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    中考数学6最值系列之费马点

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    中考数学6最值系列之费马点

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    最值系列之费马点皮耶··费马,17世纪法国数学家,有业余数学家之王的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的费马小定理费马大定理等. 据说费马在提出费马大定理时,在笔记本上写道:我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的,然后,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出,而距离费马逝世,已经过去了330年. 果然,数学搞得好的都是装x的一把好手. 言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点. 问题:在ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等. 阿哈哈哈,此处一个也用不上! 其实理论还是上面的理论,本题难点在于有3条线段,我们需要对这三条线段作一些位置上的变化,如果能变换成在一条直线上,问题就能解决了! 算了算了,不墨迹了,直接报答案了: 若点P满足PAB=BPC=CPA=120°,则PA+PB+PC值最小,P点称为该三角形的费马点. 接下来讨论3个问题:1)如何作三角形的费马点?2)为什么是这个点?3)费马点怎么考?
    一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起:1)如图,分别以ABC中的ABAC为边,作等边ABD、等边ACE2)连接CDBE,即有一组手拉手全等:ADC≌△ABE3)记CDBE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)4)以BC为边作等边BCF,连接AF,必过点P,有PAB=BPC=CPA=120°在图三的模型里有结论:(1BPD=60°;(2)连接APAP平分DPE有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120°原来在手拉手全等就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识! 但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是BAC<120°,若 ,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:此时CDBE交点P点还是我们的费马点吗?显然这时候就不是了,显然P点到ABC距离之和大于A点到ABC距离之和.所以咧?是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A点!当然这种情况不会考的,就不多说了.二、为什么是这个点为什么P点满足PAB=BPC=CPA=120°PA+PB+PC值就会最小呢? 归根结底,还是要重组这里3条线段:PAPBPC的位置,而重组的方法是构造旋转! 在上图3中,如下有ADC≌△ABE,可得:CD=BE类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF=BE=CD巧的嘞,它们仨的长度居然一样长! 更巧的是,其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值! 接下来才是真正的证明:考虑到APB=120°∴∠APE=60°,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQ=AP,则APQ是等边三角形APQACE均为等边三角形,且共顶点A,故APC≌△AQEPC=QE以上两步分别转化PA=PQPC=QE,故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE没有对比就没有差别,我们换个P点位置,如下右图,同样可以构造等边APQ,同样有APC≌△AQE,转化PA=PQPC=QE显然,PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE 还剩下第3个问题!如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!  三、费马点怎么考?直接考,要不然还能怎么考? 看看今年2019武汉中考填空最后一题:问题背景如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60°得到ADEDEBC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE问题解决:如图2,在MNG中,MN=6M=75°MG=OMNG内一点,则点OMNG三个顶点的距离和的最小值是______【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!如图,以MG为边作等边MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点OMNG三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)过点HHQNMNM延长线于Q点,根据NMG=75°GMH=60°,可得HMQ=45°∴△MHQ是等腰直角三角形,MQ=HQ=4NH= 【练习】如图,在ABC中,ACB=90°AB=AC=1PABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.【分析】如图,以AD为边构造等边ACD,连接BDBD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?这不重要!如何求BD?考虑到ABCACD都是特殊的三角形,过点DDHBABA的延长线于H点,根据勾股定理,即可得出结果.【练习】如图,已知矩形ABCDAB=4BC=6,点M为矩形内一点,点EBC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.分别以ADAM为边构造等边ADF、等边AMG,连接FG易证AMD≌△AGFMD=GFME+MA+MD=ME+EG+GFFFHBCBCH点,线段FH的长即为所求的最小值. 

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