圆的直径BD＝＝＝4，
∴对角线AC长度的最大值为4，
故答案为：4；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∵点E为对角线AC的三等分点（AE＜EC），
∴＝，
∴＝＝，
∴AF＝BC＝3，
∴点F是AD的中点，
连接BD，在Rt△ABF中，cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAC＝6×sin60°＝3，
∴S菱形ABCD＝AD•BF＝6×3＝18；
（3）连接EF交MN于点P，连接BP，取BP的中点Q，连接QK，QD，过点Q作QR⊥CD于点R，
∵四边形OBCD是矩形，E，F分别为OB，CD边的中点，
∴四边形ODFE是矩形，
∵点C（8，6），
∴OB＝CD＝8，EF＝OD＝BC＝6，DF＝FC＝4，
∵FN∥ME，
∴△PFN∽△PEM，
∴＝，
∵点M的运动速度是点N的速度的2倍，
∴ME＝2FN，
∴PE＝2PF，
∴PE＝4，PF＝2，
∵PF∥QR∥BC，PQ＝QB，
∴FR＝CR＝2，DR＝DF+FR＝4+2＝6，QR＝（PF+BC）＝4，
∴QD＝＝＝2，
∵BK⊥MN，
∴∠BKP＝90°，
∵PQ＝QB，
∴QK＝BP＝×＝×＝2，
∵DK≥QD﹣QK，
∴DK≥2﹣2，由于点P和点B都是定点，所以PB的中点Q也是定点，当MN⊥QD时，Q，K，D三点在同一条直线上时，DK最小，
∴DK的最小值为2﹣2．