中考数学二轮复习培优专题43 几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值 (含解析)

这是一份中考数学二轮复习培优专题43 几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值 (含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

43第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值

一、单选题
1．如图，将一张面积为20的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（ ）

A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知△AMN∽△ABC，可知相似比为，再根据高之比也为相似比，表示出平行四边形的高，再利用面积公式求得即可．
【解答】由题意可知：MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
，
而S△ABC＝，即：，解得：AE＝4，
，
平行四边形＝，
，
因此平行四边形纸片的最大面积为10，
故选B．

【点评】本题考查相似的性质，平行四边形的性质与面积计算，计算量较大．
2．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先利用一元二次方程的根的判别式、根的定义求出m的取值范围和，再利用二次函数的性质求最值即可得．
【解答】由题意得：此方程的根的判别式，
解得，
是一元二次方程的一个根，
，即，
对于任意实数m，均成立，
令，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为，
即的最大值等于，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根的定义、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴ OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴ ∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴ ∠ABH＝∠EAC，
∴ △AHB∽△CEA，
∴ ，即
∴ AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∵A（2，4），
∴ OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴ B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵M为BC的中点，
∴ BM＝CM，
∴ M（1+x，），
∵ P（1，0），
∴ PM＝，
∴ 当时，PM有最小值为=，
故选：C．

【点评】本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键．
4．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为( )

A．cm B．1cm C．cm D．2cm
【答案】C
【分析】设，，由得，构建二次函数即可解决问题；
【解答】设BE=y，AP=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，y有最小值．
故答案选C．
【点评】本题主要考查了求解二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，线段AB的长为2，C为AB上一动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作两个直角、，其中∠A=30°，∠B=60°，则DE的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，再根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出CD、CE的长，然后根据角的和差可得，从而利用勾股定理可得，最后利用二次函数的性质求解即可得．
【解答】如图，连接DE
设，则，且，即
在中，，
，
在中，，
，，

在中，
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大
则当时，取得最小值，最小值为
因此，DE的最小值为
故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点，利用勾股定理得出关于x的表达式是解题关键．

二、填空题
6．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大，最大值为__________．
【答案】5 12.5
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为，则，进而求出，再求出最值即可．
【解答】解：设，四边形ABCD面积为S，则，
则：，
∵，
∴S有最大值，
当时，四边形ABCD的面积最大，
即当时，四边形ABCD面积最大，
，
故答案为：5，12.5．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．
7．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是_________．
【答案】4 cm2
【分析】设围成的矩形的一边长为xcm，围成的矩形面积为Scm2，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：设围成的矩形的一边长为xcm，围成的矩形面积为Scm2，则另一边长为（4－x）cm，根据题意，得：
，
∴当x=2时，S最大=4 cm2．
故答案为：4 cm2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．如图，已知，为线段上一个动点，分别以、为边在同侧作菱形和菱形，点、、在同一条直线上，．、别是对角线、的中点，当点在线段上移动时，则点、之间的最短距离为______．

【答案】
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，再根据含30°的直角三角形的特点求出，，再利用勾股定理求得MN2与AP2的关系，根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】如解图，连接，．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵、分别是，的中点，
,,．
∴，，．
∴，
即
．
∴当时，有最小值，
∴点、之间的最短距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，含30°的直角三角形，勾股定理，二次函数与几何问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
9．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为_____．

【答案】10
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(m，5﹣m)，当AB的长最小时，m的值为_____
【答案】3
【分析】先根据两点间的距离公式求出AB2＝2m2﹣12m+26，利用配方法得到AB2＝2（m﹣3）2+8，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（m，5﹣m），
∴AB2＝（m﹣1）2+（5﹣m﹣0）2
＝m2﹣2m+1+25﹣10m+m2
＝2m2﹣12m+26
＝2（m﹣3）2+8，
∵2＞0，
∴当m＝3时，AB2最小，
∵当AB2最小时，AB的长最小．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是二次函数求最值，利用配方法求最值是解题的关键．

三、解答题
11．已知抛物线与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围；
（3）点为抛物线在直线下方图象上的一动点，当面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1），顶点；（2）；（3）．
【分析】（1）把代入即可求出a,化为顶点式即可得到顶点；
（2）根据函数图像及对称轴即可求解；
（3）先求出直线的表达式，过点作轴的平行线交于点，设点，得到点，表示出PH，再根据列出函数，根据二次函数最值即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）把代入，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：，
=
则顶点．
（2）由（1）知抛物线的对称轴，
所以点关于对称点在抛物线上
∵∴的取值范围为
（3）令y=0,即=0，
解得x1=1,x2=3,
∴C（3,0）
将点、的坐标代入一次函数表达式：
得
解得：
∴直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，


设点，则点，
∴
则，
∵，故有最大值，此时，
故点．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、最值的求解方法．
12．如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．

（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；
（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为___________．
【答案】（1）BN＝；（2）
【分析】（1）由矩形的性质及“一线三等角“推得∠ACM＝∠BMN，利用有两个角相等的三角形相似，可证得△ACM∽△BMN，利用相似三角形的性质可得比例式，将相关数据代入即可求得BN的值；
（2）设BM＝x，DN＝y，根据，得出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得DN最小时相应的x值及y值，再利用三角形的面积公式求得答案即可．
【解答】解：（1）∵AB＝4，
∴当点M为边AB的中点时，AM＝BM＝2，
∵四边形ABDC为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∵∠ACM+∠AMC＝90°，∠BMN+∠AMC＝180°﹣∠CMN＝90°，
∴∠ACM＝∠BMN，
又∵∠A＝∠B，
∴△ACM∽△BMN，
∴，
∵AC＝3，AM＝BM＝2，
∴ ，
∴BN＝；
（2）设BM＝x，DN＝y，
∵四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣x，BN＝BD﹣DN＝3﹣y，
由（1）知，，
∴ ，
∴（4﹣x）x＝3（3﹣y），
∴﹣x2+4x＝9﹣3y，
∴y＝x2﹣x+3
＝（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，y取得最小值，即DN最小，此时DN＝y＝，
∴BM＝2，BN＝3﹣＝，
∴△MNB的面积为：×2×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，二次函数与几何问题．（1）能证明相似，并通过相似的性质列出比例式是解题关键；（2）能借助相似列出y与x的表达式是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值是多少？

【答案】15
【分析】是抛物线上一点，设；根据顶点的坐标为以及菱形的顶点在轴正半轴上，得且轴，从而得到关系式，再根据二次函数的性质，即可得到最大值．
【解答】∵是抛物线上一点
∴设
∵顶点的坐标为
∴
∵四边形是菱形，且顶点在轴正半轴上
∴，轴
∴
∵
∴有最大值
当时，最大值为15．
【点评】本题考查了菱形、二次函数、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、二次函数的性质，从而完成求解．
14．如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=2，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

【答案】（1）见解析；（2）当BE＝1时，矩形EFGH的面积最大．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH＋∠CGH＝90°，则∠HGF＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DG＝DH，
∴∠DHG＝∠DGH＝，
同理，∠CGF＝，
∴∠DGH＋∠CGF＝，
又∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠DGH＋∠CGF＝90°，
∴∠HGF＝90°，
同理，∠GHE＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴S△BCD＝S△ABD＝AB2＝，
则菱形ABCD的面积是2，
设BE＝x，则AE＝2－x，
∵BE＝DH，AB＝AD，
∴AH＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AE＝2－x
在Rt△BME中，∠ABD＝60°，BE＝x，
∴EM＝x
∴EF＝2EM＝x
则矩形EFGH的面积y＝HE×EF
＝（2－x）×x
＝－（x2－2x）
＝－（x－1）2＋，
∴当x＝1时，矩形EFGH的面积最大，
即当BE＝1时，矩形EFGH的面积最大．

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．
15．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．

【答案】（1）；（2）;当时，取得最大值．
【分析】（1）根据题意先求出点B的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）由题意可求点A坐标，连接，由题意知，点的坐标为，则有，然后根据割补法求面积即可．
【解答】解：（1）把代入得，
∴．
把代入，
得，∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，解得或3，
∴抛物线与轴的交点横坐标分别为和3．
∵点在抛物线上，且在第一象限内，
∴．
将代入，得，解得，
∴．
如解图，连接，由题意知，点的坐标为，

则
，
∵，且，
∴当时，取得最大值．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由．

【答案】（1）2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2；（2）存在，当t=时，△PBQ面积最大为cm2
【分析】（1）先用t的代数式表示出BP和BQ，再根据三角形的面积公式即得关于t的方程，解方程即得结果；
（2）根据三角形的面积公式可用t的代数式表示出S△PBQ，再利用配方法和非负数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6，根据题意，得：
×（5﹣t）×2t＝6，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t＝2或t＝3；
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ；
（2）存在；
由题意得：S△PBQ=BP•PQ=×（5﹣t）×2t=﹣t2+5t=﹣(t﹣)2+，
因为(t﹣)2≥0，所以﹣(t﹣)2≤0，
因此，当t=时，△PBQ面积最大为cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
17．已知如图，二次函数y=-x2+2x+m的图象过点B(0，3)，与x轴正半轴交于点A
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若点C为抛物线上位于直线BA上方的一动点（不与点A和点B重合），过点C作CD⊥x轴交直线BA于点D．请问：是否存在一点C，使线段CD的长度最大？若不存在，请说明理由；若存在，请求点C的坐标和线段CD长度的最大值．

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）(3，0)；（3）存在，点C的坐标（，），线段CD长度的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，再解方程-x2+2x+3=0即可求得点A坐标；
（3）先求得直线AB的解析式，点C坐标为（n，-n2+2n+3），则点D坐标为（n，-n+3），利用二次函数的性质即可求解．
【解答】（1）∵二次函数y=-x2+2x+m的图象过点B（0，3），
∴m=3，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）把y=0代入解析式y=-x2+2x+3中，得：
-x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=-1(舍负），
∴点A坐标为（3，0）；
（3）存在一点C，使线段CD的长度最大．
设过点A(3，0)和点B（0，3）的一次函数的解析式为：，
∴，
解得：
∴直线AB的解析式为，
∵点C在二次函数y=-x2+2x+3的图象上，
∴设点C坐标为（n，-n2+2n+3），则点D坐标为（n，-n+3），
∴CD=（-n2+2n+3）-（-n+3）
=-n2+3n
=，
∴当n=时，线段CD的长度最大，
线段CD长度的最大值为，
此时点C坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．如图，二次函数的图象过、、三点

（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．

【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
19．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值．

【答案】（1）；（2）当运动到处时，有最大值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设OP=a，则PB=3-a，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；
【解答】解：（1）将，代入抛物线的解析式，
得解得：
∴抛物线的函数关系式为；
（2）设，则，
，，
．
四边形是正方形，
．
，，
，．
．
．
．
．
．
，
当时，取得最大值为．
即当运动到处时，有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
20．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）最大值为
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出SΔBNC关于m的表达式，再利用函数的性质求解SΔBNC的最大值即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，
解得，
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3），
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；
（3）如图，

∵S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MN•OB，
∴S△BNC＝（﹣m2+3m）•3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出ΔBNC的面积关于m的表达式是解题关键．